2023年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

2.

3.（）。A.

B.

C.

D.

4.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为（）．A.A.

B.

C.

D.不能确定

5.设y=2-x，则y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

6.

7.

8.A.A.

B.

C.

D.

9.方程z=x2+y2表示的二次曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.圆锥面

D.抛物面

10.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

11.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

12.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

13.

14.函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．

A.单调增加且为凹B.单调增加且为凸C.单调减少且为凹D.单调减少且为凸

15.

16.当x→0时,x+x2+x3+x4为x的

A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小

17.A.A.

B.x2

C.2x

D.2

18.

19.

20.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

二、填空题(20题)21.∫(x2-1)dx=________。

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

29.设x=f(x，y)在点p0(x0，y0)可微分，且p0(x0，y0)为z的极大值点，则______．

30.

31.设y=ln(x+2)，贝y"=________。

32.

33.设f(x)在x=1处连续，=2，则=________。

34.

35.

36.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。

37.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，则f(x)=________。

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

43.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

45.

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

48.

49.

50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

51.求微分方程的通解．

52.

53.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

54.证明：

55.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

56.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

57.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

58.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.求由方程确定的y=y(x)的导函数y'．

63.

64.

65.

66.

67.(本题满分8分)

68.

69.求微分方程xy'-y=x2的通解．

70.

五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

2.D

3.D

4.B本题考查的知识点为定积分的几何意义．

由定积分的几何意义可知应选B．

常见的错误是选C．如果画个草图，则可以避免这类错误．

5.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易错误选C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记：若y=f(u)，u=u(x)，则

不要丢项。

6.D

7.A解析：

8.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故选D。

9.D对照标准二次曲面的方程可知z=x2+y2表示的二次曲面是抛物面，故选D．

10.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

11.C

12.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

13.A

14.B解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)内f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，又由于f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹，可知应选B．

15.C

16.A本题考查了等价无穷小的知识点。

17.D本题考查的知识点为原函数的概念．

可知应选D．

18.B解析：

19.B

20.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

21.

22.

23.极大值为8极大值为8

24.本题考查的知识点为无穷小的性质。

25.(1+x)2

26.22解析：

27.2．

本题考查的知识点为二阶导数的运算．

28.

29.0本题考查的知识点为二元函数极值的必要条件．

由于z=f(x，y)在点P0(x0，y0)可微分，P(x0，y0)为z的极值点，由极值的必要条件可知

30.(2x-y)dx+(2y-x)dy(2x-y)dx+(2y-x)dy解析：

31.

32.0

33.由连续函数的充要条件知f(x)在x0处连续，则。

34.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

35.

36.0因为sinx为f(x)的一个原函数，所以f(x)=(sinx)"=cosx，f"(x)=-sinx。

37.6e3x

38.(-∞2)(-∞,2)解析：

39.e-2本题考查了函数的极限的知识点，

40.f(x)+Cf(x)+C解析：

41.

则

42.

43.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

44.

列表：

说明

45.

46.

47.由等价无穷小量的定义可知

48.

49.由一阶线性微分方程通解公式有

50.由二重积分物理意义知

51.

52.

53.

54.

55.函数的定义域为

注意

56.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

57.

58.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

59.

60.