《高等代数》(上)题库

实用标准文案《高等数上）题第一章

多项式(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。、当是p(x)|g(x)。(1.4)3、当f(x)与g(x)

多项式时，由p(x)|f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)(1.5)4f(x)=x3+3x2用x+1除余数为3x-1除余数为5么a=b。(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3则k=。(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a=b=。(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=。(1.8)8、以l为二根，，1+i为根的次最低的实系数多项式f(x)=。(1.8)9知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的个根则f(x)全部是。(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1h(x),g(x)）=1

则。(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),。(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则。(1.4)16若且(g(x),h(x))=1。(1.5)17、若p(x)|g(x)h(x),且

则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),。(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。1、-x+62、不可约3、互素4、a=0,b=15、k=36、a=3,b=-77k=±2文档

实用标准文案8x-6x4+15x3-20x2+14x-491-i,1+i1+2

10(f(x)h(x),g(x))=111、p(x)|f(x)或p(x)|g(x)12、f(x)|h(x)13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=114f(x)|h(x)15、f(x)|g(x)+h(x)16g(x)h(x)|f(x)17、p(x)是不可约多项式18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x)19、x-α|f(x)20、(f(x),f(x))=1文档

实用标准文案(1.1)1、数集a是有数,i（）(1.1)2、数a,b是整,i（）(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x)()(1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x)（）(1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x)（）(1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,则（f(x),h(x)=1(g(x),h(x))=1()7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))=1()(1.6)8、设是数域p上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，则是f(x)的k-1重因式。（）(1.9)9、如果f(x)在有理数域上是可约的，则必有有理根）(1.9)10、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约）(1.1)11、数|,是有理数（）(1.1)12、数|n为整数（）(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x)()(1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)()(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)()(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式（）(1.6)17、若p(x)是f’(x)内的k重因式，则p(x)f(x)的k+1重因式（）(1.7)18、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约）(1.8)19、奇次数的实系数多项式必有实根）(1.9)20、f(x)=x

6

+x

3

+1在有理数域上可约）

1、√2、×3、×4、√5、×6、√7、×8√9、×10、√11√12×除法不封闭13×当f(x)是不可约时才成立14×如f(x)=x

2

，g(x)=h(x)=x时不成立15、√16、×17、×如

k+1

+118×、19、√虚根成对20、×变形后用判别法知不可约(1.1)1、以下数集不是数域的是（）A、bia是有理数i

2

=-1

B、bi|是整数i

2

=-1

C、|,b是有理数

D

(1.3)2、关于多项式的整除，以下命题正确的是（）文档

实用标准文案A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)则f(x)|h(x)B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)C、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则/f(x)|h(x)D、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)(1.4)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是（）A、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)|g(x),则（f(x),h(x)）=1B、若存在u(x)，，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C、若且有，则是f(x)和g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1(g(x),h(x))=1（）(1.7)4、关于多项式的根，以下结论正确的是（）A、如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根。B、如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根。C、如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约。D、一个三次实系数多项式必有实根。(1.6)5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（）A、若f(x)是f’(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式B、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)，f’(x)的公因式C、若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)重因式D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是

f()((),f(

的单因式(1.7)6、关于多项式的根，以下结论不正确的是（）A、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根D、一个三次的实系数多项式必有实根(1.7)7、设f(x)=x

3

-3x+k有重根，那么k=（）A、1B、-1C、±2D、0(1.9)8设

3

-3x2

+tx-1是整系数多项式当)时f(x)在有理数域上可约。A、1B、0C、-1D、3或-5(1.9)9、设3-tx2+5x+1是整系数多项式，t=（）时f(x)在有理数域上可约。A、t=7或3B、1C、-1D、0(1.9)10、设

3

+tx

2

+3x-1整系数多项式，当)时，f(x)在有理数域上可约。A、1B、-1C、0D、5或-3(1.5)11、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（）A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)=1或p(x)=cq(x)c≠0C、p(x)是任何数域上的不可约多项式D、p(x)是有理数域上的不可约多项式(1.9)12、设f(x)=x

5

+5x+1，以下结论不正确的是（）文档

实用标准文案A、f(x)在有理数域上不可约B、f(x)在有理数域上可约C、f(x)有一实根D、f(x)没有有理根(1.9)13、设f(x)=x

p

+px+1,p为奇素数，以下结论正确的是（）A、f(x)在有理数域上不可约B、f(x)在有理数域上可约C、f(x)在实数域上不可约D、f(x)在复数域上不可约1、B2、C3、D4、D5、D6、B7、C8、D9、A10、D11C12、B13、A(1.3)1、求m，p的值使x

2

+3x+2|x

4

-mx

2

-px+2解：用带余除法求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)r(x)=0即

0m求得m=-6p=3(1.6)2、判断f(x)=x4-6x2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数解：f’(x)=4x

3

-12x+8(f(x),f’(x))=(x-1)

2x-1是f(x)的三重因式(1.7)3、设f(x)=x

4

-3x

3

+6x

2

-10x+16,C=3，求f(c)解：用综合除法求得f(c)=40(1.7)4、决是t的值，使f(x)=x3-3x2+tx-1有重根15解J：由辗转除法使（f(x),f’(x)）≠求得或t=当t=3f(x)有三4151重根1当t=时，f(x)有二重根-42(1.9)5设f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2求f(x)的有理根并写出f(x)在实数域和复数域上的标准分解式。解：有理根是1（二重2实数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x+x+1)复数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x+

13-i)(x+i2(1.9)6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并写出在有理数域上的标准分解式。1解：有理根为（二重）分解式为)2(x2-x-1)2(1.9)7求f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3的有理根并写出f(x)在复数域上的标准分解式解：有理根为－1（四重）3，分解式f(x)=(x+1)(x-3)(1.8)8、已知i,z-i是f(x)=2x

5

-7x

4

+8x

3

-2x

2

+6x+5的两个根，求f(x)全部根解：全部根为i,-i,2-i,2+i,

12(1.8)9、求以1-i,i为根的次数最低的复系数多项式文档

实用标准文案解：f(x)=x

2

-x+(1+i)(1.8)10、求以1为二重根，1=I为单根的次数最低近的实系数多项式解：f(x)=x

4

-4x

3

-x

2

-6x+2(1.8)11、已知1-i是f(x)=x

4

-4x

3

-5x

2

-2x-2的根，求f(x)的全部根。解：全部根为1+i,1-i,1+,1-(1.3)1、试证用x

2

-1除f(x)所得余式为

f(ffx2证明：设余式为ax+b，则有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+bf(1)=a+b,f(-1)=-a+b求得a=

f(f(1)f(,2(1.3)2、证明，h(x)(f(x),g(x))=(f(x)h(x),g(x)h(x))其中h(x)是首项系数为1多项式。证明：设f(x),g(x)=d(x)，h(x)d(x)|h(x)f(x)h(x)d(x)|h(x)g(x)又存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d有h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v(x)=h(x)g(x)于是h（x）d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x))(1.4)3、证明，如果f(x)|g(x)h(x),且(f(x),g(x))=1则f(x)|h(x)证明：由(f(x),g(x))=1,存在使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,从而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x)所以f(x)|h(x)(1.4)4、证明f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x))证明：(f(x)+g(x))=d(x)则d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x)设d是1f(x)+g(x),f(x)-g(x)r的任公因式则(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x)1d(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x)故d(x)|f(x),d(x)|g(x),从而111d(x)|d(x)得证1(1.5)5、证明，g(x)|f(x)的充分必要条件是g

2

(x)|f

2

(x)证明f(x)=g(x)h(x),则

2

(x)=g

2

(x)h

2

(x)即g

2

(x)|f(x)

反之g

2

(x)|f

2

(x),将f(x),g(x)分解f(x)=aPl1(x)…ls(x),g(x)=bpr1(x)…p(x)其中，liri1s1s为非负整数，(x)为约多fi

2

(x)=a

2

p

1

2l1

(x)…ps

2ls(x),g2(x)=b2p2r1p2rs(x)由g2(x)|f2必有2r≤2l,即≤l于是1siiig(x)|f(x)。(1.7)6、设f(x)=axn

n

+axn-1

n-1

…+ax+an个非零根，αααn，证明1012

是g（x）=ax0

n

+ax1

n-1

+…+ax+an个根。n-1n证明：设α为f(x)的任非零根，则f(α)=aαnn

+aαn-1n-1

+…+aα+a=01o文档

01n-1nn实用标准文案01n-1nng(

1

111)=a()n+a()n-1+…a()+a=()n(an

+aαn-1n-1

+…+aα+a)=0所以1o1

是(x)的根

得证、设p(x)次数任意多项式，，p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)那么p(x)是不可约多项式证明：假设p(x)是可约的，设p(x)=p(x)p12其中(p(x))<(p(x)),(p(x))<(p(x))12显然p(x)|p(x)p(x)12

但p(x)|P(x),p(x)|p(x)12这与题设矛盾，即p(x)是不可约的。(1.5)8、设p(x)是数域p上不可约多项式，f(x)p上任一多项式，那么或(p(x),f(x))=1证明：设（p(x),f(x)）=d(x)

则d(x)|p(x)由p(x)不可约，知d(x)=cp(x)，c≠0，或d(x)=1当d(x)=cp(x)时，就有p(x)|f(x)(1.5)9设是数域上两个不可约多项式证p(x)q(x)=1p(x)=(q(x))c≠证明：因皆不可约，故有(p(x),q(x))=1或且即p(x)=cq(x)(1.7)10、证明，如果x

2

+x+1|f(x1

3

)+xf(x2

3

)那么x-1|f(x),x-1|f(x)12证明：x3-1=(x-1)(x2+x+1)设ω,ωx12

2

+x+1的根，则有ω

1

=1，ω3

=1，且ω,ω为f2121

3

)+xf(x2

3

)的根，那么有f(1)+ωf(1)=0112f(1)+ωf(1)=0122因ω≠ω解得f(1)=0f(1)=01212即x-1|f(x),x-1|f(x)12(1.9)11、设f(x)=axxn-1+…ax+a是整系数多项式证明，如果a0，均为奇数，nn-110f(1)，f(-1)中至少有一个为奇数，那么f(x)无有理根证明：若f(x)有有理根

uv

u,v互素则v|au|a,知u,v均为奇数，由u-v|f(1)，n0u+v|f(-1)知f(1),f(-1)均为偶数，这与题设矛盾，所以无有理根。文档

实用标准文案第二章

行列式(2.2)1、n级排列u(n-1)…21的逆序数是。(2.2)2、如果排列ii’in的逆序数是则排列’l’’的逆序数12n-121是。(2.4)3、

(2.3)4、(2.3)5、

xxx

xxx

xxx

xx

3(2.3)6、fx)

x

x

2x3

中x

(2.3)7、

xx

x2x1x

xx(2.4)8、若行列式中每一行元素之和都等于零，则行列式的值为。(2.4)9、

(2.4)10、

01

aa

文档

1234123实用标准文案1234123(2.2)11、在全部n级排列中，偶排列的个数为(2.2)12、若排列1274i56k9是偶排列，则i=k=120(2.6)13、1中的代数余子式是23120(2.6)14、1的代数余子式是23(4.2)15、设A为5级方阵，且|A|=1,则|-2A|=。(4.2)16、设A为5级方阵，且|A|=2,则|-2A|=。(2.3)17、6级行列式中项a

32

a

43

a

14

a

51

a

66

a的符号为。25(2.3)18、6级行列式中，项a

43

a

32

a

51

a

14

a

26

a的符号为。561(2.4)19、11cab1(2.4)20、ab

(2.5)21、△=

中

则△=。1

1

（2.5）22、△=1

1

中

则△=。

11、

nnn(2、-k3、54、aaa5、aaa2

4

6、-57、-18、0，9a+a+a+a+110a+a+a+a4321123

4

n!11、12i=8,k=313-414-615、1-3216171819(b-a)(c-a)(c-b)20(b-a)(c-a)(c-b)21、022、-3(2.4)1、若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为（）文档

实用标准文案(2.3)2、6级行列式中，项a

32

a

45

a

51

a

66

a带负号（）25(2.4)3、设d=

aaa121n1naaa则2n21

=d（）an1

2

2

(2.4)4、设d=

aaaa121n22na则an12aan1n1112

（）a(2.3)5、

xc

abcd

()zzx(2.3)6、

xx00

（）0cd(2.3)7、

efh

0

（）x(2.4)8、

ce

(gy

（）fy3(2.4)9、

67

0

（）(2.3)10、若n级行列试D中等于零的元素的个数大于

2

-n，则D=0（

）(4.2)11、设A为n级方阵：|A|=2，则|-3A|=-6()(4.2)12、设A为n级方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)

n

2（）文档

实用标准文案0b(2.8)13、

0ab0

b2)2

（）00(2.8)14、

00ab

a

)

（）0bcadb(2.4)15、

cdbcd

（）cad(2.4)16、

3111

（）13(2.3)17、设D=

c

c

c

c

则abcdD的一项3213

）(2.3)18、设D=

c

c

c

c

，则项abdc正号3412

）(2.3)19、如果行列式D的元素都是整数，则D值也是整数

）(2.3)20、如果行列D的元素都是自然数，则D值也是自然数

）(2.3)21、

a

（）0

000

0(2.3)22、=n！（）00

n00文档

实用标准文案1、√2、×3、×4、×5、√6、×7、√8、×9、√10、√11、×12、√13√14、√15、√16、√1718、×19、√20、×21、×22、×(2.2)1、排列n(n-1)…21的逆序数为（）A、n-1B、

nn2

C、nD、

nn2(2.2)2果排列ii…逆序数是k,则排列ii…ll’的逆序数是12nnn-121

（

）A、kB、n-kC、

nn2

D、

nn2

(2.2)3、关于n级排列ii…i,以下结论不正确的是（）12nA、逆序数是一个非负整数B、一个对换改变其奇偶性C、逆序数最大为nD、可经若干次对换变为…n(2.2)4、关于排列n(n-1)…21的奇偶性，以下结论正确的是（A、当n为偶数时是偶排列B、当n为奇数时是奇排列C、当n=4m或n=4m+2时是偶排列D、当n=4m或n=4m+1时是偶排列，当n=4m+2n=4m+3时奇排列(2.3)5、以下乘积是5级行列式的项，且符号为正的是（）A、aaaaaB、aaaaa31451224534554421223C、aaaaaD、aaaaa53214534121334224551

）(2.3)6、以下乘积是

c

c

c

c

的一项是符号为负的是）A、abcd321

3

B、abdc341

2

C、cbdc213

4

D、abcd123

4(2.4)7、设d=

aaa1n1211aaaa22则222n21

=（）

a

a

nA、dB、-dC、(-1)ndD、(-1)n-1d

a(2.4)8、设d如上，则文档

aan1mnaa121n

=（）

(()实(()A、(-1)

n

dB、(-1)

n-1

dC、dD、-daan12a,a1nn(2.4)9、设d如上则)aaA、dB、-dC、(

aan(n2

anaD、(-1)

n-1

d120(2.6)10、1中，5的代数余子式是（）3A、5B、-5C、-6D、6120(2.6)11、1中，-2的代数余子式是（）3A、2B、-2C、4D、-4

(2.4)12设

11

=()A、-3B、0C、3D、1(2.4)13、设

=（）A、1B、0C、-1D

0000

02(2.3)14、=（）n

000A、n!B、

!

0C、

!

D、(-1)nn!(4.2)15、设A为n级方阵，且|A|=2，则|-3A|=）A、-6B、6C、2(-3)nD、2n（-3）n(4.2)16、设A为n级方程，且|A|=3，则|-2A|=）A、-6B、6C、(-2)3

n

D、(-2)

n

3(4.2)17、设A为n级方阵，|A|=2,则|-A|=（）A、-2B、(-1)

n

2C、2D、-2(4.4)18、设A为n级方阵，A*是A的伴随矩阵，则当A|=-2时|A*|=（文档

）

21实用标准文案21A、2B、-2C-2）n2x1

D-2）n-1(2.4)19、设21=0，则x=（）4x

3

1A、1B、0C、1或0D、-111(2.4)20、设x

2

x=0，则x=（）123A、1或0B、1C、0D、-1x1(2.3)21、f(x)=

12

中，x

3

的系数是（）11A、4B、2C、-1D、1a

0(2.5)22、D=n

00=()01

a0A、an

-1B、a

n

+1C、a

n-2

-1D、a

n

-a

n-2ac0111(2.4)23、设D=1

0cbc0

，=

c2

c2ba

则D与D的关系为（12

）ca0b

A、D=D12

B、D=（abc）D2

1

C、D()

D、D2

1()

2

D1(2.6)24、

0ba0000a

=（）A、a

4

(a4

-b

2

)B、a

4

(a

4

+b

2

)C、a

4

(a

2

-b

2

)D、a

2

(a

2

-b

2

)(2.6)25、

0c0df

=（）A、abcdefB、-abdfC、abdfD、edf文档

实用标准文案123456789101213、B14151617181920212223、24、D25、B(2.5)1、d=

解各列（行）加到第一列（行）后，各行（列）减去第一行（列）d=160x11(2.5)2、d=

1x11y1解按第一列（行）拆成两个行列式之和d=x

2

y

2(2.6)3、D=n

a0解：按一行列（行）展开Dn=a

n-2

(a

2

-1)或由接拉普拉斯定理，按第行（列）展开2x1(2.5)4、求x的值使3x

2

1+

2

1

3=04x31x1

2x11左式=16=5x(x-1)

故x=0

或x=1x

3

16123n1

n110(2.5)5、22

00

00000

n11n解：各列各到第一列n-1aa

2(2.5)6、Dn=文档

x

iaa实用标准文案iaa解各（列都加到第一列后各（行去第一（行Dn=[x+(n-1)a](x-a)

n-1ab

00b0(2.6)7、D

n=

00b

a0解：按第一列展开Dn=a

n

+(-1)

n+1

b

n(2.6)8、D=n+1

100

a

解从第2n+1列分别提出a,a后一列减去各列Dn+1=aa…a(a-12n12n013333(2.6)9、D=333n

i

1ai

)33解：各行（列）减去第3行Dn=6(n-3)!(2.5)10、解关于x的方程a2naD(x)=1in=0,其中a≠a

j

i≠ja≠01

解：D（x）=

an

=a(a-x)（a-x）所以x=a，a11n-112

n-1

或者：

a因为D（ai）=0i=1，…,n-1

所以，x=a,a,…,a12

n-1(2.5)11、Dn=

11aa2aa22

1aaa1

nn文档

iizii实用标准文案iizii解从第二行起，各行减去上一行，得一范得蒙行列式2

1jn

(a)ij(2.6)12、Dn=

解：按第一行展开D=3D-2DD-D=2(D-D)继续下去，D-D=2(D-D)nn-1n-2nn-1n-1n-2nn-1n-221D-D=22D-D=2n按第一列展开D=3D-2D21nn-1nn-1n-2D-2D=D-2D=…D-2D=1解得Dn=2n+1-1nn-1n-1n-221或用归纳法D=3=22-1D=3D-2D=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-11nn-1n-2a

b

(2.8)13、D=2n

a

bd

d

(a)解：由拉普拉期定理，按第n，n+1列展开iii证明题(2.4)1、证明

a

()其中ci证明：将第i行乘以

i

后加到第n

i(2.5)2、证明

111

111111

111

aa

(1

i

1ai

)aii

,n1

1

1

1

文档

实用标准文案证明：按第一列拆成两个行列式的和，再用逆堆法=aD+a…a=aD+n1n-12n1n-1

aaa2naaD=aaD+1n-112n-2

123

…aa…aD=aa…aD+12n-2212n-11

a1n

n

各式相加得证。(2.5)3、设b，a，a，…，an+2个互不相同的数，且a≠001n0aaf(x)=

aa2nnaa证明（x-b，f(x)）=1a

aa10证明：f(x)=0

a0

a00

=a

0

n

(x-a)i

因为b,aa,…，a互01n0

0

i不相同，且a≠0(x-b,x-a)=10i

所以(x-b，f(x))=1(2.6)4、证明D=n+1

aaa

0000

=axn+ax01

n-1

+…+ax+an-1naa

0000

x证明：按第一行展开D=axn+1o

n

+D继续下去即得n

x

x

x

(2.6)5、D（x）=

a

a

其中a≠a，i≠j，证明，D(x)一个关于xia

的n-1次多项式，并求D(x)的根。证明：因为展开式中每一项含且仅含第一行的一个元素，所以（x）是一个关于x的文档

实用标准文案n-1次多项式。D(x)是一范得蒙行列式D(x)=i=1,2,…,n所以d(x)的根为a，a，…，a12n

1ji

(x-a)(a)D(aiijn(2.7)6、设a，，…，a数域P中互不相同的数b，，…，b是数域P中任一组12n12n数，证明，存在P上的唯一的多项式f(x)=Cxn-1

n-1

+Cxn-2

n-2

+…+Cx+C1

0使得f(ai)=bii=1,2，…，n证明由f(a)=b,得一线性方组，其系数行列式是一范得蒙行列式，且为不0，从而有唯ii一解C,C,…C01n-1(2.7)7、设a，，…，a，是数域P中互不相同的数，f(x)=cxn-1+cxn-2+…+cx+c是12nn-1n-21P上一个n-1次多项式，说明，如果f(a)=0,i=12，…，n，则f(x)必为零多项式。i证明：由f(a)=0，得一齐次线性方程组，其系数行列式为一范得蒙行列式，且不为0i方程组只有零解，即C，C，…，C全为0，即f(x)为零多项式。01n-1

(2.7)8、证明D=n

其中a

证明：按第一列展得D=(a+b)D-abDnn-1

n-2

写成D-aD=b(D-aD)可推出nn-1n-1n-2D-aD=bn-2(D-aD)=bn同理有D-bD=an，解得D=nn-121nn-1n

n

(2.6)9、证明D=n

n

n

其中a

证明D=(a+b)D-abD写成D-aD=b(D-aD)即D-aD=bnn-1n-2nn-1n-1n-2nn-1

n

同理D-bD=ann-1

n

由a≠b，消去Dn-1得D=n

n

n文档

实用标准文案(2.6)10、证明D=n

x

n

(

n

其中证明：将第一列的-x加到其他各列，再从第2,3，…，n提出都加到第一列便得。

(2.7)11、证明D=n

55

n

n

证明：D=5D-3·2Dnn-1

n-2写成D-3D=3(D-3D)=2nn-1n-1n-2

n同理D-2D=3nnn-1解得D=3n+1-2n+1n

(2.7)12、证明D=n

n

2

证明：D=2D-D写成D-D=D-D可得D-D=…D-D=1相加得D=n+1nn-1n-2nn-1n-1n-2nn-121n文档

实用标准文案第三章

线性方程组(3.3)1、一个向量线性无关的充要条件是这个向量为。(3.3)2、两个非零n维向量线性相关的充要条件是它的。(3.3)3、秩为r的向量组中任意r+1个向量都线性。(3.3)4、线性无关的向量组中任意一部分向量都线性。(3.4)5、在秩为r的矩阵中，任意r+1级子式等于。(3.5)6、线性方程组AX=B有解的充要条件是。(3.4)7、当λ=

时，齐次线性方程组

x1xx1

有非零解。(3.6)8、设线性方程组AX=B有解，并且的基础解系为X、X,特解为X，则AX=B120的任一解可表为。(3.6)9若n元齐次线性方组AX=0满足r(A)=rAX=0的基础解系中有

个解向量。(3.6)10、在线性方程组AX=B有解的条件下，解释唯一的充分必要条件是(3.4)11、矩阵A的秩为0的充要条件是A=。(3.4)12、设矩阵A中有一个r阶子式不为则r(A)，设矩阵中所有的r+1阶子式全为0则r(A)1非零向量2分量成比例3相关4无关506r(A)=r(AB)728、x+kx+kx(kk任意数)9、n-r10、只有零解11、012、≥r＜r+10112212(3.3)1、若向量组的秩为r，则其中任意r个向量都线性无关）(3.3)2、若向量组的秩为r，则其中任意r+1个向量都线性相关）(3.3)3、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量）(3.3)4、当a=a=…a=0时有aα+aα+…+a=0,那么α,α,…,α性无关。12r1122rr12r（）(3.3)5、若向量组α,…α每一个向量都不是其余向量的线性组合，那么α,12m1α,…,α性无关（）2m(3.3)6、若向量组α,…,α线性无关α不能由α,…,α线性表出么α,…,1rr+11r1α,α也线性无关（）rr+1文档

123412340(3.3)7、若向量组α，…，α性相关，则它的任意一部分向量也线性相关）1r(3.3)8、若向量组α，…，α性无关，则它的任意一部分向量也线性无关）1r(3.4)9、在秩为r的矩阵中，一定存在不为0的级子式）(3.4)10、在秩为r的矩阵中，任意r+1级子式均为）(3.5)11、若线性方程组AX=B中方程的个数小于未知量的个数则一定有无穷多解）(3.5)12线性方程组中方程的个数等于未知量的个数AX=B有唯一解）(3.5)13若线性方程组AX=B的方程的个数大于未知量的个数，则AX=B一定无解。（）(3.6)14、若线性方程组AX=B的导出组AX=0有穷多解，则有无穷多解）(3.6)15、若线性方程组AX=B的导出组AX=0只有零解，则有唯一解）(3.6)16、若矩阵A的行向量组线性无关，则方程组只有零解）(3.6)17、若矩阵A的列向量组线性无关，则方程组只有零解）(3.6)18、任意一个齐次线性方程组AX=0都有基础解系）(3.6)19、任意一个非齐次线性方程组AX=B都不存在基础解系）(3.6)20若n元齐次线性方组AX=0满足r(A)=rn则它有无穷多个基础解系）1、×2、√3、×4、×5、√6、√7、×8、√9、√10√11、×12、×13、×14、×15、×16、×17、√18、×19、√20、√(3.3)1、若向量组α,α,…,α线性相关，则向量组内（）可被该向量组内其余向12r量线性表出。A、至少有一个向量B、没有一个向量C、至多一个向量D、任何一个向量(3.3)2、向量组（1，0，01，00，1（1，2，1，0，1）的秩为（A、3B、2C、4D、5(3.3)3、设向量组α=,α=,α=,α=，则极大无关组为（0A、α,α1

2

B、α,α,α12

3

C、α,α,α12

4

D、α

1(3.5)4、设A

A，分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解,则（A、r(A)=r(AB、r(A)＜r(A)C、r(A)＞D、r(A)＝r(A(3.6)5、若线性方程组AX=B的导出组AX=0只有零解，则（A、可能无解B、有唯一解C、有无穷多解D、也只有零解(3.5)6、以下结论正确的是（）A、方程的个数小于未知量的个数的线性方程组一定有解B、方程的个数等于未知量的个数的线性方程组一定有唯一解文档

3322333223C、方程的个数大于未知量的个数的线性方程组一定有无穷多解D、A、B、C均不对(3.3)7、以下结论正确的是（）A、对向量组α,α,…α,若kα+kα+…+k=0有k=k=…k=0α,α，12r1122rr12r12α性无关rB、若有一组不全为0数λ，λ，…，λλα+λα+…，λα0，则向量组12r1122rrα，α，…，α性无关12rC、若α，…,α性相关，则其中每一个向量都可由其余向量线性表出。1rD、若有全为0的数k=k=…=k=0使kα+kα…+kα=0，则α,α，…，α线性12r1122rr12r无关。(3.5)8、设线性方程组AX=B的一般解为

x2xxx3

（x是自由未知量则（）3A、只有令x=0才能求出AX=B的特解。B、令x=1求得特解为C、令x3=2求得特解

D、令x=0求得特解(3.6)9设A为n×n矩阵，且齐次线性方程组只有零解则对任意n维列向量B，方程组AX=B（）A、有无穷多解B、无解C、有唯一解D、只有零解(3.6)10、设齐次线性方程组AX=0有无穷多解，则对任意维列向量B，方程组（）A、有无穷多解B、可能无解C、有唯一解D、只有零解1、A2、A3、B4、D5、A6、D7、A8、C9、C10、B(3.6)1、问向量组α=(1,-2,1,0,0),α=(0,0,-1,1,0),α=(4,0,0,-6,2)是不是齐123次线性方程组解答：

x25x02345xxxx045025

①的一个基础解系？为什么？是基础解系。∵可验证①的系数矩阵的秩为2∴基础解系中含有3个解向量又易知ααα①1,2,3的3个线性无关的解，故ααα作为①的基础解系。1,2,3(3.6)2、问向量组α，α=(0,0,1,-1,0)α3=(1,-2,3,-2,0)是不是12齐次线性方程组文档

由124→3153由124→3153100→131304302535xxxx045245解答：不是基础解系

①的一个基础解系？为什么？∵α=α+2α∴ααα性相关。3121,2,3(3.5)3、λ为何值时，下列方程组有解？有解时，求出解。

2x13xxx13xxxx134解答：

21

211

1

504

7315

→31000

3

可得λ=5时有解，且它的一般解为

xxx44x14x,x自由未知量。14(3.6)4、用线性方程组的特解及导出组的基础解系表示出一般解。

213xxx21234xxx123解答：

211

211

21

由

1121213

→

30302

→

1100100

→1

021

00可得导出组为，基础解系为α=解为γ0=所以一般解为xγ+kαk为任意数）0(3.3)5、试判断向量组α=（4，3，-1，1，-1）1文档

313112113131121100α=（2，1，-3，2，-5）2α=（1，-3，0，1，-2）3α=（1，5，2，-2，6）4的线性相关性。解答：设有x,x,x,x,使得xα+xα+x+xα=012341122344

4

21

1

2

1

2

则由0202

000

119

6

4

2

2

001可得α，α，α，α性相关。123400

0

00

证明题(3.3)1在向量组αα…,αα≠0每一个（i=2,…,m不能由αα…,1,2,m1i1,2,α线性表出，证明：此向量组线性无关。i-1证明：设有等式kα+kα+…+kα=0，∵αm不能由α，…,α线性表出，∴k=0。1122mm1m-1m上式为kα+…+kα=0，同理，α不能由α，…，α线性表出，故=0。依此11m-1m-1m-11m-2m-1类推最后得kα=0,又α≠0,k=0，因此α，α…,α线性无关。111112m(3.3)2设向量β可由向量组αα…α性表出但不能由αα…线性表出，1,2,r1,2,r-1证明：α由α，…，α，β线性表出，但不能由α…，α线性表出。r1r-11,r-1证明：由题设β=Kα+Kα+…+Kα，但β不能由，…，α线性表出，∴K≠α由α1122rr1r-1rr,…，α，β线性表出。假设α可由α，，…，α线性表出，即α=aα+…+a1r-1r12r-1r12r-1α把它代入β=Kα+Kα+…+Krα理得β可由α，…，α线性表出。矛盾。r-11122r1r-1(3.3)3设αα…α线性无关β=α+α+…+α（n>1证明-,β-α,…，1,2,n12n12β-α线性无关。n证明：设有等式K（β-α）+K（β-α）+…+Kn(β-α)=0即1122n（K+…+K）α+(K+K…+Kn)α+…+（k+…+k）α=02n11321n-1n∵α,α,…,α性无关∴得12n0213nn2n

0111011系数行列式1110

n

(n文档

∴齐次线性方程组只有零解，即K=K=…=K=0，故βα，β-α，…，β-α线性无12n12n关。(3.5)4、设n阶行列式

aa12aa222n2n

≠0

a

证明线性方程组

x11nxa22222xaxn12nn

无解。证明：∵行列式≠0，∴方程组的增广矩阵的秩为n但方程组中只有n-1个未知量，∴系数矩阵的秩≤n-1，即系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，∴方程组无解。(3.6)5、设齐次线性方程组x1x1nn

的系数行列式D=0D中某一元素a的代数余子式A≠0，ijij

x22

x证明：这个方程组的每一解都可写成（kA,kA,…，kA）的形式，这里为任意数。i1i2in证明∵D=0∴所给齐次线性方程组有非零解又∵某一元素a的代数余子式Aiy≠0，ij∴系数矩阵的秩为n-1，因此基础解系中只含有一个解向量。由aA+aA+…+aA=k1i1k2i2knin

D

iki

，可得A,A,…,A）为其个解，A≠0，i1i2inij∴它是一个非0解，于是（,A,…,A）可作为基础解系，∴这个方程组的任一解都i1i2in可写成（KA,KA,…，KA）的形式K为任意数）i1i2in(3.6)6、设线性方程组AX=B有解证明：AX=B有唯一解的充要条件是导出组AX=0有零解。证明：必要性：若导出组有非零解，那么这个解与原方程AX=B的一个解的和是其另一个解，∴AX=B不止一个解。充分性：若有两个不同的解，那么它们的差是导出组AX=0的一个非零解，∴若导出组只有零解，那么AX=B有唯一解。第四章

矩阵填空。(4.3)1、设A为n阶方阵，则|-2A|=|A|。(4.3)2设AB为两个三阶方阵且|A|=-1|B|=2,那么（′B-12|=。文档

1c1ca(4.2)3、若A+BC-X=2E，则X=。2(4.2)4、设A=0,B=3

20

,则（A+B′）′=。(4.2)5、设A,B是可逆矩阵，则矩阵方程C+A′的解X=。

001

(4.4)6、设A=0,则(4.5)7、设A，B是两个可逆矩阵，则

b(4.4)8、设A=,则*(4.4)9、设A=

,则

(4.4)10、设A可逆，则数乘矩阵KA可逆的充要条件是。(4.4)11、设|A|=a≠0，则|A

-1

|=。(4.4)12、设A，B为n阶可逆矩阵，则（AB）-1

=。1）2、

14

3、A+BC-2E4、

22

5、(A′(D-C)B6、

0

0120

1300

7、

8、

9、

sin

10、≠011、

1a

12、A(4.4)1、若A，B都不可逆，则A+B也不可逆。（）(4.4)2、若A，B都可逆，则A+B也可逆。（）(4.4)3、若AB可逆，则A，B都可逆）(4.4)4、若AB不可逆，则A，B都不可逆。（）(4.2)5、对任意矩阵A，A′A是对称矩阵。（）(4.3)6、四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4（）(4.2)7、2A-AB=A（2-B）。（）(4.3)8、|A+B|=|A|+|B|。（）文档

B、a11B、a111(4.2)9、若AB=0，则A=0或B=0。（）(4.2)10、若AB=0，且A≠0，则B=0。（）(4.2)11、若AB=AC，且A≠0，则B=C。（）(4.4)12、若AB=AC，且|A|≠0，则B=C。（）(4.2)13A+BA-B）=A

2

-B

2

。（）(4.2)14、若AB=BA，则（AB）n=AnBn。()(4.4)15、若AB=E，则B=A-1，A=B-1。（）(4.3)16、|KA|=|K||A|，k为数。（）(4.4)17、若|A|≠0，则|A*|≠0。（）(4.4)18、若A满足A

2

+3A+E=0，则A可逆。（）(4.2)19A+EA-E）=（A-EA+E（）(4.4)20、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵。（）1、×2、×3、√4、×5、√6、×7、×8、×9

10、×11×12√13×14√15√16×17√18√19、√20、×(4.3)1、若矩阵A，B满足|A|=|B|，则（A、A=BB、A2=B2C、A≠BD、不一定有A=B(4.2)2、设A，B分别为S×n，n×m矩阵，则（）有意义。A、B′A′B、BAC、A′BD、B′A(4.3)3、设A为3阶方阵，且|A|=a，则|3A|=（A、3aB、-3aC、27aD、-27a

34

(4.4)4、在矩阵1中，A=。2334A、-11B、11C、20D、-20(4.4)5、若n阶方阵A*=0，则r(A)为。A、n-1B、<n-1C、1D、0(4.4)6、设A=

cd

，则A*=。A、