高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数321对数对数的概念高一数学教案

第1课时对数的观点学习目标核心修养1.理解对数的观点．(要点)经过学习本节内容，培育学生2.能娴熟地进行指数式与对数式的互化．(要点)的逻辑推理和数学运算的数学3.掌握常用对数与自然对数的定义.核心修养.1．对数一般地，假如a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，此中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数往常将以

10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数

log

10N，简记为

lg_

N.3．自然对数以e为底的对数称为自然对数．此中

e＝2.71828是一个无理数，正数

N的自然对数log

eN，一般简记为

ln_N.4．几个特别对数值1(1)loga1＝0，logaa＝1，logaa＝－1.(此中a＞0且a≠1)．logaN对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)．零和负数没有对数．1．思虑辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于(－2)4＝16，因此log(－2)16＝4.()(2)对数式log2与log3的意义同样．()32(3)对数的运算实质是求幂指数．()(4)等式loga1＝0关于随意实数a恒建立．()(5)lg10＝lne＝1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[提示](1)－2不可以作底数；(2)log23与log32底数和真数均不同，意义不同样；(4)a>0且a≠1.log232．计算：log39＝________，2＝________.23[log3log239＝2,2＝3.]3．(1)将log32＝5化成指数式，将－3123＝27化成对数式；已知log4x＝－3，求x；2(3)已知log2(log3x)＝1，求x；(4)求log2－1(3＋22)．51[解](1)2＝32，log327＝－3.∵log4x＝－3，∴x＝4－3＝2－3＝1.228(3)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21＝2，∴x＝32＝9.(4)设y＝log2－1(3＋22)，则(2－1)y＝3＋22＝(2＋1)2＝(2－1)－2，则y＝－2，即log2－1(3＋22)＝－2.对数的观点【例1】使对数log2a－(10－4a)存心义的a的取值范围是________．2思路点拨：依据对数中底数和真数的取值范围求解．3352a－2>0，331，∪[要使log2a－2－4)存心义，则2－2≠1，2，2(10a?1<a<或2a10－4a>022<<5.]a2依据对数的定义，应知足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可.1．(1)使loga(3a－2)存心义的a的取值范围是________．(2)使log(－3x＋6)存心义的x的取值范围是________．x2＋12a>0，2且≠0令a≠1，且≠(1)x(2){x|xx?a>3a3<2}[(1)3a－2>01.(2)令x2＋1≠1，?x<2且x≠0.]3x＋6>0指数式与对数式的互化【例2】(1)将以下各指数式改写成对数式：11b4－3a①2＝16；②3＝27；③5＝20；④2＝0.45.将以下各对数式改写成指数式：log116＝－4；②log2128＝7；2③lg0.01＝－2；④ln10＝2.303.思路点拨：利用ax＝N?x＝logaN(a>0且a≠1)进行互化．[解](1)①24＝16?log216＝4.－31?log31②3＝＝－3.2727a③5＝20?log520＝a.1

b2＝0.45?log10.45＝b.21－4(2)①2＝16.7②2＝128.10－2＝0.01.2.303＝10.④e1．并不是全部指数式都能够直接化为对数式，如(－3)2＝9就不可以直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N?x＝logaN.2．对数式log＝是由指数式b＝变化得来的，两式底数同样，对数式中的真数baNNa就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：2．以下指数式与对数式的互化正确的序号是________．①＝a2与loga＝2；N②log4＝4与(2)4＝4；21－311③4＝64与log644＝－3；1logx7y＝z与xz＝y7.②④[①N＝a2a＝2(a>0且≠；?logNa1)1－3log164＝－3.]③＝64?443．设a＝log37，b＝log32a－b28，则3＝________.[由题知3a＝7,3b＝28，2a－b32aa2727∴3＝b＝3b＝28＝.]334[研究问题]231．方程x＝4，x＝3的解是什么？怎样解

解指数、对数方程x＝ab型的方程．23＝27，[提示]x＝4＝16，x＝3解x＝ab时按幂的运算法例计算即可．2．方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？怎样解xk＝b(k∈Z)．[提示]x2＝4，∴x＝4＝2，x3＝64，∴x＝364＝4，kbkbR，为奇数，∈xk＝b，∴x＝kk为偶数，b≥0，b即可经过开方运算求解．3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？怎样解x＝(>0，≠1)．abaa3x的解为x＝3，[提示]∵2＝8，∴2＝8x7，2＝7，∴x＝log2ax＝b，x＝logab马上指数式化为对数式，将问题转变为计算对数值．【例3】解方程：(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5log5(2x－1)＝25；(4)log

2(log

3(log

4x))

＝0；(5)log

x16＝－4；(6)x＝－lne

－3.思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．[解](1)9x＝27，∴(32x3，即32x＝33)＝3，3∴2x＝3，∴x＝.22∵e＝e，∴x＝2.(3)5log5(2x－1)＝2x－1＝25，∴x＝13.(4)∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝20＝1，log4x＝31＝3，∴x＝43＝64.－414411(5)∵x＝16，∴x＝16＝2，∴x＝±2，∴x＝±2.1又x>0，∴x＝2.(6)x＝－lne－3－3－x－3，，∴－x＝lne，∴e＝e∴－x＝－3，∴x＝3.解指数、对数方程时应注意：将对数式转变为指数式，建立方程转变为指数问题．利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解．x的取值范围能否在指对数式的互化中发生了改变．4．求以下各式中的x值．2log2x21(1)log(2x2－1)(3x＋2x－1)＝1；(2)lg0.001＝x；(3)logx8＝3；(4)2＝4.[解](1)由题知2x2－1＝32＋2x－1，得x＝0或x＝－2，x当x＝0时，2x2－1＝－1<0，∴x≠0，当x＝－2时，2x2－1>0，切合题意，∴x＝－2.32＋2x－1>0，x(2)10x＝0.001＝10－3，∴x＝－3.x3＝8，∴x＝38＝2.log2x2211(4)2＝x＝4，∴x＝±2.1．对数观点与指数观点相关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：blogaN(1)logaa＝b；(2)a＝N.2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而假如已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质同样而形式不同，互为逆运算.1．有以下说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都能够化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．此中正确命题的个数为( )A．1B．2C．3D．4C[①③④正确，②不正确，只有>0，且≠1时，x＝N才能化为对数式．]aaa2．在N＝log(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是________．b－2>0，(2,9)∪(9,10)[令10－b>0，∴2<b<10且b≠9.]10－b≠1，mn3．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2＋＝________.[∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12.]4．求值：(1)23－log23；(2)eln2＋ln5；log35log3