2020版广西数学复习考点规范练46双曲线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精考点规范练46双曲线考点规范练B册第33页

一、基础巩固1.若a>1，则双曲线x2a2—y2=1A。（2，+∞) B。（2，2） C。（1,2) D。（1,2）答案C解析由题意得e2=c2a2=a因为a〉1，所以1<1+1a2〈2.所以1<e<2。故选2.当双曲线M:x2m2-y22m+6=1(-A.y=±2x B.y=±22C。y=±2x D。y=±12答案C解析由题意知,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5，当m=-1时，焦距2c取得最小值，则双曲线的方程为x2—y24=1，其渐近线方程为y=±23.(2018湖南湘潭模拟）若双曲线y2a2-x29=1（a>0A。2 B。4 C.18 D.36答案C解析双曲线的一条渐近线的方程为y=—a3x，所以—a3×13=-1，解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=4。设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(A.x242-y232C.x232-y242答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（—5，0），F2(5,0）,设曲线C2上的一点P，则|｜PF1｜—｜PF2||=8.由双曲线的定义知a=4，b=3。故曲线C2的标准方程为x2425。设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a〉0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(｜PF1｜-｜PF2｜)2A.2 B。15 C.4 D.17答案D解析由双曲线的定义知,(|PF1|—｜PF2｜）2=4a2，所以4a2=b2-3ab，即b2a2-3·ba=4，解得b因为双曲线的离心率e=ca所以e=17.故选D。6。已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(2，0）,且双曲线与圆(x—2）A.32 B。2 C.3 D。答案B解析因为双曲线x2a2-y2b2=所以c=2,因为双曲线与圆（x-2)2+y2=1相切，所以圆心为F（2，0),半径r=1。所以c—a=1,即a=1，所以双曲线的离心率e=ca=27。（2018江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b〉0）的右焦点F(c，答案2解析双曲线的渐近线为y=±bax，即bx±ay=0所以双曲线的焦点F(c,0）到渐近线的距离为|bc±0|a2+b2=bcc=b,解得b=32c,因此a2=c2—b2=c2—34c8。（2018江西六校联考）双曲线C：x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+｜BF2|的最小值为答案9解析由双曲线的定义,得｜AF2｜+｜BF2｜=｜AF1｜+2a+｜BF1|+2a=|AB｜+4a≥2b2a+4a=2×12+89.设A，B分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0,（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=33x—2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD，求t的值及点解(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23即bx—23y=0,所以|bc所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-（2）设M（x1,y1)，N（x2，y2），D(x0，y0),则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0。将直线方程代入双曲线方程得x2—163x+84=0，则x1+x2=163，y1+y2=12。故x0y由OM+ON=tOD，得(163，12）=（43t，3t），故t=4，点D的坐标为（43，310.已知点M(—2,0)，N（2,0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1）求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA·OB解(1)由｜PM｜—|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=2。又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c2所以W的方程为x22-y22=1(2）设A，B的坐标分别为(x1，y1），（x2,y2).当AB⊥x轴时，x1=x2,y1=—y2，从而OA·OB=x1x2+y1y2=x1当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1），与W的方程联立，消去y得(1—k2）x2—2kmx-m2—2=0，则x1+x2=2km1-k2，x1所以OA·OB=x1x2+y1=x1x2+（kx1+m）(kx2+m）=（1+k2)x1x2+km（x1+x2)+m2=(1+k=2k2+2k2又因为x1x2〉0，所以k2-1〉0。所以OA·OB〉综上所述，当AB⊥x轴时,OA·OB取得最小值二、能力提升11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b〉0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，△A。x24-y212=1C。x23-y2=1 D.x2—y答案D解析∵双曲线x2a2-y2b2=1(a〉0,b〉0)的右焦点为F（c,0）,点A在双曲线的渐近线上，且△OAF是边长为2的等边三角形,∴c=2,∴双曲线的方程为x2-y23=1。故选12.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a〉0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为A.52 B.5 C.2 D.答案C解析设F（c，0),渐近线方程为y=bax可得点F到渐近线的距离为bca2即有圆F的半径为b。令x=c，可得y=±bc2a2由题意可得b2a=b，即a=b,则c=a即离心率e=ca13.已知定点F1（—2，0),F2(2,0）,N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(）A.椭圆 B.双曲线 C。抛物线 D。圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点,∴｜MF2｜=2。∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1｜,∴｜|PF2｜—｜PF1｜｜=｜|PF2｜-|PM｜｜=｜MF2｜=2<｜F1F2｜，由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.14。已知双曲线x2a2-y2b2=1（a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上,且｜PF1|=4|PF答案5解析由定义，知｜PF1|-｜PF2|=2a。又｜PF1｜=4|PF2｜,∴｜PF1|=83a，｜PF2｜=23在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2=649a2要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值，∴当cos∠F1PF2=—1时，得e=53即e的最大值为5315.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l：y=kx—1.（1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A,B两点，O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组x2-整理得（1-k2）x2+2kx-2=0。故1解得—2<k〈2，且k≠±1。双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-2,—1）∪(—1,1）∪(1,2)。(2）设交点A（x1，y1)，B（x2，y2），直线l与y轴交于点D(0,—1）,由(1）知,C与l联立的方程组可化简为(1-k2）x2+2kx—2=0.故x当A,B在双曲线的一支上且|x1｜>|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=12(｜x1｜—|x2｜)=12｜x1—x2当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB=S△ODA+S△OBD=12(｜x1|+｜x2|)=12|x1—x2故S△OAB=12|x1-x2｜=2即（x1-x2)2=（22）2，即-2k1解得k=0或k=±62又-2<k〈2，且k≠±1,所以当k=0或k=±62时，△AOB的面积为216。如图所示的曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2—4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点。（1)试求双曲线的标准方程.(2）记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2，试在曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角.解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为（0，2)，半径为22.则下半圆所在圆的圆心为（0,-2)，半径为22。双曲线的左、右顶点A，B是该圆与x轴的交点,即为（—2，0)，(2,0)，即a=2。由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±22.即交点为（±22,2)。设双曲线的方程为x2a2-y2b2=则8a2-4b2=1，且a=则双曲线的标准方程为x24-（2）由（1）知双曲线的左、右焦点分别为F1（-22，0),F2（22，0）。若∠F1PF2是直角，则设P（x,y），则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2由x2+y2=8,x2故在曲线上所求点P的坐标为(6,2）,(-6,2),(-6,-2),（6,三、高考预测17。已知双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为A。1+3 B。5 C。3 D。2答案A解析由题意得F（-c，0)，A(a，0）,不妨设B（0,b）