人教b版选择性必修第一册2.5.2　椭圆的几何性质学案VIP

2.5.2椭圆的几何性质学习目标1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2y2a2范围-a≤x≤a,且-b≤y≤b-b≤x≤b,且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长为2b,长轴长为2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原点(1)定义:椭圆的半焦距与半长轴长之比e=ca(2)性质:离心率e的范围是(0,1).当e越趋近于1时,椭圆越扁;当e越趋近于0时,椭圆就越接近于圆.思考:如图,观察不同的椭圆,椭圆的扁平程度不一样,怎样刻画椭圆的扁平程度呢?答案:在椭圆x2a2(1)椭圆方程x2a2+y2b(2)椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.椭圆关于x轴、y轴对称,同时关于原点对称.(3)椭圆的离心率:特别提醒:椭圆的焦点一定在长轴上.根据椭圆的方程研究其几何性质[例1](1)(2021·北京师大附中高二期末)椭圆x2+4y2=4的离心率为()A.14 B.12 C.3(2)(2021·济南历下校级期中)已知椭圆x212+y26=1的左、右焦点为F1,F2,P在椭圆上,且△PF1F解析:(1)因为x2+4y2=4⇒x24+y所以a2=4,b2=1,所以c2=a2-b2=3,e=ca=3(2)因为a2=12,b2=6,所以c=a2-b当∠F1PF2=90°时,点P在椭圆短轴顶点,此时P(0,6)或(0,-6),当∠PF1F2=90°时,点P(-6,3)或(-6,-3),当∠PF2F1=90°时,点P(6,3)或(6,-3),则这样的点P有6个.答案:(1)D(2)6针对训练:(2021·福建连城第一中学高二期中)已知椭圆C:x2a2+y24解析:因为a>2,所以椭圆C的焦点在x轴上,且a=b2+c因此,椭圆C的长轴长为2a=6.答案:6(1)已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.由几何性质求椭圆的方程[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)经过点M(0,5),N(-2,0);(2)短轴长为4,离心率为53解:(1)因为|5|>|-2|,所以所求椭圆的焦点在y轴上,则a=5,b=2,故椭圆的标准方程为y25+(2)依题意可得2则b=2,a=3,当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为x29+当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为y29+针对训练:(1)(2021·山东滕州校级期中)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()A.x25+yB.x24+C.x25+y2=1或x2(2)(2021·山东嘉祥校级期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(解析:(1)直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),与y轴的交点为(0,1),当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c=2,b=1,a所以此时椭圆的标准方程为x25+y当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为y2a2则c=1,b=2,a2=b2+c2=5,所以此时椭圆的标准方程为x24+(2)由题意可得a2-b2=(3)2,又离心率为32所以e=ca=3a=解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y答案:(1)C(2)x24+y(1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.(3)在求解a2,b2时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式a2=b2+c2,e=ca椭圆的离心率[例3]设F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆上存在一点P使得|PF1|-|PF2|=3b,|PF1|A.23 B.223 C.解析:由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|-|PF2|=3b,解得|PF1|=12|PF2|=12(2a-3b),|PF1|·|PF2|=9可得14(4a2-9b2)=9即为4a2-9ab-9b2=0,化为(3b-a)(3b+4a)=0,可得a=3b,c=a2-b2=9b2-针对训练:(1)(2021·四川涪城校级期中)设F1和F2为椭圆x2a2+y2bA.77 B.277 C.(2)(2021·江苏亭湖校级期中)已知平行于x轴的一条直线与椭圆x2a2+y2bA.105 B.55 C.5解析:(1)因为F1和F2为椭圆x2a2F1,F2,P(0,2b)是等边三角形的三个顶点,所以|PO||所以2bc=3,所以4b2=3c所以4(a2-c2)=3c2,即7c2=4a2,所以c2a2=4(2)根据椭圆的对称性得点P,Q关于y轴对称,而|PQ|=12a,∠PQO=π所以|PO|=|QO|,所以△POQ是等边三角形,所以Q(14a,34a),将点Q的坐标代入x2解得a2=5b2,又a2=c2+b2,所以c2a2所以离心率e=ca=2求离心率e的值或取值范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下:(1)若已知a,c可直接代入e=ca(2)若已知a,b,则使用e=1-(3)若已知b,c,则求a,再利用(1)或(2)求解;(4)若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(取值范围).与椭圆有关的最值或取值范围问题[典例探究](1)已知动点P(x,y)在椭圆x225+y216=1上,若A点的坐标为(3,0),M为平面内一点,|AM→|=1,且PM→·(2)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆的顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是.

解析:(1)由|AM→因为PM→·AM即PM为☉A的切线,连接PA(图略),则|PM→|=|PM→所以当|PA→|min=a-c=5-3=2时,|PM→|min=(2)设B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),A2(a,0).所以B2F2因为∠B1PB2为钝角,所以F2B1所以B2A2→·即a2-c2-ac>0.两边同时除以a2并化简得e2+e-1<0,解得-5-1又0<e<1,所以0<e<5-答案:(1)3(2)(0,5-与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法主要有以下几种:(1)利用数形结合、几何意义尤其是椭圆的性质,求最值或取值范围.(2)利用函数尤其是二次函数求最值或取值范围.(3)利用不等式尤其是基本不等式求最值或取值范围.(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围.[应用探究]设A,B是椭圆C:x23+y2A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)解析:当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当0<m<3时,A(-3,0),B(3,0),M(0,m).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OM|≤1,即m≤1,所以0<m≤1.当m>3时,A(0,-m),B(0,m),M(-3,0).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OA|≥3,即|-m|≥3,m≥3,m≥9.故选A.1.(多选题)(2021·湖南高二期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为(AC)A.x24+yB.x29+C.x29+yD.x25+解析:由题可得2a=6,2b=4,则a2=9,b2=4,故椭圆C的标准方程为x29+y24=1或x216+y29=1与曲线解析:首先化简x216+y29=k(k>0)为标准方程x216k+y29k=1(k>0),由方程形式可知,曲线x216+y29=1的长轴长是8,短轴长是6,焦距是27,离心率e=ca=7x212+y2m=1的离心率为解析:若焦点在x轴上,则a2=12,b2=m<12,所以c2=12-m,故e=ca=c2a2=12-m12=12,解得m=9,符合题意;若焦点在y轴上,则a2=m,b2=12<m,所以c2=m-12,故e=答案:9或164.已知长方形ABCD,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为.

解析:如图,|AB|=2c=4,因为点C在椭圆上,易得|CB|+|CA|=2a=3+5=8,所以e=2c2a=4答案:1[例1]求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=63(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.解:(1)若焦点在x轴上,则a=3,因为e=ca=63,所以c=所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为x29+若焦点在y轴上,则b=3,因为e=ca=1-b2a2=所以椭圆的标准方程为y227+所以所求椭圆的标准方程为x29+y23=1或(2)设椭圆方程为x2a2如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,所以c=b=4,所以a2=b2+c2=32,故所求椭圆的方程为x232+[例2]