2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题01绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练(含详解)

专题01绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练

专题1.最值问题

最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律,

解题时能达到事半功倍的效果.

题型1.两个绝对值的和的最值

【解题技巧】卜―a+k-q目的是在数轴上找一点为使x到。和匕的距离和的最小值:

分类情况（X的取值范围）图示卜-4+卜一4取值情况

I*b|

当x<a时LKT一1无法确定

r*1

xab

卜HF」8b|」

当aWxWb时卜_4+,一4的值为定值，即为

a不b

k_一aJ

当无法确定

abA

结论：式子卜一。|+,一身在aKxWhEI寸，取得最小值为心一身。

例1.（2021•珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物.有了数轴以后，可以用数轴上

的点直观地表示实数，这样就建立起了"数''与"形”之间的联系.在数轴上，若点A，3分别表示数。，b,

则A，5两点之间的距离为A8=|a-4.反之，可以理解式子|x-3|的几何意义是数轴上表示实数x与实

数3两点之间的距离.则当卜+2|+上一5|有最小值时，x的取值范围是（）

A.x<-2或x>5B.xW-2或x25C.-2<x<5D.-2<x<5

变式1.（2022•江苏苏州•七年级阶段练习）同学们都知道，|5一（-2）|表示5与一2之差的绝对值，实际上

也可理解为5与一2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：（1）求|5一（-2）|=.（2）

找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x—2|=7这样的负整数是.（3）由以上探索猜想对

于任何有理数x,|x-3|+|x—6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.

例2.（2022.河南•郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立

起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合'’的基础.

例如：从“形'’的角度看：|3-1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的

距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与-1的两点之间的距离.

从“数''的角度看：数轴上表示4和-3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）.

根据以上阅读材料探索下列问题：

（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是:数轴上表示2和-5的两点之间的距离是：（直

接写出最终结果）（2）①若数轴上表示的数x和-2的两点之间的距离是4,则x的值为；

②若x为数轴上某动点表示的数，则式子lx+ll+lx-3］的最小值为.

变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5-（-2）|表示5与（-2）之差的绝对值，也可理解为5

与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5-（-2）|=.（2）找出所有符合条件

的整数x,使得卜+5|+仅-2|=7成立的整数是.（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x,|x

-31+lx-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.

题型2.两个绝对值的差的最值

【解题技巧】卜一4一卜一耳目的是在数轴上找一点心使x到。和6的距离差的最大值和最小值：

分类情况（X的取值范围）图示_q取值情况

——kzbi--------

当冗＜4时,一4_,_。|的值为定值，即为一—q

卜以一网＞1

xat)

卜

当aVxWb时•----5-卜-q|x-—|x—z?|4,一.

a不b

------——

当|二-一沙卜_._卜_母的值为定值,即为

T

ab不

结论：式子,一4一,一耳在时，取得最小值为一|。一4；在xNb时，取得最大值一4。

例1.（2022.浙江・温州七年级开学考试）代数式|x-1|-W+2I的最大值为“，最小值为6,下列说法正确的是

（）

A.。=3,b=0B.a=0,b=-3C.a=3,b=-3D.。=3,6不存在

变式L（2022.上海七年级期中）代数式|工-1|-卜+2|,当工＜-2时，可化简为；若代数式的最大值

为。与最小值为则必的值______.

例2.（2022•湖北十堰•七年级期中）设-1M3,则|x-3|-g|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为一.

变式2.（2022・湖北武汉•七年级期中）我们知道，1a1的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一

般地，点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B之间的距离可表示为|a-b|,请根据绝对值的几何意义

并结合数轴解答下列问题：

（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为一，数x与-1所对应的点的距离为一；（2）求|x+l|-|x-l|

的最大值；（3）直接写出|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|-|x-l|-|x-2|-|x-3|-|x-4|的最大值为_____.

题型3.多个绝对值的和的最值

【解题技巧】最小值规律：

①当有两个绝对值相加：

若已知a<b,k一。|+,一。|的最小值为匕一且数x的点在数”，人的点的中间；

②当有三个绝对值相加：

若己知a<h<c,—4+,一4+,一d的最小值为c-a,且数x的点与数〃的点重合；

③当有2〃+1（奇数）个绝对值相加：

|x一£7||+|x-|+......+\x-a2n\+\x-a2n+}\,且4（a2<....<«2«<。2"+1，则x取中间数，即当x=a“+i

时，—4+|x—局+....+|x-42"|+|"一々”+11取得最小值为

（。2"+1-。1）+（。2"-。2）+...+（%+2-4,）+。；④当有2〃（偶数）个绝对值相加：

|x-al|+|x-a2|+....+|x-a2/,_l|+|x-a2„|,且％<a2<....<a2n_x<a2n,则x取中间段，

即当a”VxKa“+i时，+|x—aj+...+|x一/”-i|+|x-取得最小值为

（。2“-4）+（见"-1一生）+...+（4,-2-%）+（。"+1-。"）。

例1.（2022.天津初一月考）若x是有理数，则上一2|+打一4|+打一6|+打一8|+...+卜一2018|的最小值是

变式1.（2022•武侯区校级月考）|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2014|的最小值为,此时x的取值

为.

例2.（2022•北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A,8分别表示数a,b.A,

8两点间的距离可以用符号恒邳表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A,8两点之间的距离MW.

--------W_七£—•2-------------a例如：当〃=2,0=5时，\AB\=5—2=3；当

ab------c0------d

a=2,b=—5时，|AB|=卜5-2]=7；当Q=-2,Z?=—5时，=k5-(-2)|=3,综合上述过程，发现

点4、8之间的距离(也可以表示为|。-中.

请你根据上述材料，探究回答下列问题：(1)表示数4和一2的两点间距离是6,则〃=；

(2)如果数轴上表示数〃的点位于一4和3之间，贝皿+4|+,-3|=

(3)代数式|叱1|+|。-2|+|a-3|的最小值是.

(4)如图，若点A,8,C,。在数轴上表示的有理数分别为a",c,d,则式子|a-x|+|x+6|+|x—c|+|x+M

的最小值为(用含有“，b,c,d的式子表示结果)

变式2.(2022•龙泉驿区期中)我们知道，在数轴上，同表示数q到原点的距离.进一步地，点48在数

轴上分别表示有理数a,b,那么A,B两点之间的距离就表示为冰反过来，|“-印也就表示4B两点

之间的距离.下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题.

例，若卜+5|=2,那么x为：

①|x+5|=2,即伏-(-5)|=2.

文字语言：数轴上什么数到-5的距离等于2.②图形语言：

22

AA

-8-7-6-5-4-3-2-10③答案：x为-7和-3.

请你模仿上题的①②③，完成下列各题：

(1)若W+4|=a-2|,求x的值;

①文字语言：

②图形语言：

③答案：

(2)仇-3|-国=2时，求x的值:

①文字语言：

②图形语言：

③答案：

(3)|x-l|+|x-3|>4.求x的取值范围：

①文字语言：

②图形语言：

③答案：

(4)求|x-l|+|x-2\+\x-3|+|x-4|+|JC-5|的最小值.

①文字语言：

②图形语言：

③答案：

课后专项训练：

1.(2022.全国七年级课时练习),-4|+k+2|的最小值为；此时x取值范围是.

2.(2022.全国.七年级课时练习)我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数

轴上3和1这两点的距离，而|3+1|即|3-(-1)|则表示3和这两点的距离.式子卜-1|的几何意义是数轴上

x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而k+2|=卜-(-2)|,所以卜+2|的几何意义就是数轴上x所对应

的点与-2所对应的点之间的距离.根据以上发现，试探索：

(1)直接写出18-(一2)|=.

(2)结合数轴，找出所有符合条件的整数x,|x-2|+|x+3|=5的所有整数的和.

(3)由以上探索猜想，对于任何有理数*,|x+4+|x-6|是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；

如果没有，请说明理由.

3.(2022・全国•七年级课时练习)阅读下面的材料：

点A、B在数轴上分别表示实数b,A、B两点之间的距离表示为IABI,当A、8两点中有一点在原点

时，不妨设点A在原点，如图1,\AB\=\OB\=\b\=1a-b1；当A、8两点都不在原点时：

0(4)BOABBAOBOA

0b0abba6b°°①如图2,

图1图2图3图4

点A、B都在原点的右边：

1AB|=|08|-|OA|=|b\-\a1=b-a=1a-b1；

②如图3,点A、夕都在原点的左边：

IAB|=|OBI-IOAI=IZ?I-I«I=-b-(-a)=Ia-bI；

③如图4,点A、B在原点的两边：

IAB|=|OAI+|08|=|a|+|6|-a+(-b)=\a-b\,综上，数轴上A、8两点之间的距离

IAB|=|a-bI.

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,数

轴上表示I和-3的两点之间的距离是；

(2)数轴上表示x和-1的两点A和8之间的距离是,如果|A8|=2,那么x为.

(3)当代数式Ix+1I+Ix-2I取最小值时，相应的x的取值范围是.

4.(2022.全国.七年级课时练习)问题提出：学习了同为数轴上表示。的点到原点的距离之后，小凡所在数

学兴趣小组对数轴上分别表示数。和数h的两个点A,B之间的距离进行了探究：

(1)利用数轴可知5与1两点之间距离是；一般的，数轴上表示数，"和数"的两点之间距离为.

问题探究：(2)请求出|x-3Hx-5|的最小值.

问题解决：(3)如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道&L旁依次有3处防疫物资放置点A,B,C,

已知AB=800米，8c=1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点尸，问尸建在直线L上的何处

时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？

---------•---------•---------------------------•-------------►

ABC5.(2021•湖北孝感・七年级期中)

同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之

间的距离.试探索：

(1)计算|5-(-2)|=；

(2)使得Ix-ll+lx+5|=6这样的整数有(写出所有符合条件的整数)；

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,式子|x-2|+|x+3.5|是否有最小值？如果有，请写出其最小值,

如果没有，请说明理由.

6.(2022•浙江杭州•七年级期末)同学们都知道，|4-(-2)|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4

与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理Ix-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之

间的距离，试探索：

(1)14-(-2)|=.

(2)找出所有符合条件的整数x,使|x-4|+|x+2|=6成立，并说明理由

(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x,lx-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，

说明理由.

7.(2022•山西•七年级阶段练习)A、3两点之间的距离表示为A8,点A、B在数轴上分别表示有理数。，

b,在数轴上A,5两点之间的距离A8=|a-q.

AB

---------------•------k---------------•-------A请用上面的知识解答下列问题：

a0b

(1)数轴上表示2和6的两个点之间的距离是,数轴上表示T和-3的两点之间的距离是

，数轴上表示2和-3的两点之间的距离是.

(2)数轴上表示了和_2的两点C和。之间的距离是；如果|C4=3,那么x为.

(3)求|x+l|+|x-2］的最小值.

8.(2021•湖南邵阳•七年级期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结

合.研究数轴我们发现了很多重要的规律.譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则A、B两点

之间的距离AB=|“-b|,线段A8的中点表示的数为审.如图，数轴上点A表示的数为-4,点B表示的

数为2.

——-------------------------------------------------------------►(1)求线段A8的长和线段A8的中点表示的数.

-402

(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+l|+k-2|=3.

(3)并由此探索猜想，对于任意的有理数x,|x-2|+k+4|是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，

请说明理由.

3

(4)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x-l=gx+l的解.数轴上是否存在一点P,使得以+PB

=PC,若存在，写出点尸所对应的数；若不存在，请说明理由.

9.(2022.浙江•七年级阶段练习)代数式|彳一1|一仇+6|-5的最大值是.

10.(2022•湖南•长沙市怡海中学七年级阶段练习)如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分

别对应的数为-5,b,4.某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A,发现点B

对齐刻度1.8cm,点C对齐刻度5.4cm.

ABC

w5c二叫叩13叫1叩叩,111|1111111『

~r-oI(1)求数轴上点B所对

0123456

图i图2

应的数6;

(2)点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到8的距离的两倍，求点P所表示的数;

(3)若点。在数轴上表示的数为x,则|x+5|+|x-4|的最小值为，卜+5|-|x-4|的最大值为

11.(2021・湖北咸宁•七年级期末)我们知道|x|的几何意义是表示在数轴上数x对应的点与原点的距离；即

H=|x-0|)这个结论可以推广为：禺-即表示在数轴上数4、乙对应点之间的距离.如图，数轴上数。

对应的点为点4,数b对应的点为点8,则A,8两点之间的距离AB=|a-M=a-

(1)|x+l|可以表示数对应的点和数对应的点之间的距离；

(2)请根据上述材料内容解方程上+1|=1；(3)式子|x+l|+|x-l|的最小值为；

(4)式子卜+1|-卜一2|的最大值为.

枭!--T-------->&'上」~—a12.(2021•浙江•七年级期末)|x+l|+lx-l|+|x-3|的最小值

是()

A.5B.4C.3D.2

13.(2022・重庆一中七年级阶段练习)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作同。数轴

上表示数a的点与表示数b的点距离记作如|3-5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，

|3+5|=|3-(-5)|表示数轴上表示数3的点与表示数一5的点的距离，M-3|表示数轴上表示数a的点与表示数3

的点的距离.

根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程)

(1)若=|x+l|,贝!］x=；若|x—2|=|x+l|,贝！］x=

(2)若|x-2|+|x+l|=3,则x能取到的最小值是,最大值是

(3)当|x-2|+|x+l|+|x+3］取最小值时，则X的值为

(4)当k-2|-|x+l|取最大值时，则x的取值范围是

14.（2021♦重庆•七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值.如图1,

在数轴上点A表示的数为-2,点8表示的数为1,点C表示的数为3,则8,C之间的距离表示为：=

A,C之间的距离表示为：AC=|3-（-2）|=|3+2|.

若点P在数轴上表示的数为x,则P,A之间的距离表示为：PA=|x-（-2）|=|x+2|,P,8之间的距离表示

为：PB=\x-l\.

ABC

—1------1-------1------1------1-------1------i------1------------1------►（1）如图1,

-5-4-3-2101234图1

①若点P在点A左侧，化简|x+21+1x-11=；

②若点P在线段AB上，化简|x+2|+|x-l|=；

③若点P在点8右侧，化简|x+21+1x-11=；

④由图可知，lx+2|+|x-l|的最小值是.

（2）请按照（1）问的方法思考：|x+3|+|x-l|+|x-2|的最小值是.

（3）如图2,在一条笔直的街道上有E,F,G,”四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m.己

知E,F,G,”四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这

8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校.聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇

合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从

小区门口到汇合地点的路程之和的最小值.

••••[5.（2021•浙江宁波•七年级期中）如图，点A、B在

石尸GH图2

数轴上分别表示实数。、b,A、8两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、8两点之间的距离AB=|a-b|,

请你利用数轴回答下列问题：

（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是,数轴上表示-1和2的两点之间的距离是；

（2）数轴上表示x和-3的两点A、8之间的距离48=,如果AB=2,则x的值为；

（3）|x+l|+|x+2|+lx-3|+|x-4|的最小值为________5

（4）-|x-2|的最大值为.

_1______■____________。16.（2022•浙江杭州•七年级期中）点P,。在数轴上分别表示的数分别为

0b

p,q,我们把p,q之差的绝对值叫做点P,Q之间的距离，即PQ=|p-q|.如图，在数轴上，点4,B,0,

C,。的位置如图所示，则3c=|3-1|=2；CO="q=l；M=|(-4)一(—2)|=卜2|=2.请探索下列问题：

―」」-I..........►(1)计算”(-4)1=,它表示哪两个点之间的距

离？.

(2)点M为数轴上一点，它所表示的数为x,用含尤的式子表示P8=；当P8=2时，

X=；当x=时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小.

(3)|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为.

17.(2022•浙江杭州•七年级阶段练习)问题一：有理数a,6,c•对应的数轴上的点是A,B,C.如果A、B两

点距离小于8,AC两点距离大于4,且C在AB之间，a=-3.5,b,c都是整数，试利用数轴求出b,c的

可能值

问题二：已知点A8在数轴上表示的数分别为加，”

(1)若A,B两点的距离为"，则〃=(用含加，〃的式子表示)

(2)由(1)的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示的点的距离

(3)若动点C表示的数为无，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.

0|x-2|+|x+3|；(2)|X-2|+|X+3|+|X+5|；(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x-20|

18.(2022•浙江七年级期中)若不等式|x-4|+|x-2|+|x-l|+|x|2a,对一切实数x都成立，则”的

取值范围是()

A.a＜5B.a＜5C.a＞5D.a＞5

专题2.绝对值化简问题

绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它

的身影，且易错，属于必掌握类型。希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题。

题型1.已知范围的绝对值化简

【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：

①判断绝对值符号里式子的正负；

两数相减：大的数-小的数＞0,转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0,转化到数轴上：左-右＜0.

两数相加：正数+正数＞0,转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；

负数+负数＜,转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；

正数+负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.

②将绝对值符号改为小括号：

若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.

③去括号：括号前是去括号，括号内不变；括号前是“一”，去括号，括号内各项要变号.

④化简.

例1.（2022•湖南长沙•七年级期末）有理数〃、氏c在数轴上位置如图，则,-。|-卜+耳+忸-d的值为（）.

―---------------------§------『A.2aB.2a+2b-2cC.0D.-2c

变式2.（2022♦河南周口•七年级期末）有理数“，人在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式

国+心1一口型的值是（）

ab-\a+b

_]QQ6]A.-1B.1C.3D.-3

\a\\h\Iclabbeacabc

例2.（2021・长郡集团郡维学校初一月考）如果U+U+U=-i,那么厂订的值为（）

abc\ab\\bc\\ac\\abc\

A.-2B.-1C.0D.不确定变式2.（2022•内蒙古赤峰七年级期中）x、y、z是有理数且孙zv。，

则区+出+以的值是（）

xyz

A.-3B.3或一1C.1D.一3或1

题型2.未知范围的绝对值化简

【解题技巧】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即何=。；②。的绝对值是o,即|q=o；③负

数的绝对值是它的相反数，即时=一。；④绝对值具有非负性，即时20。

例1.（2022•新都区校级月考）已知x为有理数，且|x-3|=2x+3,则x的值为.

变式】（2022•河北•七年级期中）若人氏c是有理数,间=3,附=10,\c\=5,且a,b异号,b,c同号，

求a-b-（-c）的值.

变式2.（2021•江苏•九年级）已知1】-汴1+旧,求lx-1

例2.（2022•福建福州•七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的

方程”.如：|x|=2,|2x-1|=3,…都是含有绝对值的方程.怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：

含有绝对值的方程一不含有绝对值的方程.我们知道，由㈤=2,可得x=2或x=-2.

【例】解方程：|2x-11=3.我们只要把1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.

解：根据绝对值的意义，得2x-1=3或2x-1=-3.解这两个一元一次方程，得x=2或x=-l.

根据以上材料解决下列问题：⑴解方程：根-2|=4；（2）拓展延伸：解方程枕-2|=|3x+2|.

变式3.（2022・湖北咸宁•七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思

想.例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a,B表示的数为6,则A,B两点的

距离可用式子|。-目（表示，例如:5和-2的距离可用|5-（-2）|或2-5|表示.

（1）【知识应用】我们解方程卜-5|=2时，可用把卜-5|看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上

找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2,所以该方程的解为x=7或x=3所以，方程,+5|=2的解为一

（直接写答案，不离过程）.

（2）【知识拓展】我们在解方|x-5|+|x+2|=7,可以设A表示数5,8表示数一2,P表示数x,该方程可以

看作在数轴上找一点P使得申+总=7,因为A8=7,所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无

数解，x的取值范围是-24x45.类似的，方程|x+4|+|x-6|=10的一（填“唯一”或“不唯一”），x的取值

是—，（“唯一”填x的值，"不唯一''填x的取值范围）；

（3）【拓展应用】解方程以+4|+]―6|=14

课后专项训练：

1.（2022・全国•七年级课时练习）如图，数轴上的三点4,B,C分别表示有理数小b,c,则化简|a-bHc-a|+|b-c|

的结果是（）

jBOC>A.2a-2cB.0C.2a-2bD.2b-2c

2.（2022・全国•七年级课时练习）已知a,方两数在数轴上的位置如图所示，贝U代数式|"4+|。-2卜怜+1|的

结果是（）

ba

•III•A.-2,a4-1B.2a-1C.3D.—1

-1012

3.（2021•浙江•杭州市弘益中学七年级期中）若2<a<3时，化简|a-2|+|a-3|（）

A.1B.2。-5C.-1D.5-2。

4.（2021・上海外国语大学附属双语学校期中）实数a,b,c在数轴上的对应点如图，同+,一可一卜+耳+|a-c|

的结果为_.

-%----。―j--------►5.（2021・福建・泉州五中七年级期中）若“、氏c,为整数，且|。一仟1+匕一砰⑼

=1,则|（7—"+g—C|+|C—0=.

6.（2021.云南昭通.七年级期中）如图，已知a、b、c在数轴上的位置.

（1）c-b0,a+b0,a-c0.（填“>”或“<”）

（2）化简：-\c-b\-|a+*|+|a-c|.

0丁W*■7.（2021•安徽安庆•七年级期中）已知a,b,c在数轴上的对应点如图

所示.

一JXJa>（1）判断正、负，用填

空：a+氏0,c—a0,b+c0,b—c0,a—b0；

（2）化简:\a\+\a+b\+\c-a\-2\b+c]-\b-c|+|a-b|.

8.（2021•抚顺县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示-3和2两点之间的距离是；一般地，数轴

上表示数m和数n的两点之间的距离等于-n\.

（2）如果|x+l|=3,那么x=；

（3）若|a-3|=2,|6+2尸1,且数a、b在数轴上表示的数分别是点4、点B,则A、B两点间的最大距离是,

最小距离是.

（4）若数轴上表示数。的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|=.

A%Ai（i；：42产9（2022•重庆渝北•七年级期末）已知A,B,C三点在数轴上对应的数

为a,b,c,它们在数轴上的位置如图所示，化简：|a+A+d—卜―A-a|=.

―b0c10.（2022•湖北十堰•七年级期末）有理数"、b、。在数轴

上的位置如下图所示，化简：|4+十上一目+|4+耳=.

~ba―011.（2022•全国•七年级课时练习）|x-2|+|x-4\+\x-6|+|x-8|的最小值是a,

回+也1+1£1=T,那么她+也+四+四的值为（）

abcabbeacabc

A.-2B.-1C.0D.不确定

12.（2022•全国•七年级专题练习）若就存0,则©+回+白的值为（）

abIQ

A.±3或±1B.±3或0或±1C.±3或0D.0或±1

13.（2022•江西上饶•七年级期末）已知x+a^O、x+bxO,那么包色+在叫=________或________或

x+ax+b

mn

14.（2022•江西・峡江县教学研究室七年级期末）已知相、”是两个非零有理数，则厨-同=

15.（2022•揭阳期中）“数形结合”是一种重要的数学方法.如在化简同时，当〃在数轴上位于原点的右侧

时，间=4；当。在数轴上位于原点时，间=0；当。在数轴上位原点的左侧时，同=-4.试用这种方法解

决下列问题.（1）当4=1.5,〃=-2.5时，㈤■一耳=；（2）请根据a、b、c三个数在数轴上的

aIbl

位置①求11+A+4r的值.②化简：\a-b\-2\a+b\+\b+c\.

lailbIIcI

~h―—a>16.（2022•浙江杭州•七年级期末）阅读与写作：

一个数学问题，在特定的题设下，有时其结论并不唯一，因而我们需要对这一问题进行必要的分类，将一

个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的结果

进行归纳综合，这种解决问题的思维方法在数学上称为“分类讨论”

例如在解方程|x+3|=2时，我们就可以利用这种思维方式来解决.当x+320时，原方程可化为x+3=2,

解得x=-l;当x+3<0时，原方程可化为工+3=-2,解得x=-5.所以原方程的解是x=-1或x=-5.

（1）请你用这种思维方式解方程|3x-2|-4=0.

（2）围绕“分类讨论”这一主题撰写一篇数学小文章，题目自拟.（要求：书写端正，字数限于100字内.）

17.（2022•广东•九年级竞赛）已知x为实数，且|3%-1|+四-1|+|5*-1|+…+|17x-1|的值是一个确定的常数,

则这个常数是（）.

A.5B.10C.15D.75

专题01绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练

专题1.最值问题

最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律,

解题时能达到事半功倍的效果.

题型1.两个绝对值的和的最值

【解题技巧】卜一。|+,一4目的是在数轴上找一点X,使X到。和b的距离和的最小值：

分类情况（X的取值范围）图示卜-4+卜一4取值情况

I*b|

2A

当x<a时LKT一1无法确定

r*1

xab

卜HF」8b|」

当aWxWb时卜_4+,一4的值为定值，即为

a不b

k_一aJ

,「Xb|,

当无法确定

abA

结论：式子卜一。|+,一身在aKxWhEI寸，取得最小值为,一小

例1.（2021•珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物.有了数轴以后，可以用数轴上

的点直观地表示实数，这样就建立起了"数''与"形”之间的联系.在数轴上，若点A，3分别表示数。，b,

则A，5两点之间的距离为AB=|a-4.反之，可以理解式子卜-3|的几何意义是数轴上表示实数x与实

数3两点之间的距离.则当卜+2|+上一5|有最小值时，x的取值范围是（）

A.xv-2或x>5B.xW-2或x25C.-2<x<5D.-2<x<5

【答案】D

【分析】根据题意将|x+2|+k—5|可以理解为数轴上表示实数X与实数-2的距离，实数X与实数5的距离，

两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.

【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）

当x<-2时，|x+2|+|x—5卜(-2-x)+(5-x)=3-2x；当一2K5时，|x+2|+|x—5卜(x+2)+(5-x)=7；

当x>5时,|x+2|+|x-5|=(x+2)+(x-5)=2x-3；

，|x+2］+|x—5］有最小值，最小值为7,此时一2<x<5，故选：D.

方法二：几何法(根据绝对值的几何意义)

|x+2|+|x—5］可以理解为数轴上衣示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，

通过数轴分析反现当—24xW5时，k+2|+|x—5］有最小值，最小值为7。

【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到卜+2|+卜-5|表示的意义，再利用

分类思想解答问题.

变式1.(2022•江苏苏州•七年级阶段练习)同学们都知道，|5-(一2)|表示5与一2之差的绝对值，实际上

也可理解为5与一2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：(1)求|5一(-2)|=.(2)

找出所有符合条件的整数x,使得打+5|+仅一2|=7这样的负整数是.(3)由以上探索猜想对

于任何有理数x,|x—3|+|x—6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.

【答案】(1)7；(2)-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；(3)最小值是3

【分析】(1)根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；

(2)分别讨论当x>2时，当-5人2时，当5时去绝对值进行求解即可；

(3)同(2)利用分类讨论的思想进行求解即可.

【详解】W：(1)15-(-2)|=|5+2|=7.故答案为：7；

(2)当x>2时，|x+5|+|x-2|=x+5+x-2=7,解得：x=2与x>2矛盾，故此种情况不存在；

当-5勺区2时,|x+5|+|x-2|=x+5+2-尤=7,故-5<x<2时,使得|x+5|+|x-2|=7,故使得|x+5|+|x-2|=7的整

数是-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；

当x<-5时，|x+5|+b-2|=-x-5+2-x=-2x+3=7,得x=-5与x<-5矛盾，故此种情况不存在.

故答案为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；

(3)|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3.理由如下：

当x>6时，卜-3|+|x-6|=x-3+x-6=2x-9>3；

当3人6时，|A-3|+|X-6|=X-3+6-X=3；

当xV3时，卜-3|+|x-6|=3-x+6-x=9-2x>3.

故|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3.【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特

点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答.

例2.（2022•河南•郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立

起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.

例如：从“形'’的角度看：|3-1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的

距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与-1的两点之间的距离.

从“数''的角度看：数轴上表示4和-3的两点之间的距离可用代数式表示为：4-（-3）.

根据以上阅读材料探索下列问题：

（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和