从一道中考正方形试题引出的结论

0000图00000图0从一道中考正形试题出的结论正方形具有十分独特的美感，绕一点旋转的方式很多，可挖掘的结论也很多，是近年来中考的热点之一本文主要探究小不相同的两个正方形绕同一顶点旋转的问题看一道山西省年的中考题：如图，已知正方形ABCD边CD在方形DEFG的DE上，连接AE，GC.（1试猜想AE与有怎样的位置关系，并证明你的论；（2将正方形DEFG绕D按时针方向旋转，使点E落BC边，如图2连接AE和你认为（）的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理

__

2

本题两个小题均是延长GC交AE于，先证ADECDG再证AHG=90，而A⊥GC，证明过程从略。推正方形DEFG绕正形ABCD的顶点D旋转角为意角AE=CG，A⊥GC.实际上，这个问题在原题条件不变的情况下存在很多其它结论，下面对此进行探究。结1：如图3，若∠CDE=90时连接、，分别交于M、DE于N，DM=DN.证明：由题意得ADC=∠CDE=∠GDE=90，点、、

GADM

N

FE和C分三点共线CD∥AB

DEDE=,∴ABAEAE

BC

图3×AB,同理DN=

CDCG

×GF,又∵DE=DG=GF,AB=AD=CD,AE=CG,DE×AB=CD×∴DM=DN.结2：若∠为意角，连接AE与交于点

H（延线相交点、HF三共线。证明：如果是如图4的形，分别连HF、HB、GE。

由中考题推广结论得A⊥，∠∠,∴点G、、、四共圆，即点G、、、EF在同一圆上

_4

∴∠GHF=∠，HF是直GHE平分线。同理HB是其对顶角∠的平分线，∴点BH、三共线。1

000000000000000000000000202如果是图和2的形，连接HB和HF，类似地证∠是角即可。结3若为任意角，设两个正方形的外接圆的另一个交点为点P，连接PCPE，则PC⊥PE.G

ADA

D

GF

P

CP

E

C

图

E

F3证明若个正方形无重叠部分图5连DP因DPE所弧是大圆圆周的则4∠DPE=

13××360=135,同理∠DPC=135,∠CPE=360－2135=90，PC⊥2若两个正方形有重叠部分如图6同理有DPE=135，小圆中DPC=∴∠－=90,∴⊥PE.

12

×90=45，结4当CDE0

0

时，形成△CDE与△，△与的面积相等。证明：如图7，若∠，∠CDE=ADG=90,易eq\o\ac(△,证)≌△，∴则CDE与△的积相等。若∠CDE≠90，D为中，旋到△DKG,使DE与DG重，点C的位是点K，∴△DCE△DKG∴DC=DK∠CDE=∠KDG,∠CDE＋∠，∴KDG∠ADG=180，

_

∴点ADK三点线，DK=DC=DADG是△的中,

∴△与△GDK的积相等，∴CDE△ADG面积相等。结5CDE为意角方ABCD和的边长分别为＋=2(a＋).

证明：当∠CDE=0时如图1，AG＋（AD＋DG＋(DE－DC)=(a＋＋－a)=2(a＋).当∠CDE≠0时，如图7，辅助作法同结论，同理DG是AKG的线，运用勾股定理可证得AG＋=2(GD＋)∵DCE≌△DKGKG=CE，两个正方形的边长分别2

2000000000220000000002为a、∴＋=2(a＋).结6如图8，当CDE0时形成△CDE与△，过D作DHCEH并延长HD交AG于M，则M是AG的点且DM=

12

CE.

证明:延长DM至N，使DN=CE。题意得CDH∠DCH=90，

M

∠CDH＋∠，∠∠ADM又AD=DC,DN=CE,∴△ADN≌△DCE,∴AN=DE=DG,同GN=DC=DA,∴四边形ADGN是行四边形，MA=MG,MD=MN,

_

_

1∴是AG的中，DM=DN=CE.2

这个结论的逆命题也成立：结7：如图，当∠CDE0时，形成△CDE与ADG，点是CE的点，连接MD并1延长交AG于点H，则⊥且DM=AG.2证明:延长DM至N，使MN=MD，MC=ME∴四边形CDEN

是平行四边形，CN=DE=DG,∠＋，∠CDE

∠ADG=180,∴∠DCN=∠ADG,又AD=DC，△DCN△ADG,

M

∴DN=AG且CDM=∠DAH，又∠CDH＋ADH=90，∴DAH1∠，∴∠AHD=90,∴DH⊥，而DM=DNAG.2

说明：在结论4～中，两个正方形含有重叠部分，其证法相同，恕不赘述。结8若为任意角，则CE的等于点F、B到所在线的距离的和或差。证明：分四种情况如1若与DE重时，点BF直线CE的离就是BC和的长而BC、即两个正方形的边长。CE=DEDC=FE－

FB

13EH

M

E

H

GM

10

图

F（）图10，形成的△DCE中，若∠和∠都是锐角时，过B、、作BM⊥CE、3

0000000DH⊥CE⊥足分别M在Rt△中∠HDE∠∠HED＋FEN=90，∴∠HDE=∠NEF，∠DHE=∠ENF=90、DE=EF,△≌△ENF,∴EH=FN,同∴＋CH=FNBM.

G（）图11，形成的△中因（文探究两个正方形边长不等的情形以DCE是角时，同2可

作垂线段BM、、FN，同理DHE△ENF△BMC≌CHD，∴EH=FN,CH=BM,∴CE=EH－CH=FN－（）图12，形成的DEC中，DE>DC所以当DCE

B

图

E是直角时，作垂线段FN，同理DCE△ENF,∴。而DCE=∠DCB=90，点B、C、三点共线，∴点B到直线CE的离为0。此结论仍成立。综合（）（）得CE的等于点F、B到CE所直线的距离的和或差。以上结论有些是正方形DEFG