新教材人教b版选择性必修第二册3.1.1第2课时基本计数原理的应用学案

第2课时基本计数原理的应用互动探究·关键能力探究点一组数问题精讲精练例（1）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()种种种种（2）在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如102，546为“驼峰数”.由数字1，2，3，4构成无重复数字的“驼峰数”的个数为.答案：（1）D（2）8解析：（1）按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960种.（2）十位数字为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位数字为2时，有324，423，共2个，所以共有6+2=8个.解题感悟对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由谁“占领”分类，分类中再按特殊位置（或者特殊对象）优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.迁移应用1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()答案：B解析：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2=12个奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1=6个奇数.根据分类加法计数原理知，共有12+6=18个奇数.2.从0，1，2，3，4，5这六个数中，任取两个不同的数相加，其和为偶数的不同取法的种数为()答案：D解析：从0，1，2，3，4，5六个数中，任取两个不同的数相加，和为偶数可分为两类，①取出的两个数都是偶数，共有3种取法；②取出的两个数都是奇数，共有3种取法.故由分类加法计数原理得，共有3+3=6种取法.探究点二抽取（分配）问题精讲精练例（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有()种种种种（2）有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有种.答案：（1）C（2）8解析：（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲，则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43-3（2）由于丙、丁两位操作人员的技术等级问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，因此分2步安排这3人分别去操作这三种型号的电脑，有2×2=4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，因此安排这3人分别去操作这三种型号的电脑有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4+2+1+1=8种选派方法.解题感悟求解抽取（分配）问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或图表法.2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数.迁移应用1.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()种种种种答案：B解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3=240种不同的选派方案，故选B.2.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有多少种？答案：按照焊接点脱落的个数进行分类：第一类：脱落一个焊接点，只能是脱落1或4，有2种情况；第二类：脱落两个焊接点：有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3)，共6种情况；第三类：脱落三个焊接点：有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)，共4种情况；第四类：脱落四个焊接点，只有(1,2,3,4)这1种情况.于是脱落焊接点的情况共有2+6+4+1=13种.探究点三涂色（种植）问题精讲精练例用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色.ABCD（1）若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，则哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？答案：（1）涂A区域有3种涂法，涂B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理知，将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2=24种不同方案.（2）恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色.由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域，共3×2×1+3×2×1+3×2×1=18种不同的方案.解题感悟求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；（3）对于几何体涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.迁移应用1.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面答案：12解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2=12种不同的涂法.2.在一块从左到右并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有答案：12解析：A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有2种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有1种种植方法.B在左边种植的情形与上述情形相同.故共有2×(3+2+1)=12种不同的选垄方法.评价检测·素养提升课堂检测1.某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()种种种种答案：D解析：可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3=6种选派方案；若选派2名女生，则有3种选派方案.由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法.2.如果把个位数字是1，且恰有3个数位上的数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个.答案：12解析：由题意知本题是一个分类计数问题.组成的数共有4种情况：当有三个1时，“好数”有2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，共9个；当有三个2，3，4时，“好数”有2221，3331，4441，共3个.根据分类加法计数原理可知，共有12个“好数”.3.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种.答案：72解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1=24种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2=24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24+24×2=72种.素养演练逻辑推理——利用基本计数原理求几何图形中的几何元素的数量1.（1）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()（2）圆周上有2n(n大于2）个等分点，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为.答案：（1）B（2）2n(n-1)解析：（1）审：直线与平面构成的“平行线面组”，在长方体中找“平行线面组”；联：两个顶点确定的直线即为棱、面对角线或体对角线；含有四个顶点的平面包括表面和对角面；解：长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为①6×6=36，6个对角面构成的“平行线面组”的个数为②6×2=12故符合条件的“平行线面组”的个数是③36+12=48.故选B.（2）审：圆周上有2n个等分点，找直角三角形.联：由圆周上有2n个等分点，找n条直径，直角三角形需找过直径的两点.解：因为有2n个等分点，所以应有n条直径，先在圆周上找一点，不过该点的直径有(n-1)条，这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成④(n-1)个直角三角形，而这样的点有⑤2n个，所以一共有⑥2n(n-1)个符合题意的直角三角形.思：几何图形中的几何元素的数量问题，画出几何图形，分析几何图形的结构特点，分清事件由哪些几何元素构成，满足什么样的几何特征才是完成一个事件.迁移应用1.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()答案：D解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=2