合情推理-归纳推理 教学设计

合情推理--归纳推理教学目标知识与技能：理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法.过程与方法：掌握归纳法与类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性.情感态度与价值观：通过本节的学习，开拓数学思维，认识数学的科学价值.教学重难点重点：归纳推理和类比推理.难点：归纳推理.教学过程在日常生活中，我们经常会自觉不自觉地根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断.例如，当我们看到天空乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时,会得出即将下雨的判断.这种思维方式就是推理.［引入］.哥德巴赫猜想：观察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……，50=13+37,……,1003+97,猜测：任一偶数（除去2,它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年哥德巴赫写信给欧拉提出此猜想，但无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”..费马猜想:观察品=2?0+1=3,^=22'+1=5,玛=2"+1=17,玛=2"+1=257,入=2’+1=65537,发现其结果都是素数,猜想：对所有的自然数〃，任何形如%=22.+1的数都是素数.1640年法国业余数学家之王一费马提出，后来瑞士数学家欧拉，发现工=2"+1=4294967297=641x6700417不是素数，推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论.例如，推理allb.bllcallc中的是前提，“a〃c”是结论.推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……，所以……”；"如果……，那么……”；”根据……，可知……”：等等.推理一般可以分为合情推理与演绎推理.合情推理前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理.数学中常见的合情推理有归纳推理和类比推理.①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②归纳练习：（力由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（力）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？—观察等式：1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7+9=16=4?,能得出怎样的结论？③讨论：（。统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？（万）归纳推理有何作用？（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）（力•/）归纳推理的结果是否正确？（不一定）归纳推理在学习等差数列时，我们是这样推导首项为4,公差为△的等差数列｛〃”｝的通项公式的：〃[=《+（）d,%=%+d=%+Id,ay=a2+d=+2d,a4=a3+d=a1+3d,••••••等差数列｛%｝的通项公式是a”=%+（〃-1M.这种根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理.下面，我们通过一个例子来得出归纳推理的一般步骤.6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11.这样下去总是对的吗？这个命题叫做哥德巴赫猜想，即：任何一个大于4的偶数都是两个奇质数之和.归纳推理的一般步骤：.通过观察个别情况发现某些相同性质；.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.一般地，如果归纳的一般情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真.例1.用推理的形式表示等差数列1,3,5,…，（2〃-1）,…的前〃项和S〃的归纳过程.解:5.=1=12;52=1+3=4=22;S；=1+3+5=9=32；S4=1+3+5+7=16=42;S5=1+3+5+7+9=25=52;S6=1+3+5+7+9+11=36=62;数列1,3,5,…，…的前〃项和S.=/.例2.设/（〃）=/+〃+41,〃£乂，计算/（l）J⑵J（3）J⑷,…J（10）的值，同时作出归纳推理，并用〃=40验证猜想是否正确.解：将各数值代入得/（1）=12+1+41=43,/（2）=22+2+41=47,/（3）=32+3+41=53,/（4）=42+4+41=61,/（5）=52+5+41=71,/⑹=6?+6+41=83,/⑺=7?+7+41=97,/⑻=8?+8+41=113,/（9）=92+9+41=131,/（10）=102+10+41=151,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数.当〃取任何正整数时，/（〃）=M+〃+41的值都是质数.因为当〃=40时，/（40）=402+40+41=41x41,所以/（40）是合数.因此，上面由归纳推理得到的推理得到的猜想不正确.虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学的发现却是十分有用的.观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.小结：.根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理..归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）..特点：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，”前提真结论假”的情况是有可能发生的，（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实，有了个别性的、特别性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察实验的基础上进行，（4）归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做科学发现的重要手段.练习：.凸四边形有条对角线，凸五边形有条对角线，凸六边形有条对角线，比凸五边形多条；……凸n边形有多少条对角线？猜想：凸n边形的对角线条数比凸「1边形多条对角线.由此，凸n边形对角线条数为..下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图四个三