2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-特殊平行四边形中考真题专练（巩固篇）

专题1.32特殊平行四边形中考真题专练（巩固篇）

（专项练习）

一、单选题

1.（2022四川自贡•中考真题）如图,菱形A8C。对角线交点与坐标原点。重合，点

C.(2,5)D.(-2,-5)

2.（2022•湖北黄冈•中考真题）如图,在矩形ABCD中，AB<BC,连接AC,分别以点

4,C为圆心，大于的长为半径画弧,两弧交于点例，N,直线分别交A。，8c于

点E,F.下列结论：

①四边形AECF是菱形；

@ZAFB=2ZACB；

③AGEF=CF,CD；

④若AF平分NBAC,则CF=2BF.

其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2022♦内蒙古赤峰•中考真题）如图,菱形A8C。，点A、B、C、。均在坐标轴上,

ZABC=12O°,点A（—3,0）,点E是CD的中点，点尸是OC上的一动点，9APD+PE

的最小值是（)

A.3B.5C.2>/2D.173

4.（2022•青海・中考真题）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,。是A8的中点，延长

CB至点、E,使BE=BC,连接OE,尸为。E中点，连接8F.若AC=16,BC=12,则8尸

的长为（)

A.5B.4C.6D.8

5.（2022•湖北恩施•中考真题）如图，在矩形ABC。中，连接8D,分别以8、。为圆心，

大于g劭的长为半径画弧，两弧交于尸、。两点，作直线PQ,分别与AO、BC交于点M、

N,连接8M、DN.若AD=4,AB=2.则四边形的周长为（）

A.-B.5C.10D.20

2

6.（2022•浙江宁波•中考真题）如图，在RAABC中，。为斜边AC的中点，E为BD

上一点，F为CE中点.若AE=A£»,DF=2,则8。的长为（)

C.2x/3D.4

7.（2022.山东青岛•中考真题）如图，。为正方形对角线AC的中点，JCE为等

边三角形.若AB=2,则OE的长度为（）

C.2夜D.2月

8.（2022.内蒙古包头.中考真题）如图，在矩形中，点E,尸分别在

AD8C边上，EF//AB,AE=AB,A尸与的相交于点。，连接OC,若BF=2CF,则OC

与E尸之间的数量关系正确的是（)

A.2OC=y[5EFB.旧OC=2EFC.20c=6EFD.OC=EF

9.（2022•贵州黔东南•中考真题）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形

ABED,过点。作。F_L8C,垂足为尸，则。尸的长为（)

D

A.273+2B.5-—C.3-73D.73+1

3

10.（2022•内蒙古呼和浩特•中考真题）如图，四边形A8CO是菱形，〃45=60。，点E

是£>A中点，F是对角线AC上一点，且“£尸=45。，则AF:/C的值是（）

A.3B.V5+1C.2及+1D.2+6

二、填空题

11.（2022.甘肃武威・中考真题）如图，菱形4BC£>中，对角线AC与3。相交于点O,

若A8=2JScm，AC=4cm，则BD的长为cm.

12.（2022.陕西•中考真题）如图，在菱形A8CD中，A8=4,BE>=7.若M、N分别是

边AZ>、BC上的动点，且AM=3N,作垂足分别为E、F,则ME+NF

的值为.

13.（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，菱形ABCD的对角线4。,8。相交于点0,

点E在。8上，连接AE,点尸为C。的中点，连接。尸，若=OE=3,Q4=4

14.（2022・辽宁锦州•中考真题）如图，四边形A8CO为矩形，AB=&,A£>=3,点E

为边BC上一点，将ADCE沿£>E翻折，点C的对应点为点凡过点F作。E的平行线交AO

于点G,交直线8C于点4.若点G是边AO的三等分点，则FG的长是.

15.（2022•黑龙江•中考真题）如图，菱形ABC。中，对角线AC,相交于点O,ZBAD=60°,

AO=3,AH是ZBAC的平分线，3，4〃于点£点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE

的最小值是.

16.（2022•海南•中考真题）如图，正方形ABCD中，点E、尸分别在边8C、CD上，

AE=AF,ZEAF=30°,则NA£B=。；若AAEF的面积等于1,则A8的值是

17.（2022江苏无锡•中考真题）如图，正方形ABC。的边长为8,点E是C。的中点,

”G垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG=

18.（2022・四川广元•中考真题）如图，直尺A8垂直竖立在水平面上，将一个含45。角

的直角三角板COE的斜边。E靠在直尺的一边AB上，使点E与点4重合，DE=12cm.当

点D沿。A方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动.当点。滑动到点4时,

点C运动的路径长为cm.

三、解答题

19.（2022•北京・中考真题）如图，在8c。中，AC,BD交于点。，点E,尸在AC上,

AE=CF.

（1）求证：四边形£8包＞是平行四边形；

⑵若NBAC=ND4C,求证：四边形是菱形.

20.（2022•山东临沂•中考真题）已知AA5C是等边三角形，点8,。关于直线AC

对称，连接4。，CD.

(1)求证：四边形A8C£＞是菱形；

(2)在线段AC上任取一点尸(端点除外)，连接PD将线段绕点P逆时针旋转，

使点。落在延长线上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，/DPQ

的大小是否发生变化？说明理由.

(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.

21.(2022•江苏泰州♦中考真题)如图，线段QE与AF分别为△ABC的中位线与中线.

(1)求证：AF与OE互相平分；

(2)当线段AF与8c满足怎样的数量关系时，四边形AQFE为矩形？请说明理由.

22.(2022・贵州贵阳・中考真题)如图，在正方形ABCD中，E为AO上一点，连接BE,

BE的垂直平分线交AB于点M,交C£＞于点N,垂足为。，点F在0c上，且M/〃4).

(1)求证：AABE乌AFMN；

⑵若A8=8,A£=6,求ON的长.

23.(2022•贵州遵义・中考真题)将正方形ABC。和菱形EFG”按照如图所示摆放，顶

点。与顶点H重合，菱形EFG//的对角线经过点8,点E,G分别在AB,BC上.

(1)求证：AADE'CDG；

(2)若AE=BE=2,求8F的长.

24.(2022・河南・中考真题)综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCZ),使与8c重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在A。上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平,

连接尸M,BM.

根据以上操作，当点M在历上时，写出图1中一个30。的角：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片A8C。按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接8Q.

①如图2,当点"在跖上时，NMBQ=。，NCBQ=°；

②改变点尸在AD上的位置(点P不与点A,。重合)，如图3,判断NM8。与NC8Q

的数量关系，并说明理由.

(3)拓展应用

在(2)的探究中，已知正方形纸片ABC。的边长为8cm,当尸。=lcm时，直接写出

AP的长.

参考答案

1.B

【分析】

根据菱形的中心对称性，4、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可.

解：•••菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，

•••A、C坐标关于原点对称，

.•.C的坐标为（2,-5）,

故选C.

【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点

对称点的坐标特点是解题的关键.

2.B

【分析】

根据作图可得且平分AC,设AC与MN的交点为。，证明四边形AECF为

菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解.判

断③，根据角平分线的性质可得8尸=尸0,根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

解：如图，设AC与MN的交点为。，

根据作图可得且平分AC,

AO—OC»

•••四边形A3CD是矩形，

:.AD//BC,

：.ZEAO=ZOCF,

又•.•ZAOE=NCOF,AO=CO,

：.^AOE^COF,

:.AE=FC,

■.■AE//CF,

••・四边形AECF是平行四边形，

,..MN垂宜平分AC,

:.EA=EC,

四边形A£CE是菱形，故①正确；

@-.-FA=FC,

ZACB=ZFAC,

.♦.NAFB=2NACB；故②正确；

③由菱形的面积可得TACEF=CF・CO；故③不正确，

④•••四边形A3Q）是矩形，

..NA3C=90°,

若A/平分NBAC,FBVAB,FO^AC,

则8尸=">,

:.NBAF=NFAC,

■.■ZFAC=ZFCA,

•/ZBAF+ZFAC+AFCA=90°,

ZACB=30°,

:.FO=-FC,

2

■,FO=BF,

：.CF=2BF.故④正确；

故选B

【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含

30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

3.A

【分析】

直线AC上的动点P到山。两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由。关于宜线AC

的时称点8,连接BE,则线段BE的长即是PD+PE的最小值.

解：如图：连接8E,

；菱形A8C。，

；.B、。关于直线AC时称，

:直线4c上的动点尸到E、O两定点距离之和最小

,根据“将军饮马”模型可知BE长度即是尸D+PE的最小值.，

；菱形A8CD,ZABC=120。，点A（-3,0）,

ZCDB=60°,ZDAO=30°,OA=3,

OD=43,AD=DC=CB=2-73

...△CO3是等边三角形

BD=2百

:点E是C£＞的中点，

二DE=LcD=6且BELCD,

2

•*-BE=^BD2-DE2=3

故选：A.

【点拨】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线

段长.

4.A

【分析】

利用勾股定理求得的=20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得S

的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则=

解：•••在RtaABC中，ZACB=90°,AC=16,3c=12,

/.AB=dAC，+BC?=7162+122=20.

又为中线，

:.CD=-AB=\G.

2

•.•尸为OE中点，8E=8C即点8是EC的中点，

..8尸是△CDE的中位线，则BF=；CO=5.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利

用直角三角形的中线性质求出线段CO的长度是解题的关键.

5.C

【分析】

先根据矩形的性质可得4=9O°,A0|BC,再根据线段垂直平分线的性质可得

BM=DM,BN=DN,根据等腰三角形的性质可得NME>8==,从而

可得NMBD=NNDB,根据平行线的判定可得||ON,然后根据菱形的判定可得四边形

MBND是菱形,设8M=OM=x(x>0),则AW=4-x,在RS/WM中，利用勾股定理可得

x的值，最后根据菱形的周长公式即可得.

解：•.・四边形ABCD是矩形，

.­.ZA=90°,AD\lBC,

：.ZMDB=NNBD,

由作图过程可知，PQ垂直平分BD,

:.BM=DM,BN=DN,

NMDB=NMBD,NNBD=NNDB,

:.ZMBD=ZNDB,

BM||DN,

四边形MBM)是平行四边形，

又•；BM=DM,

,平行四边形是菱形，

设BM=OM=x(x>0),则=£>A/=4—x,

在RSABM中，AB2+AM2=BM\B|J22+(4-x)2=x2,

解得x=|,

则四边形的周长为48M=4x=4x-=10,

2

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知

识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键.

6.D

【分析】

根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据可以得到AD的长，然后根据

直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长.

解：♦.•。为斜边AC的中点，F为CE中点，DF=2,

：.AE=2DF=4,

'：AE=AD,

：.AD=4,

在RAABC中，。为斜边AC的中点，

：.BD^^AC=AD=^4,

故选：D.

【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题

的关键是求出A。的长.

7.B

【分析】

利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题.

解：在正方形中：AB=BC=2,ZABC=90°,

AC=ylAB2+BC2=A/22+22=20，

为正方形ABC。对角线AC的中点，

/.0C=-AC=>/2,

2

V^ACE为等边三角形,0为AC的中点，

:•EC=AC=2a，EOVAC,

：.NEOC=90。.

OE=4EC--OC-=（可=A/6,

故选：B.

【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是

解题的关键.

8.A

【分析】

过点。作0例，8c于点M,先证明四边形48FE是正方形，得出叱=C~=OM,再

利用勾股定理得出OC=^CF,即可得出答案.

过点。作。M_L8c于点M,

.-.ZOMC=90°,

•.•四边形A8CO是矩形，

:.ZABC=ZBAD=90°,

,;EF〃AB,AE=AB,

ZABC=ZBAD=90°=ZAEF,

四边形A8FE是正方形，

ZAFB=45°,OB=OF,

:.MF=-BF=OM,

2

•;BF=2CF,

：.MF=CF=OM,

由勾股定理得OC=\IOM2+CM2=JCF?+(2CF)2=辰F,

WC=非EF,

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟

练掌握知识点是解题的关键.

9.D

【分析】

过点4分别作AG_LBC于点G,/丁点”，可得四边形AGFH是矩形，从而得到

FH=AG,再由ZkABC为等边三角形，可得NBAG=30。，BG=\,从而得到FH=6，再证得

-4G=30°,然后根据直角三角形的性质，即可求解.

解：如图，过点A分别作AG,8c于点G,4”，。尸于点H,

'：DF±BC,

：.NGFH=NAHF=NAGF=90。,

四边形4GHy是矩形，

：.FH=AG,

♦.•△48C为等边三角形，

；.NBAC=60。,BC=AB=2,

,NBAG=30°,BG=l,

,AG=\lAB2-BG2=x/3，

，FH=#),

在正方形ABE。中，AD=AB=2,ZBAD=90°,

：.NDAH=NBAG=30。,

：.DH=-AD=1,

2

DF=DH+FH=y[3+\.

故选：D

【点拨】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等

边三角形和正方形的性质，宜角三角形的性质是解题的关键.

10.D

【分析】

取AC的中点M,连接EM设CO=2x,由中位线性质可得EM"CD,EM=gCD,EM=x,

再根据ZZMB=60°,ZDEF=450可得出FM=EM=x,从而得到FC的长，即可得到AF:FC

的结果.

解：如图所示：取AC的中点M,连接EM,DM,设C£)=2x,

•点E是DA中点，

/•EM是AACD的中位线，

EM//CD,EM=gcD,

EM=x,

・・・NDAB=60°,四边形ABC力是菱形，

・•.ZDAC=ZDCA=ZEMA=30°,ZAMD=90°,

-,­ZDEF=45°

・•・/EFM=45°-30°=l5°,/FEM=30o-15°=15°,

・•・/EFM=NFEM=15。,

FM=EM=x,

•・•CD=DA=2x,ZCAD=ZACD=30°,

：.DM=-AD=x,

2

AM=《AD?-AM，=也x

AC=25/3x,

AM=6x,

FC=2Gx-6x-x=石工-工，

•嘿=*=碧=2+3

故选：D.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关

键.

11.8

【分析】

利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可.

解：•.•菱形A8CD中，对角线AC,BO相交于点。，AC=4,

AC±BD,BO=OD=—BD,AO=OC=-rAC-2

22

QAB=2百，

:.BO=slAB2-AO2=4>

/.BD=2BO=8,

故答案为：8.

【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用

勾股定理解直角三角形，是解题关键.

12.叵

2

【分析】

连接AC交BD于一点0,过点M作MG//BD交AC丁一点G,则可得四边形MEOG是矩形，

以及AAGM三ABRV,从而得NF=AG,ME=0G,BPNR+ME^AO,运用勾股定理求出AO的

长即可.

解：连接AC交80于点O,如图，

D

；四边形A8CO是菱形，

17

：.AC±BD,BO=-BD=-,AD//BC,

22

/.ZADB=ZCBD,ZAOD=90°,

在KfAABO中，AB=4,BO=-,

2

AB2=BO2+AO2

，A0=勿1-2='42七J二三，

过点M作MG//BD交AC于点G,

：.ZAMG=NADB,ZMGO+NMOG=90°,

.・・NMGO=ZMGA=90°,

又ME工BD,

：.NMEO=90。，

J四边形MEOG是矩形，

:・ME=OG,

又NF工BD,

・・.ZNFB=90°,

：./NFB=ZAGM,

在&VFB和AAGA/中，

NNFB=NAGM

<4NBF=ZAMG,

BN=AM

：.ANFB好MGM

：.NF=AG,

/.NF+ME=AG+OG=AO=叵,

2

故答案为巫.

2

【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构

造全等三角形是解答本题的关键.

13.2#)

【分析】

先根据菱形的性质找到R3AOE和出△AOB,然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC

的长，再根据中位线性质，求出。尸的长.

解：已知菱形48CD,对角线互相垂直平分，

：.AC-LBD,在RdAOE中，

；0E=3,04=4,

.•.根据勾股定理得4£=反不=5,

'：AE^BE,

：.OB=AE+OE=8,

Rt^AOBAB=y]42+82=4>/5，

即菱形的边民为4行,

•••点/为CO的中点，点。为QB中点,

OF=-BC=2y/5.

2

故答案为2百

【点拨1本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质：熟练掌握菱形性质，

并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键.

14.♦或一

33

【分析】

过点E作EM_LG//于点M,根据题意可得四边形HEDG是平行四边形，证明“£=咫,

等面积法求得ME,勾股定理求得可得麻的长，进而即可求解.

解：①如图，过点后作田0，6〃于点”，

■.■DE//GH,AD//BC

.••四边形”££心是平行四边形

:.HE=GD=-AD^\

3

••・折叠

.­.ZFED=NCED

■.■ZMED=9Q°

即/FEM+/FED=90。

：./CED+/HEM=90。

:.ZHEM=ZFEM

・・・/EMF=NEMH=90°,ME=ME

:AHEM乌AFEM

..HM=MF,EF=HE=1

：.EF=EC=\

•・•四边形A5C£>是矩形

ZC=90°,DC=AB=&

RtziEDC中,DE7DC?+EC2=+俨=G

GH=DE=6

・.・ME上HG,HG//DE

S^LOfrF.Fr=-2-MExDE—SaDi/FcCt=—2DCxEC

DCxEC^xl_V6

ME=

DE43-T

Rt.HME中,

:.FG=HG-HF=HG-2HM=>j3--y/3=—

33

同理可得“E=Gr>=AD-AG=3-l=2,

EC=EF=HE=2,

:0=瓜，

DCxEC_ax22c

ME=

DE-V6~~

RtA”ME中，HM=y/HE2-ME2=^22-*=*

FG=HF-HG=2HM-HG=^--^=—

33

故答案为：立或正

33

【点拨】本题考杳了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以

上知识，注意分类讨论是解题的关键.

3瓜

1D.----

2

【分析】

作点。关于A8的对称点凡连接OF交A8于G,连接PE交直线AB于P,连接P。,

则PO=P尸，此时，PO+PE最小，最小值=EF,利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股

定理，求出。凡OE长，再证明AEOF是直角三角形，然后由勾股定理求出跖长即可.

解：如图，作点。关于AB的对称点F,连接OF交A8于G,连接PE交直线AB于P,

连接尸。，则P0=尸凡止匕时，PO+PE最小，最小值=EF,

,菱形ABCD,

：.ACLBD,OA=OC,O=OD,AD=AB=3,

,/NBAO=60°,

...△AB。是等边三角形,

：.BD=AB=3,ZBAO=30°,

3

：.OB=~,

2

：.OA=->]3,

2

.•.点。关于A8的对称点于

AOFLAB,OF=2OG=OA=-43

2f

，ZAOG=60°,

TCEJLAH于E,OA=OC9

OE=OC=OA=36,

2

•・・A〃平分N8AC,

：.ZCAE=\5°9

：.ZAEC=ZCAE=150,

：.ZDOE=ZAEC+ZCAE=30°,

・・・ZDOE+ZAOG=30o+60°=90°,

・•・ZFOE=90°,

・,•尸O+PE最小值二坟.

2

故答案为：岖.

2

【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股

定理，作点。关于A8的对称点F,连接0尸交AB于G,连接PE交直线AB于P,连接P0,

则PO=Pb,则PO+PE最小，最小值=所是解题的关键.

16.6073

【分析】

由正方形的性质证明AA5E=AAOF,即可得到Na4E=NZMF,再由NE4F=30。可得

ZBAE=ZDAF=ZEAF=30°,即可求出NAE3.设=表示出AAEP的面积，解方程

即可.

解：,••正方形A8CZ)

ZB=ZD=ZBAD=90°,AB=AD=DC=CB

'：AE=AF

：.Rt^ABE^RtiADF(HL)

AZBAE^ZDAF,BE=DF

'：ZEAF=30°,NBAE+NDAF+ZEAF=90°

NBAE=NDAF=ZEAF=30°

，ZAEB=a)°

设BE=x

AB=&x,DF=BE=x,CE=CF=(6—l)x

••S&AEF=SjE方形4438—S“ABE—-S.CEF

=AB2--ABBEX2--CECF

22

——(^\j3x)~—y/3x-x—(>/3—l)x•(>/3—l)x

2

=x2

的面枳等于I

x2=1>解得x=l,x=-l(舍去)

AB-yfix=y/s

故答案为：60：石.

【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30。直角三角形的性质,

熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

17.1

【分析】

连接AG,EG,根据线段垂直平分线性质可得AG=EG,由点E是CD的中点，得CE=4,

设BG=x,则CG=8-x,由勾股定理，可得出（8.）2+42=82+—求解即可.

解：连接AG,EG,如图,

：.AG=EG,

•••正方形A8CO的边长为8,

ZB=ZC=90°,AB=BC=CD=S,

•.•点E是CO的中点,

：.CE=4,

设BG=x,则CG=8-x,

由勾股定理，得

EG2^CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2^AB2+BG2S2+^,

(8-x)2+42=82+x2,

解得：户1,

故答案为：1.

【点拨】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形

的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键.

18.(24-12夜)

【分析】

由题意易得C£»=CE=Y2oE=6&cm,则当点。沿D4方向下滑时，得到△DV£,

2

过点C'作C'NLAB于点M作仁加_1人下于点M,然后可得AD'C'N咨AE'C'M,进而可知

点。沿D4方向下滑时，点。在射线AC上运动，最后问题可求解.

解：由题意得：NDEC=45。,D£=l2cm,

・・・CD=CE=—DE=6>/2cm,

2

如图，当点。沿D4方向下滑时，得到AQCE,过点C作C'N，A8于点M作

・・・ZDAM=90°9

・・・四边形NAMC是矩形,

JNNC'M=90°,

ZD'CN+ZNC'E'=ZNCE1+NEC'M=90°.

ZD'C'N=ZE'C'M,

•/D'C'=E'C',ZD'NC'=NE'MC'=90°,

ADC'N冬AE'CM,

CN=CM,

,?C'NLAB,CM±AF,

二AC'平分NNAM,

即点。沿DA方向下滑时，点C在射线AC上运动，

...当C'DLAB时，此时四边形C7Z4E'是正方形，CC的值最大，最大值为

AZ)-AC=(12-6夜卜111,

当点〃滑动到点AB寸，点C运动的路径长为2x(12-60)=(24-125/^cm；

故答案为(24-2&).

【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性

质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三

角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键.

19.(1)见分析(2)见分析

【分析】

(1)先根据四边形A8CO为平行四边形，得出AO=CO,BO=DO,再根据AE=CF,

得出EO=">,即可证明结论；

(2)先证明ZDCA=ND4C,得出ZM=£>C,证明四边形ABCO为菱形，得出

即可证明结论.

(1)证明：,••四边形ABC。为平行四边形，

AAO=CO,BO=DO,

'：AE=CF,

：.AO-AE=CO-CF,

即EO=FO,

四边形EBFD是平行四边形.

(2)；四边形ABC。为平行四边形，

二AB||CD,

ZDCA=ZBAC,

'：NBAC=NDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.DA=DC,

，四边形A8CC为菱形，

，AC±BD,

即EF1BD,

,••四边形EBFD是平行四边形，

二四边形EBQ是菱形.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，

熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键.

20.(1)见分析(2)/。尸。大小不变，理由见分析(3)CP=AQ,证明见分析

【分析】

(1)连接BD,由等边三角形的性质可得AC垂宜平分8/),继而得出AB=8C=8=4),

便可证明：

(2)连接尸8,过点尸作交A8于点E,PFLAB于点F,可证明VAPE是等

边三角形，由等腰三角形三线合一证明NAPr=NEPF,ZQPF=NBPF,即可求解：

(3)由等腰三角形三线合一的性质可得=QF=BF,即可证明.

解：⑴

连接BD,

■.AABC是等边二角形，

AB=BC-AC>

,•,点B,。关于直线AC对称,

.〔AC垂直平分BZ),

DC—BC、AD=AB,

.\AB=BC=CD=ADf

••・四边形ABC。是菱形；

(2)当点P在线段AC上的位置发生变化时，/。尸。的大小不发生变化，始终等于60。,

理由如下：

・・•将线段PD绕点尸逆时针旋转，使点。落在BA延长线上的点。处，

..PQ=PD,

v.ABC是等边三角形，

/.AB=BC=AC,ABAC=ZABC=ZACB=60°,

连接P8,过点。作心〃CB交A8于点，PFLAB于点F,

则ZAPE=ZACB=60°,ZAEP=NABC=60°,

NAP石=NB4C=60。=NAE尸，

:.^APE是等边三角形，

.・.AP=EP=AE,

-.PFA.AB,

；.ZAPF=NEPF,

・・・点3,D关于直线AC对称，点尸在线段AC上，

：.PB=PD,ZDPA=ZBPAf

：.PQ=PD,

\PFLAB,

ZQPF=NBPF,

ZQPF-ZAPF=ZBPF-ZEPF,

即NQ%=NBPE,

ZDPQ=ZDPA-ZQR\=ZBPA-ZBPE=N”E=60。；

(3)A0=CP,证明如下:

■,■AC^AB,AP=AE,

：.AC-AP=AHAE,B[1CP=BE,

；AP=EP,PFLAB,

：.AF=FE,

•：PQ-PD,PFLAB,

：.QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,B|JAQ=BE,

：.AQ=CP.

【点拨】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形

的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键.

21.(I)见分析(2)AF=g8C,理由见分析

【分析】

(1)易知点。，E,尸分别是AB,AC,8c的中点，所以线段。下与即也为AABC的

中位线，山中位线定理证得四边形4。/E是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分,

此题可证；

(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当时，平行

四边形AQFE为矩形.

(1)证明：,•,线段OE与AF分别为AA8C的中位线与中线，

：.D,E,尸分别是AB,AC,BC的中点,

线段。尸与E尸也为△A8C的中位线，

J.DF//AC,EF//AB,

四边形AOFE是平行四边形，

与DE互相平分.

(2)解：当时，四边形AOFE为矩形，理由如下：

•.•线段DE为4ABC的中位线，

由(1)知四边形AOFE为平行四边形，若QAOFE为矩形，则4尸=DE,

.•.当A尸=，8C时，四边形ACFE为矩形.

【点拨】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题

的关键是数形结合，熟练运用上述知识.

25

22.(1)见详解(2)不

4

【分析】

(1)先证明四边形ACFM是矩形，得到AD=MF,ZAMF=90°=ZMFD,再利用MNLBE

证得结合乙4=90。=/%根即可证明；

(2)利用勾股定理求得BE=IQ=MN,根据垂直平分线的性质可得B0=0E=5,BM=ME,

即有AM=AB-8M=8-ME,在放AAME中，AM2+AE2=ME2>可得(8-ME)?+6?=ME?,

2525

解得：ME=—,即有8M=ME=上，再在•△BMO中利用勾股定理即可求出MO,则

44

N。可求.

解：(1)在正方形ABC。中，有AD=DC=CB=AB,ZA=ZD=ZC=90°,BC//AD,

AB//DC,

VMF//AD,ZA=ZD=90°,AB//DC,

•••四边形AOFM是矩形，

：.AD=MF,ZAMF=90°=ZMFD,

:.NBMF=90o=NNFM,即/8MO+/OMF=90°,AB=AD=MF,

•.♦MN是BE的垂直平分线，

:.MNLBE,

：.NBOM=90*NBMO+NMBO,

二NMBO=NOMF,

ZNFM=ZA=90

"："MF=AB,

NOMF=NMBO

(2)连接ME,如图,

VAB=8,AE=6,

.•.在心△ABE中，BE=ylAB2+AE2=yjs2+62=10-

根据(I)中全等的结论可知MN=8E=10,

：MN是BE的垂直平分线，

BO=OE=-BE=5,BM=ME,

2

：.AM=AB-BM=S-MEf

・•・在对ZkAME中，AM2+AE2=ME2^

95

(S-ME)2+62=ME2,解得：ME=—,

4

25

・・・BM=ME=——，

4

，在川△8WO中，MO?=BM2-BO?,

・・・MO=