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第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例

学习目标

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栏目链接1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式．

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栏目链接

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栏目链接1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n≥1，n∈N*)．思考1填空．已知x＞－1，且x≠0，n∈N*，n≥2.求证：(1＋x)n＞1＋nx.证明：(1)当n＝________时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．2

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栏目链接(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得的，为下面证明做铺垫)

(2)假设n＝k(k_____________)时，不等式成立，即_______________．当n＝k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；右边＝1＋(k＋1)x.≥2，k∈N*(1＋x)k＞1＋kx

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典例精析

栏目链接因为________，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x.这就是说，原不等式在n＝k＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．2．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础，也是不能少的．

kx2＞0

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栏目链接题型一证明不等式

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栏目链接变式训练1．证明：2n＋2＞n2(n∈N*)．

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栏目链接变式训练

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栏目链接题型二探索性问题

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