2022年辽宁省鞍山市九年级第二次模拟考试数学试题（解析版）

2022年全市初中九年级第二次质量调查

数学试卷

（试卷满分150分，答题时间120分钟）

温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分.

一、选择题（每题3分，共24分）

1.-2022绝对值是（）

11

A.-2022B.2022C.------D.---------

20222022

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据绝对值性质计算即可得出答案.

【详解】由题意得：卜2022|=-（-2022）=2022.

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质.

2.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意;

B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;

C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意;

D、直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念;

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转

180。后与原图重合.

Y

3.不等式--+322的解集在数轴上表示正确的是（）

2

A.B.

C.

-1

【答案】A

【解析】

【分析】先解一元一次不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可.

x

【详解】解：——+3>2,

2

X

移项口J得：-大？1,

2

解得：x<2.

在数轴上表示不等式的解集如下：

—1-----1——।——।----1~~1->>

-2-10123

故选A

【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右拐，小于向

左拐的画图方法”是解本题的关键.

4.如图，AB\\CD,点E在直线8上，点G在直线A3上，过点E作EELGE于£,如果

ZDEF=130°,那么ZBGE的大小为（）

______________________

A---------------X-------------------------------B

D

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用邻补角求出NCE尸=50。，利用直角得到NGEC=40。，再利用平行线的性质得出结果.

【详解】解：•.♦/C£'F=18O°-/£>EF=18O°-13O°=5O°,

/.ZGEC=ZGEF-ZCEF=90°-50°=40°,

又,：AB〃CD,

：.NBGE=NGEC=40。,

故选择C.

【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角性质以及垂线的定义，解决问题的关键是确定与平行线相关的内

错角.

5.甲、乙两人进行射箭比赛，他们5次射箭的成绩（单位：环）的平均数依次为1甲=8.1，74=8.1，

射击成绩的方差依次为.扁=1.2,4=0.9,则哪位选手的成绩更稳定（）

A.甲B.乙C.两人一样D.不好确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据方差的大小进行判断即可.

【详解】解：•・$=1.2,舐=0.9,

其>5；,

乙选手的成绩更稳定，故B正确.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方

差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分

布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

6.如图，a//b//c,若AC=5,AE=15,Z）F=12,则8。的长为（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】解a〃b//c,

ACBD_5BD

*■---=----,即1rl-----------,

CEDF15-512

解得，BD=6,

故选：D.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）4B,。，点C为弧

BD上一点.若NC4D=30°,则阴影部分的面积为（）

55r-513/TC135尻1313年

A.一乃H—\3B.-7rH---C.—TC4—J3D.—TCH---

64646464

【答案】D

【解析】

【分析】取的中点O,连接OC,过点。作OELZC于点E,分别求出扇形OC。和△O4C的面积，得

到阴影部分的面积.

【详解】解：取4。的中点。，连接0C,过点。作OEL4c于点E,

,/ZAFD=9G°,

...力。为直径，

edAF'DF?=136+16=2屈，

：.OA=OC=OD=y/\3,

ZCOD=2ZDAC=60°,

60万1313

.扇形"°=苗—二%■万，

在直角AO/E中，

OE=OAsinZA=-OA=,

22

AE=OAcosNA=OA=

22

：.AC=2AE=y/39,

•c_1“1扇后」3石

•,Sv.m=]*.OE=/xJ39x-y-=—,

.•.阴影部分的面积S=上乃+身叵

64

故选择D.

【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形转化为规则图形面积的和或差.

8.如图，在正方形A8CD中，AB=4,点P从点”出发沿路径C向终点C运动，连接

DP,作DP的垂直平分线MN与正方形A8CO的边交于M,N两点，设点P的运动路程为x,APMN

的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）

BNC

【答案】A

【解析】

【分析】分点尸在N8和8c上两种情况，分别求出和P尸长，利用面积公式求解.

【详解】解：（1）如图，当0SE4时，点P在上，过点N作NEL4D于点E,设MN与PD交于一点、F,

：.NE=DC=AD,

则PD=7+AD2=VX2+42=&+16

又•••AW垂直平分PZ),

：.PF=-PD=-ylx2+16,

22

/./MDF+NFMD=NMNE+NFME=90°,

ZMNE=ZPDA,

在.4MNE和aDA中，

ZA=NNEM

<AD=EN

ZPDA=NMNE

：./\APD出AEMN,

:.PD=MN=&+\6>

：.y=-MN-PF=->]x2+16-->Jx2+\6=-x2+4,

'2224

(2)如图，当4〈烂8时，点P在8c上，

过点N作NELCD于点E,设交尸。于点儿

则》]402+0)2=J(8—才+16,

尸产=；J(8—xY+16

用(1)的方法得

W=^(8-X)2+16,

尸gJ(8_x1+16.gJ(8_xf+16=；(x—8)-+4,

1(X-8)2+4(4<X<8)

故选择A.

【点睛】本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点尸的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式.

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076

克，0.000000076用科学记数法表示是.

【答案】7.6x10-8

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中上同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正整

数，当原数绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：0.000000076=7.6x1O-8.

故答案为：7.6x10-8.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"10〃的形式，其中〃为

整数，表示时关键要正确确定”的值以及〃的值.

10.如图，在AABC中，NAC6=80°,将AABC在平面内绕点/逆时针旋转到△AB'C'的位置，使

CC平分NQCA,则旋转角的度数为.

【答案】1000##100g

【解析】

【分析】根据旋转的性质得出/B'C'A=80。，CA=AC,再根据角平分线的性质得出NCC'A=40。，利用

等腰三角形的性质可求旋转角.

【详解】解：在平面内绕点4逆时针旋转到△AB'C'的位置，

N&C'A=ZACB=80°,C'A=AC,

,/CC平分ZB'C'A,

：.ZCC'A=-ZB'C'A=40°,

2

NCCA=Z.CCA=40°,

：.ZC'AC^100°,

故答案为：100°.

【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用旋转的性质得出角的度数.

11.已知关于X的一元二次方程X2+（2a-l）x+/=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是

【答案】«<7

【解析】

【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,求出。的范围即可.

【详解】解：；关于x的一元二次方程V+（2a—l）x+〃=O有两个不相等的实数根,

.,.（2a-l）2-4tz2>0,

整理得：4/_4a+l-4/>0，

解得：a<一.

4

故答案为：a<~~:•

4

【点睛】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键.

12.如图，在中，NB=90o,A5=3,3C=4.将AABC折叠，使点8恰好落在边AC上，与点

8’重合，AE为折痕，则AEB'C的周长为

【解析】

【分析】首先利用勾股定理求出/C=5,根据折叠得到B'C=2,求出三角形的周长.

【详解】解：KtANBC中，NB=90。,

'-AC=y/AB2+BC2=V32+42=5，

由折叠知/夕=/3=3,

：.B,C=AC-AB,=5-3=2,

：.i^B'EC的周长为B,C+EC+B,E=B'C+EC+BE=B,C+CB=2+4=6,

故答案6.

【点睛】本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系.

13.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000

件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每

周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为

,,,,42003000

【答案】一犷丁

【解析】

【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件(/80)

件，根据快递公司的快递员人数不变且公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，即可得出关于

x的分式方程，此题得解.

【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件

(x+80)件，

依题意得：

4200300()

x+80x

4200_3000

故答案为:

x+80x

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

14.如图，两张矩形纸片重叠部分为四边形ABC。,ZAOC=60°,两张矩形纸片的宽分别为PQ,"N,

且PQ=2MN,若四边形ABC。的面积为4JJ，则四边形A8CD的对角线长为

0

【答案】273.2不

【解析】

【分析】过点/作AE，3c交8C于点E,过点8作BF交C0于点尸，过点8作BG，AD交。/

的延长线于点G.证明四边形A8C0是平行四边形，得到NG43=NAZ)C=60°,

ZBCQ=NA£)C=60°,ZABC=ZADC,利用面积列出方程，求出“N的长，再进而利用勾股

定理定理和三角函数求出对角线的长.

【详解】解：过点/作AEL8c交8c于点E,过点8作BR_LCQ交C0于点F,过点8作5G_LAO交

DA的延长线于点G,

:.AE=MN,BF=PQ=2MN,BG=MN,

•••矩形纸片，NAZ）C=60°,

Z.AD//BC,AB//CD,

四边形ABC。是平行四边形，且NG45=NA£>C=60。，ZBCQ=AADC=60°,

ZABC=ZADC=60。，

又•：PQ=2MN,

BF

BC

sinZBCQ

/.S£Re=BC-AE=+6MN-MN=+£MN2=4也,

O>lZJGtz3、3，

解得：MN=6MN=-6（舍去），

:.BC=+6MN=4,AE=MN=B

：.AD=BC=4,

•••ZABC=ZAZ>C=60°,

.R口BGAEV3.

tanZABCtan60°V3

：.EC=BC-BE=4-l=3,

■■AC=yjAE2+EC2=，（可+32=2A/3,

VZGAB^ZADC=60°,BG=MN=g，

.BGBGV3.

..AU=--------------=----------=—f=—1，

tanZGABtan6006

DG=DA+AG=4+1=5,

•••BD=y/BG2+DG2=+52=2".

故答案为：26，277.

【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理和三角函数.作出辅助线构造直角三角形,

进而利用勾股定理和三角函数求线段的长是本题解题的关键.

k

15.如图，反比例函数y=9（x>0）图象经过正方形0LBC的顶点48c边与y轴交于点。，若正方形

x

Q48C的面积为12,BD=2CD,则左的值为.

、18

【答案】—

【解析】

【分析】过点4作轴于点E,过点/作轴于点G,过点8作8/7L/G于点G,过点C作

Cx轴于点尸，过点8作轴于点/，过点C作CNLy轴于点M根据已知条件分别证明

AA6>E^AOCF（AAS）,AB440AAOG（AAS）,四边形ONCF,四边形3MG”和四边形AEOG为

矩形，即可得出CN=OE=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,根据已知条件可以证明

△CDNsMDM,得出丝=C2=，，设点/的坐标为：Im,—\,(rn>0),即可得出

BMBD2ImJ

「N-1/J\2

二7=得出机2=3左，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出加2+£=12,最后将

BM2[m)

m

加2=3%代入求出％的值即可.

【详解】解：过点N作NEJ_X轴于点E,过点力作ZGLy轴于点G,过点5作于点G,过点C

作CFLx轴于点尸，过点8作8MLy轴于点"，过点C作CNLy轴于点M如图所示：

;四边形048c为正方形，

：.AO=AB=BC=OC,ZAOC=ZOCB=ZOAB=NBC=90°,

「/EL■轴，CFJ_x轴，

ZAEO^ZCFO=90°,

ZCOF+ZAOE=180°—90°=90°,Z.COF+ZOCF=90°，

ZAOE=ZOCF,

：.AAO修△℃尸(AAS),

：.AE=OF,OE=CF,

■:BHLAG,4GJ_y轴，

NBHA=ZAGO=9QP,

ZGAO+/BAH=90°,NGAO+4GOA=90°,

NBAH=NGOA,

：.ABAHgAAOG(AAS),

;.OG=AH,

•：BMLy^A,CNA轴，

，NCNO=NCND=ABMO=90°,

4CDN=/BDM,

△CDNsgDM，

.CN_CDI

••丽―防―5'

NCFO=乙FON=Z.CNO=90°,

...四边形ONCF为矩形，

同理可得：四边形3MG”和四边形AEOG为矩形，

:.CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

设点/的坐标为：(机,(niX)),

：.CN=OF=AE=OG=AH=—,

m

OE=AG=m,

:.BM=GH=m~—,

m

k

.CN==1

"BMk2'

m----

m

即m2=3k>

•.•正方形0/8C的面积为12,

OA2=12>

在RtZ\O4E中，OA2=AE2+OE2.

Yk-

把疗=3人代入疗+-=12得：3%+—=12,

^m)3k

1Q

解得：k=—.

1Q

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函

数，设出点N的坐标找出，“与人的两个关系式，是解题的关键.

16.在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,点E为边上一点，将ACED沿直线CE翻折得到ACE。'，

点OC恰好落在A3边上，过8作BGLCE分别交CD',C£,8于H,G,F三点、,连接DG,则下列结

论：①=g石；②8G=4FG；③ADBHSAGBD，；@SADGA=1；其中正确的有

.（填序号即可）

【答案】①②##②①

【解析】

【分析】由折叠的性质可知，DE=BE，CD'=CD=5,在放△CB。'中，根据勾股定理可解得

BD'=YJCD'2-CB2=31故ACXnAB-BZ）'=2，设.DE=DE=x,则AE=4-x,在R/AAD'E

中，AE2+AD'2=D'E2>代入数值可解得无=T，再在中，由勾股定理可解得

CE^y/CD2+DE2,可判断结论①正确；连接">'交EC于点K,首先证明四边形OZXB尸为平

2

行四边形，可推导£>£>'=3尸，DB=DF=3,故C户=8—。尸=2,在中，由勾股定理

可得DQ'=JAD"+AD?=26,即有OK=D'K=百，在R，ACDK中，由G尸〃。K可知

空=竺，代入数值解得GF=2Y5,再计算8G=8尸一/6=延，然后可知会=4,可判断结

DKCD55FG

论②正确；由折叠性质及BG_L£C,可证明△FCG0Z\HCG，故有//G=RG=32,贝U

5

BH=BG—GH然后可计算烈=且，丝=与叵，由20力竺，可知△£>§”与

5BH2BD'15BHBD'

△G8D'不相似，进而判断结论③错误；连接4G、DG,过点G作MN//CD交4D于点M,交BC于点、

CNRCQ1/7

M根据平行线分线段成比例可知—=—史，代入数值可解得GN=?,所以GM=」，然后可计算

FCBF55

134

SADGA=-ADMG=—,可判断结论④错误•

【详解】解：；四边形A88为矩形，

ACD=AB=5,AD=BC=4,

由折叠的性质可知，DE=UE，CD'=CD=5,

在阳△C8D'中，BD'=ylCD'2-CB2=A/52-42=3-

AD'=AB-3£>'=5-3=2,

设DE=D'E=x,则AE=AD-OE=4-x,

在RtAAD'E中，AE2+AD'2=D'E2，

即(4—x>+22=/,解得x=2,

2

DE=D'E=-,

2

在RAEDC中,CE=JCD?+DE)=亚+(|>=亭,

故结论①正确；

连接DO'交EC于点K,如图所示，

由折叠性质可知，DE=D'E-力EK=AUEK，

：.DD'.LEC,DK=DK，

,/BGA.CE,

DD'HBF,

四边形。73/为平行四边形，则OD=BE,UB=DF=3,

CF=CD—DF=5—3=2,

在Rt^ADD'中，DD'=\lAD'2+AD2=722+42=2石，

/.DK=D'K=^DD'=45,BF=DD，=25

在用ACDK中，GF//DK,

空q,即竿j,解得G尸=2叵

DKCDV555

♦n厂or”。氏8君

・・BCJ=BF—rG=2>J5-------=------，

55

875

BG--

.-.—=-^-=4,即BG=4EG,故结论②正确;

rG2A/5

由折叠性质可知，ZDCE=ZD'CE,

•••BG工EC,

：.NFGC=NHGC=90°,

又,：CG=CG,

：."CG也△"CG,

nR

；•HG=FG=*，

5

/.BH=BG-GH=---=—

555

D'B3V58班

；•~BH一砺一TGB=亏「86，

丽一-IF

D'BGB..i-r-A.ni

1/——w―则4。'3”与△G8D'不相似,故结论③错误;

BHBD

如下图所示，连接/G、DG,过点G作肱V〃C£＞交/。于点M,交8C于点N,

「NRC'Jo

在RfABFC中,有—=上，即GNy一，解得GN=2,

FCBF-=~^r5

22V5

0I,7

GM=MN-GN=CD-GN=5——=—,

55

111734

'■SADGA=-ADMG=-X4X—=—,故结论④错误•

故答案为：①②.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段

成比例等知识，解题关键是熟练掌握相关性质.

三、解答题(每题8分，共16分)

17.先化简，再求值：[-----T~a~------，其中。=。^+1.

[a-3Ja-3

【解析】

【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后把4=痛+1代入，即可求解.

一。+1—+3d—。+3ci—3

【详解】解：原式=------------------

〃一3X-―+-(―〃--1)

_-cr+3〃+4

(a+l)(a-1)

一(〃-4)(〃+1)

(a+l)(a-l)

—-4---a--

a—\

当a=指+1，

4■■拓-]3-瓜瓜-2

原式=

V6+1-1-瓜2

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.如图，在AABC与AOCIB中，AC与3。交于点E,且NA=ND，ZACB^ZDBC,求证：

AB=CD.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据两个三角形全等的判定定理A45找到条件即可得出结论.

【详解】证明：在AABC和ADCB中，

ZACB=ZDBC

<ZA=ZD,

BC=BC

：.MJ3C^DCB（AAS）,

AB=CD.

【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握判定两个三角形全等的条件是解决问题的关键.

四、解答题（每题10分，共20分）

19.每年的4月23日是“世界读书日”，为了落实“爱读书，多读书，读好书”的理念，某校抽样调查部

分学生的每周课外阅读时间x（单位：小时），共有5个选项：A：0<x<2；5：2<x<4；C：

4<x<6；D：6<x<8；E：8<x<10；分组整理后，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图，

如下图所示：

根据图中的信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了学生—人，。组对应的圆心角度数为；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若该校共有学生2000人，请估计该校课后阅读时间x（单位：小时）为64x<8的人数大约为多少

人？

【答案】⑴120；144°

（2）补全直方图见解析

（3）800人

【解析】

【分析】（1）根据频数分布直方图与扇形统计图的数据信息，求出样本容量及相应圆心角度数；

（2）根据E组所占比例求出相应人数，再根据总人数求出。组人数即可补全直方图；

（3）根据样本中课后阅读时间6Vx<8的人数占比来估计总体2000人的情况即可得到结论.

【小问1详解】

1Q

解：根据频数分布直方图与扇形统计图中B组数据可得此次调查的学生总数为——=120（人）；根据频数

15%

48

分布直方图力组有48人，占比为——xl00%=40%,从而得到。组对应的圆心角度数为

120

360°x40%=144°；

故答案为：1201144。

【小问2详解】

解：由扇形统计图可知E组所占比例为10%可得人数为120xl0%=12（人）；。组人数为

120-6-18-48-12=36（人），

补全频数分布直方图如下：

解：样本中课后阅读时间6Mx<8的人数占比就是。组情况，则

482

2000x—=2000x-=800（人），

1205

答：该校课后阅读时间为68的人数约为800人.

【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体的知识点，读懂题意，准确找到直方图

与扇形统计图的数据关系是解决问题的关键.

20.同学们都玩过“石头、剪子、布”游戏，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石

头”，若两人同时出手相同的手势，需要重新出手，直至分出胜负；小明与小华做此游戏，随机出手一

次，请用列表法或画树状图法求小华同学获胜的概率.

【答案】-

3

【解析】

【分析】利用树状图法求解.

【详解】解：画树状图如下：

此事件共有9种可能情况，且可能性相等，其中小华获胜有3种情况,

分别为：石剪、剪布、布石；

p_3_1

q小华喇-g-3.

【点睛】本题考查利用列表法和树状图法求概率，解决问题的关键是确定这个游戏所有等可能的结果.

五、解答题（每题10分，共20分）

21.某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CO.如图，一架水平飞行的无人机在/处测得正

前方河流的左岸C处的俯角N8AC为64°,无人机沿水平线■方向继续飞行25米至8处，测得正前方

河流右岸。处的俯角为30。，线段AE的长为无人机距地面的铅直高度，点E,C,。在同一条直

线上，且点E与点C之间的距离为20米，求河流的宽8的长，（结果精确到1米，参考数据：

6»1.732,tan64°«2.05,cos64°»0.44）

【答案】76米

【解析】

【分析】过8作即交于〃，首先由解直角三角形可求出/E的长，得出8H的长，再由解直角三角

形求出。〃的长，进而求出CH和CD的长即可.

【详解】解：如图：过8作交于4,

AF〃ED，

QZACE=ZBAC=M°,2FBD=ZBDH=30°,

在用AAEC中，CE=20,tanZACE=—,

CE

□AE=tan64。*20a2.05x20=41（米），

DZAEC=ZBHE=ZBAE=9（y）,

□四边形为矩形，

□AE=8〃=41米，AB=EH=25米，

BH

在中，

BH=4\,tan^BDH~DH

41

DH==41g（米）,

tan30°

CH=EH-CE=25-20=5（^）,

CD=CW+rw=5+41X1.732276(米)，

答：河流的宽CO的长约为76米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握

锐角三角函数的定义，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.如图，一次函数y=,x-2的图象与反比例函数y=4(x>0)的图象交于点8,与x轴交于点Z,且点

2x

B纵坐标为1,

(1)求反比例函数表达式，

k

(2)一次函数y=-1x—2的图象向上平移，恰好经过原点O,平移后的图象与反比例函数y=^(x>0)的

2x

图象交于点C,求AABC的面积.

【答案】(1)y=-

x

(2)2

【解析】

【分析】(1)首先可求得点8坐标，再把点8的坐标代入反比例函数解析式，即可求得；

(2)过C作CO〃y轴交AB于。，一次函数了=!》—2图象与y轴交于点七，首先可求得点E及点/的

坐标，再可证得四边形是平行四边形，OE=CE=2,最后根据又跳、=S.e-54皿即可求得.

【小问1详解】

解：把y=l代入y=gx—2,得

gx-2=l,解得x=6

.-.5(6,1)

□y=&的图象过8(6,1)

X

Qk=6

6

□y=一

x

【小问2详解】

解：如图：过C作CO〃y轴交A6于。，一次函数y=2图象与V轴交于点E

□E（0,-2）

当y=0时，-x-2=0

2

解得x=4

□/（4，0）

••・一次函数y=〈x—2的图象向上平移，恰好经过原点O

..ED//OC

，四边形OEOC是平行四边形

口OE=CD=2

」SgBC=SgcD-S“cD

7c）—g（»（%A一4）

=万0（/一4）

=gx2x（6-4）

=2

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象的交点问题，求不规则图形的面

积，得出S—BC=；,C»（4-工人）是解决本题的关键.

六、解答题（每题10分，共20分）

23.如图，在AABC中，NB4C=90°,点E为AC边上一点，过C作CD〃A8交射线8E于点。,

△ABC的外接圆。与B。交于点尸，连接A£A。，若NBDC=NFAD,

（1）求证：AO为。。的切线;

(2)若BC=6,NACB=30。，求CE的长.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）连接A。并延长交。。于点”，连接FH，证明。4,4）即可得到结论；

（2）在RAfiAC中，求出AB和AC,再利用三角函数值求得CO长，利用△MEsADCE,结合相

似比求出线段CE即可.

【小问1详解】

证明：连接A。并延长交。。于点H,连接FH，如图所示：

H

---CD//AB，

/./BDC=ZABD,

,：/BDC=/FAD,

；•ZABD=/FAD，

•"AF=AF'

ZABD=ZAHF,

•••A”为。。直径，

ZAFH=90°,

：.ZFAH+ZAHF=90°,

：.Z.OAD=AFAH+AFAD=90°,

/.OALAD,Q4为。。半径，

，AZ>为。。的切线；

【小问2详解】

解：•••8C为。。直径，

ABAC=90°,

在HfABAC中，ZACB=30°,A8=；8C=3,AC=yjBC2-AB2=35/3>

•••(M=OC,

ZACB=N3C=30。，

•••。4为。。的切线，。4为。。半径，

/.OALAD,

：.ZOAD=zlOAC+ZCAD=90°,

：.ZC4D=60°,

,/CD//AB,

ZBAC=ZACD=90°,

CD

在RQACZ)中，tanZC4£)=—,

AC

CD=ACtanZCAD=3y[3xy/3=9，

ABAC=ZACD=90°,ZAEB=/DEC,

：.ABAEsM)CE,

.AEAB\

"'~CE~~CD~3,

：.CE=-AC=-X3>/3=-V3.

444

【点睛】本题考查圆综合，难度较大，涉及到证明切线与求线段长，含有平行线的性质、圆周角定理、勾

股定理、三角函数求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握证明切线以及求线段长的常用方法

是解决问题的关键.

24.某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出

1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，

每月的销售利润为〃元，

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款〃(()<〃46)元作为抗疫基金，当

40<xW6()时.，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求〃的值.

【答案】(1)w=-20x2+1400%+120000

(2)5

【解析】

【分析】(1)设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为邛元，根据每月利润=单件利润x每月销量得

出函数关系式即可；

(2)根据题意，得到w=-20/+(1400-20〃)x+120000-1000〃，根据要求，结合函数增减性求解即可.

【小问1详解】

解：w=(200-x-80)(1000+100x1)

=-20x2+1400x+120000,

答：w与x之间的函数关系式为卬=-209+1400》+120000;

【小问2详解】

解：卬=-20d+1400X+120000-“(1000+1()0x：)

=-20x2+(1400-20”)x+120000-1000〃，

•••。=-20<0,则开口向下，确定w有最大值，

•••0<〃W6,

35—〃<40,

2

.•.当40WXW60时，卬随x减小而增大，

...当x=40时，%火=(120-40-/?)x(1000+20x40)=135000,

（80-n）x1800=135000,解得〃=5,

答：〃值为5.

【点睛】本题主要考查利用函数解决实际应用题，应用数学知识分析问题并解决问题是本题的关键考点.

七、解答题（本题12分）

25.（1）如图1,在A/WC中，ZABC=45°,AD1BC,垂足为Z）,BELAC，垂足为E,BE与

交于点尸，

①求证：AC^BF；

5

②若一A上T==,求tanNCBE的值;

BE6

（2）如图2,在AABC中，NA8C=90°,点E为4。边上一点，过C作C£）〃AB交延长线于点

D,若AB=3,CD=2,NA£B=45°,求AO的长.

【答案】（1）①见解析；②tanNCBE=g或tan/C3E=g；⑵而

【解析】

【分析】（1）①利用等角对等边得到80=/。，通过证明反?。/也AWC得出结果；

②设AC=5x,BE-6x,通过AAEFsMEC求出AE=2x或AE=3x,求出结果；

（2）过B和AC交。C延长线于M,过。作DV,8M交BC,BM于G,N两点，过。作

DH上AB交于H,首先通过平行四边形ABMC得到AB=CM=3,通过ABNG丝ADMW得到

DM=BG=5,再利用ADCGsABCM得至UCG=1,然后利用勾股定理求出结果.

【详解】解：（1）①•••ADL8CBE1AC

：.ZADB^ZAEB^90°

,：ZABO=45°

ABAD=90°-ZABD=45°

ZABD=ZBAD=45°

：.BD=AD

,：ZDBF+ZBFD=90°NDBF+ZC=9O°

ZBFD=^C

；ZADB=ZADC=90°

^BDF丝MDC

：.AC=BF

②设AC=5x,BE=6x

：AC=BF=5x

.IEF=BE—BF=6x-5x=x

设AE=a,则CE=AC-AE=5x—a

,/ZBFD=ZAFE=NC

ZAEF=ZBEC=90°

；•AAEFsSBEC

.AEEF

,・BE~CE

.a_x

••一

6x5x-a

a2-5ax+6x2=0

(a-2x)(a-3x)=0

a}=2x%=3x

/.=2x或AE=3x

・.,CE=AC-AE=5x-AE

CE=3x或CE=2x

在RACBE中

CE

tanZCBE=—

BE

：.tanZCBE△或tanZ.CBE=-

23

(2)过8和〃AC交。C延长线于M,过。作河交BC,BM于G,N两点，过。作

DH上AB交于H

・・•CD//ABBM〃AC

・・・四边形A5MC为平行四边形

ZAEB=NDBM=45°ZABC=4BCM=90°

:.AB=CM=3

DNIBM

・•・ZDNB=90°

：.ABDN=90°-ADBN=45°

:.ZDBN=ZBDN=45°

・・・BN=DN

■:NDNB=4CM=9O。

:.NBGN+NGBN=ZM+NCBM=90。

：.ZBGN=ZM

：.ZBNG=ZDNM=90°

：.耶NGg9NM

：.DM=BG=5

设CG=〃，则3C=3G+CG=5+〃

■:ZDNG=ZBCM=90。

4DGC=4BGN=/M

・•・\DCG^\BCM

.DCCG

**BC-CW

2_n

5+n3

rT+5〃-6=0

%=-6（舍去）1

/.CG=1

，BC=BG+CG=6

,/DHA.AB

：.ZDHB=ZHBC=ZBCD=90°

，四边形BCD”为矩形

:.BC=DH=6CD=BH=2

，AH=AB-BH=1

在Rt^DHA中

AD=>]DH2+AH2=V62+12=V37

【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，识别

图形之间的关系是解决问题的关键.

八、解答题（本题14分）

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线,=012+尿+4（。<0）与^轴交于点。，与x轴交于A,

3（1，°）两点，

y

（1）如图1,若点Z坐标为（一3,0）,

①求抛物线的解析式；

②将4c平移得到AO'A'C',抛物线>=依2+云+4（&<0）分别与。4,4。'两边交于。，E两点,若

AfD=AfE=-求点4的坐标；

2f

（2）过点C作CV〃x轴交抛物线y="2+0x+4（a<0）于点N,点M为x轴负半轴上一动点，且

CN3

——=一，连接MN,过8作交MN所在直线于点P,连接CP,当C尸的长度最小时，直

OM7

接写出此时抛物线的解析式.

【答案】（1）①y二—3%2—§冗+4；②（一2,—）

3344

/八4224/

（2）y=——炉---x+4

77

【解析】

【分析】（1）①待定系数法求解析式即可求解；

②过后作交于尸，由平移，得：△C4OgZ\C?TO，，在RW/中，AE=-f

2

FF4ArF34cx

sinAr=sinZCAO==—,cosAr=cosZ.CAO=---=—,设。坐标（〃，——n2——〃+4）,则£

ArE5A!E533

42159

（九一1,-；〃+6）,代入抛物线解方程求得〃的值，进而可得A的横坐标为：——二——,纵坐

33424

13

标为：—,即可求得A的坐标；

4

⑵根据题意设N（—3帆,4）,则M（—7m,0）,可得直线MN过定点。（0,7）,根据8PLMN