新教材人教b版选择性必修第二册4.1.3独立性与条件概率的关系学案

4．独立性与条件概率的关系新课程标准解读核心素养，了解两个事件相互独立的概念数学抽象2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式数学抽象、逻辑推理解决一些简单的实际问题数学运算俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”．其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功．[问题]该挑战能否成功？知识点一相互独立事件的概念与性质1．定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(A|B)＝P(A)，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．2．性质：当事件A，B相互独立时eq\a\vs4\al(A)与eq\a\vs4\al(\x\to(B))，eq\a\vs4\al(\x\to(A))与eq\a\vs4\al(B)，eq\a\vs4\al(\x\to(A))与eq\a\vs4\al(\x\to(B))也相互独立．3．n个事件相互独立：对于n个事件A1，A2，…，An，如果A1，A2，…，An相互不影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．4．独立性与条件概率的关系：当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．eq\a\vs4\al()相互独立事件与互斥事件的区别事件A与事件B互斥是指同一次试验中事件A与事件B不可能同时发生；事件A与事件B相互独立则是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响．知识点二独立事件的概率公式1．若事件A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)．2．若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．eq\a\vs4\al()一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件A∪B；(2)A，B都发生为事件AB；(3)A，B都不发生为事件eq\x\to(A)eq\x\to(B)；(4)A，B恰有一个发生为事件Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B；(5)A，B中至多有一个发生为事件Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪eq\x\to(A)eq\x\to(B).它们之间的概率关系如下表所示：A，B互斥A，B相互独立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)∪Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)11－P(A)P(B)1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．()(2)若事件A，B相互独立，则P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))．()(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)若事件A与B相互独立，则B与eq\x\to(B)相互独立．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级的概率分别为eq\f(4,5)和eq\f(3,4)，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为()A.eq\f(19,20) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,20)解析：选D设A表示甲晋级，B表示乙晋级，C表示两人中恰有一人晋级，则P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以P(C)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(3,4)＝eq\f(7,20).3．制造一种零件，，，从它们制造的产品中各任意抽取一件，则两件都是正品的概率是________．解析：令A表示甲机床制造的零件是正品，B表示乙机床制造的零件是正品，则可知A，B是相互独立事件，则P(A)，P(B)，∴P(AB)＝P(A)P(B)×0.95＝0.912.答案：相互独立事件的概念[例1]判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)掷一枚质地均匀的骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立．eq\a\vs4\al()判断两个事件相互独立的方法(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响；(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件；(3)条件概率法：当P(B)＞0时，可用P(A|B)＝P(A)判断．[跟踪训练]从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A表示抽到K，B表示抽到红牌，C表示抽到J，则下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)A与C.解：(1)A与B为相互独立事件．由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件．P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(26,52)＝eq\f(1,2)，故P(A)P(B)＝eq\f(1,13)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,26)，事件A∩B即为“抽到红桃K或方块K”，故P(A∩B)＝eq\f(2,52)＝eq\f(1,26)，从而有P(A∩B)＝P(A)P(B)，因此A与B为相互独立事件．(2)A与C为互斥事件．从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，即A与C互斥．由于P(A)＝eq\f(1,13)≠0，P(C)＝eq\f(1,13)≠0，而P(A∩C)＝0，所以A与C不是相互独立事件．又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件.相互独立事件与互斥事件的综合问题[例2](链接教科书第57页例2、例3)某课程的考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．，，，，，0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)[解]记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件eq\x\to(A)i为事件Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，eq\x\to(C)为事件C的对立事件．法一：P(C)＝P(A1A2eq\x\to(A)3)＋P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＋P(A1A2A3)××××××××0.7＝0.902.法二：P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－[P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)]××××××××0.7)＝1－0.098＝0.902.所以理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D，P(D)＝P[(A1B1)·(A2B2)·(A3B3)]＝P(A1B1)·P(A2B2)·P(A3B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)×××××016≈0.254.所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.eq\a\vs4\al()解决复杂的概率综合题常用的技巧(1)理解题意，弄清楚题目的含义是解概率问题最重要的环节，特别要分清概率问题的类型；(2)审题时应注意关键性词语，如“至少有一个”“至多有一个”“恰有一个”等．在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(分解成互斥事件的和)或考虑利用其对立事件，使问题变得更易求解；(3)在解决互斥事件、对立事件与相互独立事件的综合问题时，一般先求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率的加法公式求概率．[跟踪训练]甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为eq\f(11,20)，甲、乙两人都被选中的概率为eq\f(3,10)，丙被选中的概率为eq\f(1,3)，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求恰好有2人被选中的概率；(3)求3人中至少有1人被选中的概率．解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝eq\f(11,20)，P(A)P(B)＝eq\f(3,10)，且P(B)＞P(A)，∴P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)3人同时被选中的概率P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)恰有2人被选中的概率P2＝P(A∩B∩eq\x\to(C))＋P(A∩eq\x\to(B)∩C)＋P(eq\x\to(A)∩B∩C)＝eq\f(23,60).(3)3人中至少有1人被选中的概率P3＝1－P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C))＝1－eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(9,10).相互独立事件与条件概率的综合问题[例3]甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，，，0.7.，，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．[解]用Hi表示飞机被i人击中，i＝1,2,3，用B1，B2，B3分别表示甲、乙、丙击中飞机，用A表示飞机被击落．∵H1＝B1eq\x\to(B)2eq\x\to(B)3＋eq\x\to(B)1B2eq\x\to(B)3＋eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2B3，三种情况互斥，H2＝B1B2eq\x\to(B)3＋B1eq\x\to(B)2B3＋eq\x\to(B)1B2B3，三种情况互斥，H3＝B1B2B3.又∵B1，B2，B3相互独立，∴P(H1)＝P(B1)P(eq\x\to(B)2)P(eq\x\to(B)3)＋P(eq\x\to(B)1)P(B2)P(eq\x\to(B)3)＋P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)P(B3)××××××0.7＝0.36，P(H2)＝P(B1)P(B2)P(eq\x\to(B)3)＋P(B1)P(eq\x\to(B)2)P(B3)＋P(eq\x\to(B)1)P(B2)P(B3)××××××0.7＝0.41，P(H3)＝P(B1)P(B2)P(B3)××0.7＝0.14.又∵A＝H1A＋H2A＋H3A，H1A，H2A，H3A三种情况互斥，故由全概率公式，有P(A)＝P(H1)P(A|H1)＋P(H2)P(A|H2)＋P(H3)·P(A|H3)×××1＝0.458.eq\a\vs4\al()相互独立事件实际应用时的策略(1)这一类型的问题一直是高考考查的热点题型，一般采取“大化小”的解题策略，即将“大”的概率问题化为“小”的互斥事件概率问题，再将“大”的概率问题化为“小”的相互独立事件的概率问题，一般是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，P(AB)＝P(A)P(B)这三个公式的联用．注意分清每一个事件是由哪几个样本点构成的，做到不重不漏；(2)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．[跟踪训练]设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球．独立地分别从两只盒子中各取一只球．(1)求至少有一只蓝球的概率；(2)求有一只蓝球一只白球的概率；(3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率．解：记A1，A2，A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1，B2，B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球．(1)记C表示至少有一只蓝球，C＝A1B1＋A1B2＋A1B3＋A2B1＋A3B1，5种情况互斥，由互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A1B1)＋P(A1B2)＋P(A1B3)＋P(A2B1)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B2)＋P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＝eq\f(3,7)×eq\f(2,9)＋eq\f(3,7)×eq\f(3,9)＋eq\f(3,7)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,9)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,9)＝eq\f(5,9).(2)记D表示有一只蓝球一只白球，则D＝A1B3＋A3B1两种情况互斥，P(D)＝P(A1B3)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A3)·P(B1)＝eq\f(3,7)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,9)＝eq\f(16,63)，(3)P(D|C)＝eq\f(P（CD）,P（C）)＝eq\f(P（D）,P（C）)＝eq\f(16,35)(注意到CD＝D)．1．下列事件A，B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A表示第一次为正面向上，B表示第二次为反面向上B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A表示第一次摸到白球，B表示第二次摸到白球C．掷一枚骰子，A表示出现点数为奇数，B表示出现点数为偶数D．A表示人能活到20岁，B表示人能活到50岁解析：选A对于A选项，A，B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件；对于C选项，由于掷的是一枚骰子，A，B是对立事件，所以不是相互独立事件；对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A，B不是相互独立事件．故选A.2．甲、乙两人独立解同一问题，甲解出这个问题的概率是eq\f(1,4)，乙解出这个问题的概率是eq\f(1,2)，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(5,8)解析：选D设“甲解出这个问题”为事件A，“乙解出这个问题”为事件B.由题意知，P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,2)，“至少有1人解出这个问题”的对立事件为“两人都没解出这个问题”，所以至少有1人解出这个问题的概率P＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(5,8).3．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(2,5)，那么三人中恰有两人合格的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,15)C.eq\f(11,30) D.eq\f(1,6)解析：选B三人中恰有两人合格包括三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,15)，故选B.4．已知A与B独立，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(Aeq\x\to(B))＝________，P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝________.解析：因为A与B独立，所以A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也独立．所以P(Aeq\x\to(B