高考数学精编　简单几何体的面积和体积

PAGE计时双基练四十四简单几何体的面积和体积A组基础必做1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3解析设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r。由S侧＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7。答案A2．(唐山市2015—2016学年度高三年级第一学期期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6π＋4 B．π＋4C.eq\f(5π,2) D．2π解析由三视图可知，该几体体为一圆柱裁去一个小的半圆柱，∴V＝π×12×3－eq\f(1,2)π×12×2＝2π。故选D。答案D3．(2015·课标全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析由题意知该正方体截去了一个三棱锥，如图所示，设正方体棱长为a，则V正方体＝a3，V截去部分＝eq\f(1,6)a3，故截去部分体积与剩余部分体积的比值为eq\f(1,6)a3∶eq\f(5,6)a3＝1∶5。答案D4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依坦内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析设圆锥的底面半径为R，高为h。∵米堆底部的弧长为8尺，∴eq\f(1,4)·2πR＝8，∴R＝eq\f(16,π)。∵h＝5，∴米堆的体积V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(1,12)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5。∵π≈3，∴V≈eq\f(320,9)(立方尺)。∴堆放的米约有eq\f(320,9×1.62)≈22(斛)。答案B5．(2015·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()A．6＋4eq\r(2)＋2eq\r(3) B．8＋4eq\r(2)C．6＋6eq\r(2) D．6＋2eq\r(2)＋4eq\r(3)解析直观图是四棱锥P－ABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△PBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×sin60°＝2eq\r(3)，S四边形ABCD＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2)，因此所求棱锥的表面积为6＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)。故选A。答案A6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是eq\f(32π,3)，那么这个三棱柱的体积是()A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)解析如图设球的半径为R，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，得R＝2。∴正三棱柱的高h＝4。设其底面边长为a，则eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3)。∴V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3)。答案D7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3。解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)·π·22·2＋π·12·4＝eq\f(8π,3)＋4π＝eq\f(20π,3)。答案eq\f(20π,3)8．(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A－BCD，则四面体A－BCD的外接球的体积为________。解析设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，∴外接球的半径r＝eq\f(\r(32＋42),2)＝eq\f(5,2)，从而体积V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125π,6)。答案eq\f(125π,6)9．一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________。解析根据题意得底面正六边形面积为6eq\r(3)，设六棱锥的高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh，∴eq\f(1,3)×6eq\r(3)h＝2eq\r(3)，解得h＝1。设侧面高为h′，则h2＋(eq\r(3))2＝h′2，∴h′＝2。∴正六棱锥的侧面积为6×eq\f(1,2)×2×2＝12。答案1210．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积。解(1)这个几何体的直观图如图所示。(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P由PA1＝PD1＝eq\r(2)cm，A1D1＝AD＝2cm，可得PA1⊥PD1。故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)。11．(2015·杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积。解如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，又A′B′＝20cm，AB＝30cm，所以S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′。S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)。由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3)，所以DD′＝eq\f(13,3)eq\r(3)cm，又因为O′D′＝eq\f(\r(3),6)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3),6)×30＝5eq\r(3)(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝eq\r(D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(3),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r(3)－\f(10\r(3),3)))2)＝4eq\r(3)(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝eq\f(h,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))＝eq\f(4\r(3),3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(325\r(3)＋\f(\r(3),4)×20×30))＝1900(cm3)。故棱台的体积为1900cm3。B组培优演练1．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64πC．144π D．256π解析由△AOB面积确定，若三棱锥O－ABC的底面OAB的高最大，则其体积才最大。因为高最大为半径R，所以VO－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，解得R＝6，故S球＝4πR2＝144π。答案C2．(2015·甘肃兰州诊断)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，高h＝x，所以其体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×3x＝3，解得x＝3。故选D。答案D3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3)B．3πC.eq\f(10π,3)D．6π解析由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的eq\f(1,4)，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V＝eq\f(3,4)×π×12×4＝3π。答案B4．(2016·郑州模拟)已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P－ABC的侧面积的最大值为________。解析如图所示，因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以三棱锥P－ABC的外接球就是以PA，PB，PC为棱长的长方体的外接球。设PA＝a，PB＝b，PC＝c，则有a2＋b2＋c2＝4×32＝36。而三棱锥P－ABC的侧面积为S＝eq\f(1,2)ab＋e