高分突破智取压轴小题10 复杂数列的求和问题

复杂数列的求和问题复杂数列的求和问题一．方法综述数列的求和问题是数列高考中的热点问题，数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一数列求和中的新定义问题【例1】（2020银川一中模拟）对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝()A．2B．2nC．2n＋1－2D．2n－1－2【答案】C【解析】因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧：（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一反三】1.（2020湖南师范大学附属中学高三）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A．2022B．1011C．2020D．1010【答案】B【解析】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.2.已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为()A.2017B.2018C.D.【答案】A类型二子数列中的求和问题【例2】（2020贵阳模拟）已知有穷数列中，，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（）A.B.C.D.与的大小关系不确定【答案】A【解析】因为，，所以，当时，是中第365项，符合题意，所以,所以，选A.学科*网【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1当时，.则极大值点形成首项为1公差为2的等差数列，极大值形成首项为1公比为3的等比数列故.,故设S=3S=两式相减得-2S=1+2()-∴S=，故选A2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（）A.B.C.D.【答案】B∴=S1+S2+S3+…+Sn=+则的最小正整数为13类型三奇偶性在数列求和中的应用【例3】（2020·河北衡水中学高考模拟）已知数列，，且，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，【指点迷津】数列求和中遇到，，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列.分组转化法求和的常见类型还有分段型（如）及符号型（如）【举一反三】1.（2020福建省高三模拟）记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）A．430 B．840 C．1250 D．1660【答案】A【解析】令，得①或②由①得，令，得，故①共有n个解，由②得，令，得③，令，得④当n为偶数时，③有个解，④有个解，故②有n个解，故当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故令故故选：A2．（2020·山东高考模拟（文））设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．【答案】200【解析】【分析】由已知求，利用递推公式可得数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可求，即可求和.【详解】∵，且，∴， ∵，∴时，，两式相减可得，，（）即时，即，∵，∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，，∴，则数列，则的前10项和为故答案为200类型四周期性在数列求和中的应用【例4】（2020·江苏高考模拟）对于实数，定义：，已知数列满足，，，设表示数列的前和，若，则的值为__________.【答案】118【解析】【分析】对a分类讨论，利用递推关系可得周期性，进而得出所求结果.【详解】①当时，因为，，可得：，同理可得：故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或，不合题意舍去.②当时，因为，，可得：，同理可得：故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或（舍去）所以，,,所以，故填118.【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.【举一反三】1.数列满足，则数列的前100项和为__________．【答案】51002.已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．【答案】4018【解析】数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由，可得．故答案为：4018．类型五数列求和的综合问题【例5】（2020·河南高考模拟（理））已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】试题分析：，，两式相减得又，因此为以2首项，3为公比的等比数列，即，叠加法得，从而，因此对恒成立，即解得考点：和项求通项，等比数列定义，不等式恒成立【举一反三】1.已知数列和的前项和分别为和，且，，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____.【答案】【解析】，，可得，解得，当时，，化为，由，可得，即有，，即有，对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.故答案为：.2.（2020上海市青浦区模拟）等差数列,满足，则（）A．的最大值为50 B．的最小值为50C．的最大值为51 D．的最小值为51【答案】A【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.要使得取最大值，则项数为偶数，设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，而，所以，故.故选A【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.三．强化训练1．（2020·湖南师大附中高考模拟（理））设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（）A．290 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【详解】由得，当时，，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.2．（2020·北京人大附中高考模拟）已知数列和的前项和分别为和，且，,，若对任意的,恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以,因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.3．（2020·四川高考模拟（理））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴，∴，而∴，，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值94．（2020·吉林高考模拟）已知正项数列的前项和为，满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，解得；当时，，两式相减可得，，可得，所以，.，所以.故选A.5．（2020·沭阳县修远中学高考模拟）已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】】对3an+1+an=4变形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．所以bn=an﹣1=8×，an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整数n=76．（2020·江西师大附中高考模拟）数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据规律可总结出第行的和为，利用分组求和的方法可求得前行和，经验证，从而可得结论.【详解】第一行为，其和为，可以变形为：；第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；依此类推：第行的和：；则前行共：个数前行和为：满足而第六行的第个数为：，则满足的最小正整数的值为：本题正确选项：7．（2020·贵州高考模拟）设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin，∴，∴，随n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整数的最小值为3.8．（2020·山东高考模拟）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如.已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A．305 B．306 C．315 D．316【答案】D【解析】【分析】由题意，求解得图象，即可求解前项和，即可求解满足的最小整数的值．【详解】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，两式相减得，所以，此时，当时，对应的项为，即，故选D．9．（2020·广东高考模拟）已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围.【详解】因为…，所以…，故即，其中.而令，则，故，.，故，故恒成立等价于即恒成立，化简得到，因为，故.故选D.10．（2019·湖南长沙一中高考模拟）已知是函数的极值点，数列满足，，记，若表示不超过的最大整数，则（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】A【解析】由题意可得，∵是函数的极值点，∴，即．∴，∴，，，，，以上各式累加可得．∴．∴====．∴．选A．11.我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是【答案】9【解析】∵∴，∴，而∴，，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值912.（2020安徽省合肥市模拟）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为【答案】10【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，，两式相减得，则,解得，13.已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）.【答案】【解析】当是奇数时，，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此；当是偶数时，，，所以，，，…，，…是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以，即.14.（2020湖北省宜昌市模拟）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．【答案】【解析】由题意可知：，，，，∴，解得，∴∴∴①②①﹣②得，所以，整理得．故答案为：15．（2020·湖南长沙一中高考模拟）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为【答案】1044【解析】【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，k，总共的项数为，当时，，故该数列的前50项和为16．（2020·福建高考模拟）已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】【分析】由已知得到关于数列{an}的递推式，进一步得到{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比