高中数学同步练习题（附答案分析） 简单的三角恒等变换

4-5简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为()A．2B.eq\r(3)C．1D.eq\f(\r(3),3)[答案]C[解析]由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝()A．－eq\f(14,5)B．－eq\f(7,5)C．－2D.eq\f(4,5)[答案]C[解析]∵点P在直线y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.2．设eq\f(π,2)<θ<π，且|cosθ|＝eq\f(1,5)，那么sineq\f(θ,2)的值为()A.eq\f(\r(10),5) B．－eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(15),5)[答案]D[解析]∵eq\f(π,2)<θ<π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－eq\f(1,5).∵eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴sineq\f(θ,2)>0，又cosθ＝1－2sin2eq\f(θ,2)，∴sin2eq\f(θ,2)＝eq\f(1－cosθ,2)＝eq\f(3,5)，∴sineq\f(θ,2)＝eq\f(\r(15),5).3．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)·taneq\f(C,2)的值是()A．±eq\r(3)B．－eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),3)[答案]C[解析]∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)，∴taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)·taneq\f(C,2)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(C,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(A,2)·tan\f(C,2)))＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\r(3)，故选C.4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案]B[解析]∵sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，∴eq\f(1,2)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(1,2)(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．5．若cos(x＋y)cos(x－y)＝eq\f(1,3)，则cos2x－sin2y等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)[答案]B[解析]∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)·sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2y，∴选B.6．(2011·石家庄模拟)若α、β∈(0，eq\f(π,2))，cos(α－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),2)，sin(eq\f(α,2)－β)＝－eq\f(1,2)，则cos(α＋β)的值等于()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]由α、β∈(0，eq\f(π,2))得，α－eq\f(β,2)∈(－eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，eq\f(α,2)－β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,4))．又cos(α－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),2)，sin(eq\f(α,2)－β)＝－eq\f(1,2)，∴α－eq\f(β,2)＝±eq\f(π,6)，eq\f(α,2)－β＝－eq\f(π,6)，∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＝β＝eq\f(π,3)，∴cos(α＋β)＝－eq\f(1,2).7．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(3,5)，其中α、β∈(0，eq\f(π,2))，则α＋β＝________.[答案]eq\f(π,2)[解析]∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(4,5)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)－eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(π,2).8．设α为锐角，若cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，则sin(2α＋eq\f(π,12))的值为________．[答案]eq\f(17\r(2),50)[解析]本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，又cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－cos2α＋\f(π,6))＝eq\f(3,5)，∴sin2(α＋eq\f(π,6))＝2sin(α＋eq\f(π,6))cos(α＋eq\f(π,6))＝2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,25)，cos2(α＋eq\f(π,6))＝2cos2(α＋eq\f(π,6))－1＝2×(eq\f(4,5))2－1＝eq\f(7,25)，∴sin(2α＋eq\f(π,12))＝sin[2(α＋eq\f(π,6))－eq\f(π,4)]＝sin2(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,4)－cos2(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,4)＝eq\f(24,25)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(7,25)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),50).[点评]已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．9．(2011·海南五校联考)设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则eq\f(sin2x－sin2x,cos2x)＝________.[答案]－eq\f(5,9)[解析]∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，由f(x)＝2f′(x)得sinx＋cosx＝2(cosx－sinx∴tanx＝eq\f(1,3)，∴eq\f(sin2x－sin2x,cos2x)＝eq\f(sin2x－2sinxcosx,cos2x)＝tan2x－2tanx＝(eq\f(1,3))2－2×eq\f(1,3)＝－eq\f(5,9).10．(文)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]上的最大值和最小值．[解析](1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1，∴f(x)的最小正周期为2π.(2)f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]上为增函数，在[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]上为减函数，又f(－eq\f(π,6))<f(eq\f(2π,3))，∴x＝－eq\f(π,6)时，f(x)有最小值f(－eq\f(π,6))＝sin(－eq\f(π,6))＋1＝eq\f(1,2)；x＝eq\f(π,2)时，f(x)有最大值f(eq\f(π,2))＝sineq\f(π,2)＋1＝2.(理)(2011·天津理，15)已知函数f(x)＝tan(2x＋eq\f(π,4))，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，eq\f(π,4))，若f(eq\f(α,2))＝2cos2α，求α的大小．[解析](1)由2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z)).f(x)的最小正周期为eq\f(π,2).(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2cos2α得，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2cos2α，eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝2(cos2α－sin2α)，整理得eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝eq\f(1,2)，即sin2α＝eq\f(1,2).由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，得2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以2α＝eq\f(π,6)，即α＝eq\f(π,12).能力拓展提升11.(2012·北京海淀期中练习)已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2eq\f(C,2)＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．钝角三角形[答案]C[解析]由题意得，cosAcosB＝eq\f(1,2)·2sin2eq\f(C,2)⇒cosA·cosB＝eq\f(1－cosC,2)⇒2cosA·cosB＝1＋cos(A＋B)⇒2cosA·cosB＝1＋cosA·cosB－sinA·sinB⇒cosA·cosB＋sinA·sinB＝1⇒cos(A－B)＝1⇒A－B＝0⇒A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形，故选C.12．(2011·浙江杭州质检)已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)<α<0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))等于()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(2\r(5),5)[答案]A[解析]由已知得eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝－eq\f(1,3)，即eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,3)，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－eq\f(π,2)<α<0，可得sinα＝－eq\f(\r(10),10)，所以eq\f(2sin2α＋sin2α,cosα－\f(π,4))＝eq\f(2\r(2)sinαsinα＋cosα,sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝2eq\r(2)×(－eq\f(\r(10),10))＝－eq\f(2\r(5),5)，故选A.13．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC的内角，且tanα＝－eq\f(3,4)，则sin2α的值为________．[答案]－eq\f(24,25)[解析]∵tanα＝－eq\f(3,4)，∴sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×－\f(3,4),－\f(3,4)2＋1)＝－eq\f(24,25).14.(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2eq\f(θ,2)＝________.[答案]eq\f(1,3)[解析]设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝eq\f(3r,2)，∴OD＝eq\f(r,2)，∴CD＝eq\f(\r(3),2)r，∴tanθ＝eq\f(CD,OD)＝eq\r(3)，∵tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(\r(3),3)(负值舍去)，∴tan2eq\f(θ,2)＝eq\f(1,3).(理)eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.[答案]－4eq\r(3)[解析]eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝eq\f(\r(3)sin12°－\r(3)cos12°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(2\r(3)sin12°－60°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).15．(文)已知A、B、C是三角形ABC的三个内角，向量m＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝eq\f(1,2).(1)求角A；(2)若sin2B＋3cos2B＝－1，求tanC.[解析](1)m·n＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))·(cosA，sinA)＝－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA＝sin(A－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，又在△ABC中，－eq\f(π,6)<A－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵sin2B＋3cos2B＝－1，∴2sinBcosB＋3(cos2B－sin2B)＝－(sin2B＋cos2B)，∴sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，∵cosB≠0，∴方程两边同除以cos2B得tan2B－tanB－2＝0.∴tanB＝－1或tanB＝2，1°若tanB＝－1，则B＝eq\f(3π,4)，这时A＋B＝eq\f(3π,4)＋eq\f(π,3)>π，这与A＋B<π矛盾．2°若tanB＝2，这时tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝－eq\f(\r(3)＋2,1－2\r(3))＝eq\f(8＋5\r(3),11).(理)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的最大值及最小值．[解析](1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cos2x＋\f(\r(2),2)sin2x))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，∴当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)时，f(x)有最大值eq\r(2)；当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)有最小值－1.16．(文)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝eq\f(1,3)，f(eq\f(C,2))＝－eq\f(1,4)，且C为锐角，求sinA的值．[解析](1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x＝cos2xcoseq\f(π,3)－sin2xsineq\f(π,3)＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)sin2x，所以函数f(x)的最大值为eq\f(1＋\r(3),2)，最小正周期为π.(2)f(eq\f(C,2))＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)sinC＝－eq\f(1,4)，所以sinC＝eq\f(\r(3),2)，因为C为锐角，所以C＝eq\f(π,3)，在△ABC中，cosB＝eq\f(1,3)，所以sinB＝eq\f(2\r(2),3)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(2)＋\r(3),6).(理)(2012·湖南文，18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－eq\f(π,12))－f(x＋eq\f(π,12))的单调递增区间．[解析](1)由题设图象知，周期T＝2(eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.因为点(eq\f(5π,12)，0)在函数图象上，所以Asin(2×eq\f(5π,12)＋φ)＝0，即sin(eq\f(5π,6)＋φ)＝0.又因为0<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(5π,6)<eq\f(5π,6)＋φ<eq\f(4π,3).从而eq\f(5π,6)＋φ＝π，即φ＝eq\f(π,6).又点(0,1)在函数图象上，所以Asineq\f(π,6)＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(2)g(x)＝2sin[2(x－eq\f(π,12))＋eq\f(π,6)]－2sin[2(x＋eq\f(π,12))＋eq\f(π,6)]＝2sin2x－2sin(2x＋eq\f(π,3))＝2sin2x－2(eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,3))．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)]，k∈Z.[点评]本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求解析式的一般步骤是：确定周期求ωeq\o(→,\s\up7(代入特殊点),\s\do5(结合φ的范围))求φeq\o(→,\s\up7(代入特殊点))求A→确定解析式．备选题库1．(2012·湖南理，6)函数f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))的值域为()A．[－2,2] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－1,1] D．[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)][答案]B[解析]由题意知，f(x)＝sinx－cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝eq\r(3)sin(x－eq\f(π,6))，∴f(x)∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．2．(2012·大纲全国文)若函数f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.eq\f(π,2)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,2)D.eq\f(5π,3)[答案]C[解析]本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函数知eq\f(φ,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，即φ＝eq\f(3π,2)