2020版数学（天津专用）大精准复习精练5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精专题五平面向量【真题典例】5。1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1。平面向量的基本概念与线性运算1.了解向量的实际背景2。理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义3。理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义2017天津,13向量的线性运算和几何意义平面向量的数量积★★☆2009天津，15两个向量相等的含义利用数量积求两向量的夹角2。向量共线问题掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义2016课标Ⅱ,13向量平行向量的坐标运算★☆☆3。平面向量基本定理了解平面向量基本定理及其意义2014福建,8平面向量基本定理平面向量的坐标表示★★☆4.平面向量的坐标运算1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法和数乘运算3。理解用坐标表示的平面向量共线的条件2012天津，8平面向量的坐标运算利用坐标表示向量的模★★★分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算，此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用，其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握。破考点【考点集训】考点一平面向量的基本概念与线性运算1。向量a=(2，—9），b=(—3，3)，则与a-b同向的单位向量为（）A.513,-1213B.-513答案A2。在△ABC中，G为重心,记a=AB,b=AC，则CG=()A。13a-23bB。13a+23bC.23a-13b答案A3.M是△ABC所在平面内一点，23MB+MA+MC=0,D为AC中点,则|MD|A。12B。13C.1答案B考点二向量共线问题4.已知向量a=（1，1），点A（3,0),点B在直线y=2x上,若AB∥a，则点B的坐标为.

答案（—3,—6）考点三平面向量基本定理5.D是△ABC所在平面内一点，AD=λAB+μAC（λ,μ∈R），则“0〈λ〈1，0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的（）A。充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件答案B6。已知△OAB，若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB（λ,μ∈R),则1λ+1μ=（A.13B.23C。29答案D7。如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数)，则λ2+μ2=()A。58B.14C.1答案A考点四平面向量的坐标运算8.已知向量a=(2，m）,b=(1,1），若a·b=｜a—b|,则实数m=()A.12B。—12C。13答案D9。已知向量a=(1,t），b=(t，9）,若a∥b,则t=.

答案±3炼技法【方法集训】方法1平面向量的线性运算技巧1.在△ABC中，点D满足AD=2AB—AC,则(）A.点D不在直线BC上B。点D在BC的延长线上C。点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上答案D2.(2013四川,12，5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO，则λ=.

答案2方法2向量共线问题的解决方法3.已知向量a=(x,1）,b=(3，—2）,若a∥b,则x=（）A.-3B。-32C.23答案B4。向量a,b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=（）A.-2B。-1C.1D.2答案D5。在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB，AC于M,N两点，若AM=xAB，AN=yAC(x>0，y〉0）,则4x+y的最小值为.

答案9方法3平面向量的坐标运算的解题策略6.已知向量a=(1,2),b=（0,—2），c=(-1，λ)，若(2a-b）∥c，则实数λ=()A.-3B。13C.1答案A7。已知O为坐标原点,向量OA=（2,3),OB=（4，—1），且AP=3PB,则｜OP｜=。

答案7过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2017天津,13,5分）在△ABC中，∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R)，且AD·AE=—4,则λ的值为。

答案32。(2012天津,8,5分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为。

答案53.(2009天津,15,4分）在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1)，1|BA|BA+1|BC|BC答案3B组统一命题、省(区、市）卷题组考点一平面向量的基本概念与线性运算1。（2018课标Ⅰ，6，5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则EB=（）A。34AB—14ACB。14AB-34ACC。答案A2.（2015课标Ⅰ,7，5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则（)A。AD=—13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43答案A3。（2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B，C为圆O上的三点,若AO=12（AB+AC),则AB与AC的夹角为答案90°考点二向量共线问题1。(2015四川,2,5分）设向量a=（2，4）与向量b=(x,6)共线,则实数x=（)A.2B。3C。4D.6答案B2.（2017山东,11，5分）已知向量a=（2，6），b=（-1，λ).若a∥b，则λ=.

答案-33。（2016课标Ⅱ，13,5分）已知向量a=(m，4)，b=(3，—2）,且a∥b，则m=.

答案-6考点三平面向量基本定理1.(2014福建，8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=（3,2)表示出来的是（）A。e1=（0,0)，e2=(1，2)B.e1=（-1，2），e2=(5，—2）C。e1=(3，5）,e2=(6，10)D.e1=（2，—3),e2=（—2,3）答案B2。（2015课标Ⅱ，13，5分)设向量a,b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ=.

答案1考点四平面向量的坐标运算1.（2017课标Ⅲ，12,5分)在矩形ABCD中,AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（)A。3B。22C。5D。2答案A2。（2016课标Ⅱ，3，5分）已知向量a=(1,m)，b=(3,—2）,且（a+b)⊥b，则m=(）A.—8B。-6C。6D.8答案D3.(2014广东,3，5分）已知向量a=(1,2），b=（3,1),则b-a=()A.（—2,1）B。(2,—1）C.（2，0)D。(4，3）答案B4.（2018课标Ⅲ，13，5分）已知向量a=（1，2），b=（2，—2)，c=（1,λ)。若c∥（2a+b),则λ=。

答案15。（2015江苏,6,5分)已知向量a=（2，1),b=(1，—2)，若ma+nb=(9,—8)（m,n∈R）,则m—n的值为.

答案—3C组教师专用题组1.(2015安徽,8，5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a，b满足AB=2a，AC=2a+b，则下列结论正确的是（）A。｜b|=1B。a⊥bC.a·b=1D。(4a+b)⊥BC答案D2.（2015陕西,7，5分）对任意向量a，b,下列关系式中不恒成立····的是（A。｜a·b｜≤|a｜｜b｜B。|a—b｜≤||a｜-|b｜|C.(a+b）2=|a+b|2D.(a+b）·(a-b）=a2—b2答案B3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D，E,F分别为△ABC的三边BC，CA,AB的中点，则EB+FC=(）A。ADB。12AD C。BC答案A4。（2014福建文,10，5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA+OB+OC+OD等于(）A.OMB.2OMC。3OMD.4OM答案D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1。(2019届天津耀华中学统练(2),2）已知A、B、C、D是平面内任意四点，现给出下列式子：①AB+CD=BC+DA；②AC+BD=BC+AD；③AC—BD=DC+AB.其中正确的有（）A.0个B。1个C.2个D。3个答案C2.(2017天津河北一模，7)若O为△ABC所在平面内的任一点，且满足（OB—OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC的形状为(）A。直角三角形B。等腰三角形C.等腰直角三角形D。等边三角形答案B3.(2018天津和平一模,7）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为()A.65B。85C.2答案B4。（2018天津河东一模,7)设P是△ABC边BC上的任意一点，Q为AP的中点,若AQ=λAB+μAC(λ，μ∈R），则λ+μ=()A.14B。13C.1答案C5.（2018天津和平二模，7）如图,在平行四边形ABCD中，已知DE=12EC,BF=2FC,G为线段EF上的一点,且EG=12GF,AG=λAB+μAD（λ，μ∈R),则λA。25B。12C.47答案D二、填空题(每小题5分,共45分)6。（2018天津河西二模,13）在△ABC中,∠A=60°，｜AC｜=2,点D在边AB上,点E在边BC上,AD=12AB，BE=23BC,若DE·BC=83，则答案57.(2019届天津第二十中学第三次月考,7)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点，DF=2FC,则AE·BF=。

答案28.（2018天津部分区县二模，14)在△ABC中,AB=62,AC=6，∠BAC=π4，点D满足BD=23BC，点E在线段AD上运动（不包括端点)，若AE=λAB+μAC（λ,μ∈R），则3λ+13μ取得最小值时答案259。（2018天津南开中学第六次月考,13）在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2，∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内的一点，且AP=1,若AP=xAB+yAD，则3x+2y的最大值为。

答案210.（2018天津耀华中学一模,13）如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=12AB=1，F是BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动,E为圆弧DE与AB的交点,若AP=λED+μAF，其中λ,μ∈R,则2λ+μ的取值范围是答案［0，2]11。（2017天津河东二模，14)如图，在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足AMMC=MPPB=2,若｜AB|=2,|AC｜=3，∠BAC=120°，则AP·BC的值为答案-212。（2017天津实验中学热身训练，13）已知△ABC的外接圆圆心为P，若点P满足AP=25(AB+AC），则cos∠BAC=答案113。(2017天津新华中学模拟，14）在平面内,定点A,B，C,D满足｜DA|=|DB｜=|DC｜,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足｜AP｜=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是。

答案4914.（2017天津耀华中学二模,14）已知函数f(x）=｜MP—xMN｜(x∈R）,其中MN是半径为4的圆O的一条弦,O为原点,P为单位圆O上的点,设函数f（x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时，t的最大值为3，则线段MN的长度为。

答案43三、解答题（共10分）15。(2019届天津河西期中,19）设平面内的向量OA=（—1，-3），OB=（5，3)，OM=(2，2）,点P在直线OM上,且PA·PB=—16，其中O为坐标原点.(1）求OP的坐标；（2)求∠APB的余弦值；（3)设t∈R,求｜OA+tOP|的最小值.解析（1）设P（x,y）,由点P在直线OM上,可知OP与OM共线，而OM=(2,2），∴2x-2y=0,即x=y，∴P(x，x)。∴PA=OA—OP=（—1-x,—3-x)，PB=OB—OP=(5-x，3—x)，∴PA·PB=(-1—x）(5