高考数学精练第三章圆锥曲线与方程习题课3试卷含答案

习题课——直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案稳固提高组1.直线y=x+b交抛物线y=x2于A,B两点,O为抛物线极点,OA⊥OB,则b的值为( )A.-1B.0C.1D.2分析:设(1,y1),(2,y2),将y=x+b代入2,化简可得2220,故122,122,AxBxy=xx-x-b=x+x=xx=-b所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则b=2或b=0,经查验b=0时,不知足OA⊥OB,故b=2.答案:D2.(2016·全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右极点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A.B.C.D.分析:由题意,不如设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得(a-c),|OE|=ka.设的中点为,|FM|=kOEG由△OBG∽△FBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率e=,应选A.答案:A3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )-1-A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1分析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,∴圆心为(3,0),半径为1.双曲线1(0,0)的渐近线方程为y=±x.=a>b>∵双曲线的渐近线与圆C相切,∴1=.又双曲线的右焦点为圆C的圆心,∴c=3.联合c2=a2+b2解得b=1,a=2.∴双曲线的方程为21应选C-y=..答案:C4.已知双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.(1,)B.(1,)∪(,+∞)C.(,+∞)D.[,+∞)分析:直线y=2x必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|>2,即>2,则有4,所以25,所以e>.应选C>e=>.答案:C5.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点均分,则该弦所在直线的方程是.-2-分析:设弦两头点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-.∴所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=06.过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别订交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线C的方程为.分析:∵,⊥,∴FAFB∴△AFB为直角三角形.∵过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别订交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,∴|AB|=2.设|FB|=x,则|FA|=4-x,x2+(4-x)2=12,∴x2-4x+2=0,∴x=2±,∴|FB|=2+,|FA|=2-,22,∴a=,1,∴a=|FB|-|FA|=∴b=∴双曲线C的方程为-y2=1.答案:-y2=17.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,且=-4,则点A的坐标为.分析:设A,则,∵F(1,0),∴.∴=-=-4.-3-整理得,+12-64=0,∴=4,即y0=±2.∴点A坐标为(1,±2).答案:(1,±2)8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程.解设椭圆的方程为=1(a>b>0),且a2-b2=(5)2=50,①由消去y,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.设弦两头点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=.∵,∴,即232,②a=b此时>0.由①②得a2=75,b2=25,∴椭圆的方程为=1.9.抛物线y2=x上存在P,Q两点对于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.解设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴-②,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,∴∴y1+y2=-k.-1=k[(y1+y2)2-2y1y2-2].-k-2=k[k2-2y1(-k-y1)-2],∴2k213+2ky+k-k+2=0,-4-=4k4-8k(k3-k+2)>0,k(-k3+2k-4)>0,∴k(k3-2k+4)<0,k(k+2)(k2-2k+2)<0,∴k∈(-2,0).10.导学号90074086如图,已知抛物线C的极点为O(0,0),焦点为F(0,1).求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.进而|x1-x2|=4.由解得点的横坐标x=.同理,点N的横坐标MxN=.所以|MN|=|x-x|==8.MN令4k-3=t,t≠0,则k=.当t>0时,22.|MN|=>当t<0时,|MN|=2.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.-5-B组1.等腰直角三角形内接于抛物线22(0),O为抛物线的极点,⊥,点A在x轴上ABOy=pxp>OAOB方,则△ABO的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2分析:由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=x,由得A(2p,2p),则B(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以S△ABO=×4p×2p=4p2.应选B.答案:B2抛物线22上两点(1,1(2,2)对于直线对称,且12,则等于( ).yyxx=-y=xAxBxy=x+mmA.B.2C.D.3分析:依题意知kAB==-1,而y2-y1=2(),21,且在直线上,即∴x+x=-y=x+m+m,y2+y1=x2+x1+2m,∴2( )=x2+x1+2m,2[(x2+x1)2-2x2x1]=x2+x1+2m,∴2m=3,m=.答案:A3.已知两直线x=±1分别过椭圆1的两个焦点,则直线2与椭圆至多有一个交点=y=kx+的充要条件是.分析:由题意知椭圆的焦点坐标为(±,0),∵两直线x=±1分别经过椭圆的两个焦点,∴4-b2=1,∴b2=3.∴椭圆方程为=1.直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是-6-将直线方程与椭圆方程联立后,所得一元二次方程的鉴别式≤0,即方程(4k2+3)x2+16kx+4=0的鉴别式162k2-16(4k2+3)≤0,即k2≤,∴-≤k≤.答案:-≤k≤4.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别为.分析:易知2,1,c=,所以F(-,0),F(,0),设(,y),则12=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8),因为x∈[-2,2],故当x=0,即点P为椭圆的短轴端点时,有最小值-2.当x=±2,即点P为椭圆的长轴端点时,有最大值1.答案:1,-25.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为.分析:设双曲线的左焦点为F1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).因为2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.∵A(0,6),F1(-3,0),∴直线AF1的方程为=1,即x=-3.将其代入21得26y-960,x-=y+=解得y=2或y=-8(舍去),-7-所以点P的纵坐标为2.∴S△APF==·1·A·1F|·P|FF|y-|Fy=×6×6×6×2=12.答案:126.已知椭圆+y2=1,求斜率为2的弦的中点轨迹方程.解设直线与椭圆订交所得弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x,y),则两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.所以=-=-=2,所以x+4y=0,由题意知点M(x,y)落在椭圆内部,则有+y2<1,即<1,解得-<x<,所以所求的轨迹方程为40.x+y=7.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P知足条件|PM|-|PN|=2.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不一样两点,O是坐标原点,求的最小值.解(1)依题意,知点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所以所求方程为=1(x>0).-8-当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x,),B(x,-),=2.00当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,代入双曲线方程=1中,得(1-k2)222-20,①x-kbx-b=依题意可知方程①有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则得|k|>1,=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)22=(1+k)x1x2+kb(x1+x2)+b==2+>2.综上可知的最小值为2.8.导学号900740871122122已知点A(x,y),B(x,y)(xx≠0)是抛物线y=2px(p>0)上的两个动点,O是坐标原点,向量知足||=||.设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.求证线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值.(1)证明因为||=||,所以()2=()2,即+2-2,整理,得=0,所以xx+yy=0.①1212设(,y)是以线段AB为直径的圆上的随意一点,Mx则=0,-9-即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.睁开上式并将①式代入,得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.进而可知线段AB