(通用版)版高考数学一轮复习第八章立体几何学案理

第章立几第一节空几何体的三视图、直观图、表面积与体积本节主要包括3个知点：1.空间几何体的三视图和直观图2.间几何体的表面积与体积；3.与球有关的切、接应用问题突破点一空几何体的三视图和直观图[基知识]1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体棱柱棱锥棱台

结构特征有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体圆柱圆锥圆台球

旋转图形矩形直角三角形直角梯形或等腰梯形半圆或圆

旋转轴矩形任一边所在的直线一条直角边所在的直线直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线直径所在的直线2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴轴轴两垂直观中′轴′轴的夹角为或135°

′轴与x′轴和′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线观图中仍分别平行于坐标轴行于x轴轴线段在直观图中保持原长度不变；平行于轴线段在直观图中度为原来的一半．[基能力]1．判断题(1)有两个面平行，其余各面都平行四边形的几何体是棱柱)(2)棱台各侧棱的延长线交于一()(3)正方体、球、圆锥各自的三图中，三视图均相同)(4)用斜二测画法画水平放置的时，若的边分别平行于x和y轴且＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()答案：(1)³(2)√(3)³(4)³2．填空题(1)如图所示的几何体中，是棱的_填所有正确的序)．解析：根据棱柱的定义，结合给出的几何体可知③⑤满足条件．答案：③⑤(2)有一个几何体的三视图如图示，这个几何体的形状________．解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台．答案：棱台(3)已知一个几何体的三视图如所示，则此几何体从上往下依次____________构成．解析：由三视图可知，该几何体是由一个圆台和一个圆柱组成的组合体．

答案：圆台，圆柱(4)利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数________解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案：[全考法]空间几何体的结构特征[例1]给下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数()A．0C．2

B．1D．3[解析]①误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”(1)所示错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示它由两个同底圆锥成的几何体错误棱台的上下面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

[答案]A[方法技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)把握几何体的结构特征，要观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中命题②④易判断失误(3)通过反例对结构特征进行辨．空间几何体的三视图1.画三视图的规则长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．2．三视图的排列顺序先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．[例2](1)(2018²河北衡水中调正方体ABCDBCD中为棱BB的中点(如图，过点A，，的面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图()(2)(2017²北京高考某四棱锥的三视图如图所示四棱锥的最长棱的长度()

A．32C．22

B．23D．2[解析](1)过，，C截面为AEC，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C中图形．故选C.(2)在正方体中还原该四棱锥如所示，从图中易得最长的棱为AC＝AC

＋

＝2

＋＋2＝3.[答案](1)C(2)B[方法技巧有关三视图问题的解题方法(1)由几何体的直观图画三视图注意的事项①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．(2)由几何体的部分视图画出剩视图的方法先根据已知的部分视图推测直观图的可能形式，然后推测其剩余视图的可能情形，若为选择题，也可以逐项检验．(3)由几何体三视图还原其直观时应注意的问题要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．空间几何体的直观图直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)＝

24

S(2)S＝2

[例3]用二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是)[解析]由观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平

行四边形，位于y轴上对角线为22.[答案]A[全题点]1.[考点一如四棱锥的四条侧都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题()A．等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同球面上解析：选因“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等A是真题在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D是命题；是命，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．2.[考点二用个平行于水平面平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是)解析：选B俯图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.3.[考点二已三棱锥的俯视图侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直三角形，则该三棱锥的正视图可能()解析选C空几何体的正视图和侧视图“高平齐”正视图的高一定为2正视图和俯视图“长对正”正视图底边长为侧视图中的直角说明这个三棱锥最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一条侧棱．综合以上可知，这个三棱锥的正视图可能是C.4.[考点三用二测画法画出的平面图形的直观图如图，边AB平于y轴BC，

平行于x轴已知四边形的积为2cm，原平面图形的面积为()A．4cmC．8cm

B．42cmD．82cm

解析：选C依意可知∠BAD＝45°，原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原面图形的面积为8cm.5.[考点二已一个三棱锥的三图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数()A．1C．3

B．2D．4解析选D由意知三锥置在长方体中如图所示利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形．故选D.突破点二空几何体的表面积与体积[基知识]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展图及侧面积公式圆柱

圆锥

圆台侧面展开图侧面积公式

S＝S＝＝π(＋′)圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：r′＝rr′S＝π＝π＋r′)l＝πrl2．空间几何体的表面积与体积式

3333几何体

名称

表面积

体积柱体(棱柱和圆柱锥体(棱锥和圆锥台体(棱台和圆台球

S＝＋2S＝＋S＝＋＋＝4πR[基能力]

V＝Sh1＝31V＝S＋＋)4＝πR31．判断题(1)锥体的体积等于底面面积与之积((2)台体的体积可转化为两个锥的体积之差()(3)球的体积之比等于半径比的方()答案：(1)³(2)√(3)³2．填空题(1)已知圆柱的底面半径为a，高为

66

a，则此圆柱的侧面积等于________．66解析：底面周长l＝，则S＝²πa²aπa.3答案：

6π3(2)已知某棱台的上、下底面面分别为3和24，高为2，则其体积为________．1解析：＝(63＋3＋3³243)³2283.3答案：3(3)已知圆锥的母线长是8，底周长为π，它的体积是_______．解析设锥底面圆的半径为r则2＝π＝3.圆锥的高为＝－1＝55，∴＝πrh＝55.答案：55π(4)正三棱柱ABCAB的面长为2侧棱长为3为BC中，则三棱锥A的体积为________．解析：在正三棱柱ABCBC中

∵⊥，⊥BBBB∩BC＝，AD平面B.111∴＝eq\o\ac(△,S)²³³2³3³3＝1.332答案：(5)一个空间几何体的三视图如所示，则该几何体的表面积________．解析：由三视图可知该几何体是一个底面为等腰梯形的平放的直四棱柱，所以该直四棱1柱的表面积为S＝2³³(2＋4)³4＋4³4＋2³4＋2³116³4＋17.2答案：＋17[全考法]空间几何体的表面积[例1](1)(2018²福州市五校考)几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个直角三角形，一个锐角为30°则该几何体的表面积()A．24＋3B．24＋3C．12＋3D．12＋3(2)(2018²南昌市十校联考已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()

A．(25＋5)πC．(29＋5)π

B．＋17)D．＋17)[解析](1)由已知可得，该几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为3的直角三角形面为23周长为6＋3的为柱表面积＝2³2＋4³(623)＝24＋3，选A.(2)由三视图可知该几何体由一上下底面直径分别为2和为4的圆台，一个底面直径为4，高为圆柱和一个直径为4的半球组成，其直观图如图所示所以该几何体的面积为π＋³(1＋2)³17＋π³4³4＋

4³2＝＋17π＋16π＋π＝＋17)π，故选B.2[答案](1)A(2)B[方法技巧求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积求旋转体的表面积求不规则几何体的表面积

只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积空间几何体的体积柱体、锥体、台体体积间的关系

[例2](1)(2017²北京高)三棱锥的三视图如图所示该三棱锥的体积为()A．60C．20

B．30D．10(2)(2018²洛阳市第一次统考)几何体的三视图如图所示几体的体积是()A.C.

152172

B．8πD．9π[解析](1)如，把三棱锥A放到长方体，长方体的长、宽高别为5,3,4eq\o\ac(△,，)为直角三角形，直角边分别为5和3三棱11锥BCD的为4，故该三棱锥的体积＝³³5³3³410.32(2)依题意的几何体是由两完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合(各自截后所得的部分也完全相)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长、最长母线长为，将这两个截后所得的部分拼接，恰好可以形成一个底面半径为1长＋＝8的圆柱题中的几何体的体积为³1³8＝π，B.[答案](1)D(2)B[方法技巧求空间几何体体积的常见类型及思路

规则几何体不规则几何体三视图形式

若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解若以三视图的形式给出几何体先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解[全题点]1.[考点二(2018²家庄市教学质量检)几何体的三视图如图所(在网格线中个小正方形的边长为1)，则该何体的体积()A．2C．4

B．3D．61解析：选由视图知，该几何体为四棱锥如图所示，其底面面积S＝³(1＋2)³221＝，为2，所以该几何体的积＝³3³2，故选A.32.[考点一(2018²沙市统一模拟考如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为()A．3πC．5π

B．4D．12解析：选A由视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为2＋π＝π.

选A.3.[考点二(2017²江高考某何的三视图如图所(位几何体的体积单位)是)A.B.

π2π2

＋＋C.D.

3232

＋＋解析选A由何体的三视图可得几何体是一个底面半径为1高3的锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形高为三棱锥的组合体该几何体的1111π体积＝³π³1³3＋³³³³3＝＋1.233224.[考点一(2018²昌市模)图，直角梯形中，⊥，AD∥BC＝＝AD2若该直角梯形绕BC边旋转一周则得的几何体的表面积________．解析：根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆(面半径为1，高为1)，下半部分为圆(底面径为，高为，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为π²1²

＋＋π²1π²1＝2＋π.答案：2＋π5[考点二中古代数学名《章算术记载了公元前年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所单位：寸：

VV若取3，其体积12.6(立)，则图中的x的值为________．解析三图知鞅方升由一圆柱和一长方体组合而成意(5.4－)³3³11＋³

x＝12.6，解得＝答案：突破点三与有关的切、接应用问题与球有关的组合体问题常涉及内切和外.题时要认真分析图形切点和接点的位置确定有关元素间的数量关系作出合适的截面如球内切于正方体时点正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上体体对角线长等于的直球与其他旋转体组合时作们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题[全考法]多面体的内切球问题[例1](1)(2017²江苏高)图，在圆柱OO内一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱OO的体积为V，球O的积为，V则的是_______．S(2)若一个正四面体的表面积为S，内切球的表面积为S，＝________.[解析](1)设O的径为R，因为球O与柱的上、下底面及母线均相切，所以VπR²23圆柱的底面半径为、高为，所以＝＝.V42π3(2)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S＝4³

31²a，其内切球半径为正四面体高的，＝444

SπSπ³

66a＝a，312因此内切球表面积为S＝πS363则＝＝.a6363[答案](1)(2)2π[方法技巧

π＝，6处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．多面体的外接球问题把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[例2](1)正棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为2，则该球的表面积()A.

814

B．πC．9π

27D.4(2)(2017²天津高考已知一个正方体的所有顶点在一个球面上个方体的表面积为18，则这个球的体积________(3)(2018²河北衡水调研)一个六棱柱的底面是边长为2的正六边形侧长为3则它的外接球的表面积________．[解析](1)如所示，设球半径为，底面中心为O′且球心为，∵正四棱锥PABCD中＝2，∴′＝2.∵′＝，∴在eq\o\ac(△,Rt)AOO′，＝AO＋′，∴(2)＋－)，9解得＝，4

4452445281∴该球的表面积为4πR4³

.(2)由正方体的表面积为，正方体的棱长为3.3设该正方体外接球的半径为R，则2R＝，＝，244279π所以这个球的体积为π＝³＝.3382(3)由直六棱柱的外接球的直径直六棱柱中最长的对角线直六棱柱的外接球的直径为4＋＝，∴其外接球的表面积为4π³.9[答案](1)A(2)2[方法技巧]

(3)25与球有关外接问题的解题规律1(1)直棱柱外接球的球心到直棱底面的距离恰为棱柱高的2(2)正方体外接球的直径为正方的体对角线的长结论也适合长方体由一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．[全题点]1.[考点二如是某几何体的三图，则该几何体的外接球的表面积()A．200πC．100π

B．150πD．π解析：选D由视图知，该几何体可以由一个长方体截去个角后得到，此长方体的长、宽、高分别为5,4,3，以接球半径满足2R＝4＋＋＝2，所以接球的表2面积为S＝4＝π³2

＝50，选D.

＝＝2考点一一块石材表示的几何体的三视图如图所示该石材切削磨工球，则能得到的最大球的半径等于()A．1C．3

B．2D．4解析：选B该何体为直三棱柱，底面是边长分别为,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝12³³6³82＝，选6＋＋

2a＋＋3.[考点一(2018²北三省模)棱柱AB的面是边长为3的三角形棱⊥底面ABC球O与三柱B各面面相侧AA的为)A.

12

B.

32C．1

D.3解析：选C因球O与三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA长等于球的直径．设球的半径为R则球心在底面上的射影1是底面正三角形的中心图示为＝3所以＝AC2＝

3ππ33.因为tan＝，以球的半径R＝＝tan＝³2662311³1，所AA＝R＝2³＝224.[考点二三锥P中，⊥平面ABC，⊥，＝＝＝3，则该三棱锥外接球的表面积为()A．5πC．20

B.2D．4

ABCeq\o\ac(△,S)ABCABCeq\o\ac(△,S)ABC解析：选A把棱锥ABC看作由一个长、宽高分别为1、的长方体截得的一部(如图．知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球又方体的体对角线长为1＋＋3＝5故外接球半径为

55，表面积为4³2

＝π.5.[考点二(2018²阳统考已三棱锥ABC的四个顶点均在某球面上为球的16直径，△是边长为4等边三角形，三棱锥PABC的积为，则此三棱锥的外接球的3表面积为()A.C.

163643

40B.380D.3解析：选D依意，记三棱锥PABC的接球的球心为O，半径为，点P平面113163的距离为h则由＝h＝³³4＝得＝.又为球的径，因此333312343球心到面的距离等于h＝.又正△的外接圆半径为r＝＝，232sin60°32080π此＝＋，以棱锥PABC的接球的表面积为4π＝，选D.333[全国卷5年题集中演练——规]1.(2017²全国卷Ⅰ某面体的视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为)A．10C．14

B．12D．16解析：选由视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，知该多面体有2个面梯形，这些梯形的面积之和为2＋4³2³212，故选22．(2017²全国卷Ⅲ已圆柱的高为它的两个底面的圆周在直径为2的一个球的球面上，则该圆柱的体积()

A．

3B.4C.

π2

πD.434

.

3解析：选B设柱的底面半径为，则＝－所以圆柱的体积V＝³143．(2016²全国卷Ⅲ在封闭的直三棱柱A有一个体积为V的．若AB⊥，AB＝，＝，＝3，V的最值()A．4πC．6π

9B.232D.36＋8－解析选B设的半径为R∵的切圆半径为＝≤2.又2≤3，2349π∴≤，∴＝³³.故选2324(2016²全国卷Ⅱ)如图是由柱与圆锥组合而成的几何体的三视图该几何体的表面积为)A．20C．28

B．πD．π解析选C由视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体圆柱底面圆半径为r周长为c，圆锥母线为，圆柱高为.由图得r2，＝π＝4π＝4，由勾股定理得＝2＋23＝，＝πr

1＋ch＋＝4π＋ππ＝28.25．(2015²全国卷Ⅱ一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值()

V55V55A.C.

1816

1B.71D.5解析：选D

由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分图示去分是一个三棱锥正方体的棱长为1，11115则三棱锥的体积为V＝³³1³1³1，余部分的体积V＝1－＝.326661V61所以＝＝，选D.66．(2017²全国卷)长方体的，宽，高分别为3,2,1其顶点都在球O的面，则球的面积________解析：由题意知，长方体的体对角线长为3＋2＋＝14记长方体的外接球的半径为，则有2＝14，R＝

142

，因此球O的面积为S＝＝14π.答案：π[课时达标检测[小对点练——点点落]对点练一空几何体的三视图和直观图1．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数()A．0C．2

B．1D．3

解析：选①平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.2(2018²广州六校联)已知几何体的正视图和侧视图均如图所示出列5个形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数()A．5C．3

B．4D．2解析：选B由知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为①②③.故选B.3．在如图所示的空间直角坐标O中一个四面体的顶点坐标分别(0,0,2)，(2,2,0)(1,2,1)(2,2,2)给编号为①②③④的四个图则该四面体的正视图和俯视图分别为)A．①和③C．④和③

B．③和①D．④和②解析：选由意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2)且有一条虚(一顶点与另一直角边中点的连)故视图是④俯图即在底面的射影是一个斜三角形三顶点的坐标分别(0,0,0)(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②4.如图，eq\o\ac(△,O)eq\o\ac(△,)′′′是的平放置的直观图其中O′′′′＝，则△的面积是________．1解析：在eq\o\ac(△,Rt)OAB中，＝2，＝，△OAB的积S＝³2³424.答案：5．一个圆台上、下底面的半径别为cm和8cm若两底面圆心的连线长为12，

则这个圆台的母线长_______cm.解析A作AC⊥于点C.在eq\o\ac(△,Rt)中12cm－3＝5(cm)AB＝12

＋

＝13(cm)．答案：对点练二空几何体的表面积与体积1．知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.

a2

B.

33C.

233

23aD.3解析：选C设锥的底面半径为，母线长为，由题意知π＝l，l＝，则圆123π锥的表面积S＝πr＋π(2r)＝，＝，∴r＝.23π32．(2017²全国卷)如，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积()A．90C．42

B．πD．π解析：选B由意知，该几何体由底面半径为3高为10的圆柱截去底面半径为3，1高为6的柱的一半所得，故其积＝³3³10³³3³6π.23．(2018²湖北四校联考已某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

33A．16C．4＋＋5)π

B．＋5)D．6＋(5＋5)π解析选C该何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体表面积为S＝＋4＋＋5π＋＋5)π.14．(2017²山东高考由一个长方体和两个圆体构成的几何体的三视图如图，则该几4何体的体积________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，1π∴＝2³1³1＋2³³³1³1＋.42π答案：＋25．我国古代数学名著《数书九》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积体积除以盆口面积；②一尺等于十)1解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为＝π(＋

πr)＝³9³(10＋＋10³6)π立寸，雨量为314π

588＝＝寸．196答案：6(2018²合肥市质)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体的观图

22和三视图中的侧视图视如所示该何体的体积是原直三棱柱的体积________．1解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为、底面积为³2³(24)＝的四棱锥，211其体积为³6³2而三棱柱的体积为³2³2³4，该几何体的体积是原直三棱柱321的体积的.21答案：2对点练三与有关的切、接应用问题1．在三棱锥ABCD中侧棱AB，，AD两两垂直eq\o\ac(△,，)ABC△ACD，ADB的面积分别为

236，，，该三棱锥外接球表面积()222A．2πC．46

B．6D．π1213解析：选B设互垂直的三条侧棱AB，分别为，b，则ab，bc＝，222216＝得＝2＝＝3.以三棱锥的接球的直径2＝a＋＋＝226，其外接球的表面积＝

＝π.2．已知正四面体的棱长为2，其外接球的表面积为)A．8π

B．πC.

3π

D．3解析：选D如所示，过顶点A作AO底面BCD垂足为O则O为正三角形的中心，连接并长交BC于点E，又正四面体的棱长为2，所以DE＝

626，＝DE＝，以在直角三形中，AO23323＝AD－＝.设正四面体接球的球心为，半径为R连接PD则在直角三角形POD3

36中，PD＝＋OD，即R＝－3＝π.

3，解得R＝，以外接球的表面积＝π23(2018²湖北七市(州联考)个几何体的三视图如图所示几何体外接球的表面积为)A．36C．32

112B.π3D．π解析：选根三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是23.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，是，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球，其中心到三棱柱6个点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的三角形，∴面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离243为³23＝，外接球的半R＝33

33

＋＝

283

，外接球的表面积＝π28112＝π³＝，选B.334.(2018²陕西西工大附中训练)图，在四棱锥中底面是边长为的方形PD⊥底面ABCD，且PDmPA＝＝2，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径________．解析：由⊥面，得⊥.又＝，PA＝2，则AD＝.设内切球的球心为，半径为R连接，，，，(图略，知＝＋＋＋OOOOV

11111111，即²²＝²³＋³²²＋³²m²³²2²3332321111²²²，得R＝(2－2)，所以此球的最大半径是(22)m32221答案：(2－2)2[大题综合练——迁移贯]

1．有一根长为3πcm底面半径为cm的圆形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图，由题意知BC＝πcm，＝πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段的长度即为铁丝的最短长度．＝ABBC5(cm)．故铁丝的最短长度为5πcm.2.一几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩，俯视图为两个边长为1的方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何是一个平行六面(图)，其底面是边长为1的正形，高为3.所以＝1³1³3＝3.(2)由三视图可知该行六面中⊥平面CD平面BCCB，所以＝，侧面ABBC均为矩形．S＝2³(1³1＋1³3＋1³2)＝6＋3.3．一个正三棱锥的底面边长为，侧棱长为15求这个三棱锥的体积．解：正三棱锥S如图所示，设为三角形ABC的中心，连接，则SH的即为该正三棱锥的高．连接AH并长交于点E，则为的点，且AE⊥BC.∵△ABC是边长为6的三角形∴＝

3³63，2

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)2∴＝AE＝3.311在△ABC中，S＝²³6³33＝3.22在eq\o\ac(△,Rt)SHA中，SA15＝23，∴＝SA－AH＝15－123，11∴V＝²³9³3＝9.33第二节空点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知点：1.面的基本性质；2.空间两直线的位置关.突破点一平的基本性质[基知识]1．公理1～3文字语言

图形语言

符号语言公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

∈l∈l∈α∈α

l公理2公理3

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

A，，三点不线有且只有一个平面α，A∈，α，∈αP∈α，∈βα∩β＝，且∈公理1是断一条直线是否在某平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是明三线点或三点共线的依据．2．公理2的个推论推论1：经过一条直线和这条直外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且有一个平面．[基能力]1．判断题(1)如果两个不重合的平面α有条共直线平相作α∩β＝.()(2)两个平面αβ有一个公共点A说α相于过A的任意一条直线)(3)两个平面α有个公共点A说α相于点作α∩β＝.()(4)两个平面ABC与相交于线段BC.()答案：(1)√(2)³(3)³(4)³2．填空题(1)空间不共线的四点，可以确平面的个数________．答案：或4(2)下列命题中，真命题是________．①空间不同三点确定一个平面；②空间两两相交的三条直线确定一个平面；③两组对边相等的四边形是平行四边形；④和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．解析：①是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；②是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；③是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；④是真命题．答案：④(3)设表一个点，，表示两条直线α，表两个平面，给出下列四个命题，其中真命题________．填序号①∈，P∈α；②∩＝P，βaβ；③∥，aα，b，P∈bα；④∩β＝，∈，∈β∈.答案：③④[全考法]

平面的基本性质及其应用[典例]已空间四边形(图所示E分是ABAD的11中点，，分是，上的点，且CG＝BC，＝.求证：33(1)，，，H四点共面；(2)三直线FH，，共．[证明](1)连，，E，别是，AD中点，EF∥BD11又∵＝，CHDC，33∴∥，∴EF∥，∴，，G，四共面．(2)易知FH与直线AC不平行，共面，∴设FHAC，∴∈平面EFHGM∈平面ABC又∵平面EFHG∩平面＝，∴∈EG∴，，共．[方法技巧1．证明点共线问题的常用方法公理法同一法

先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3．证明点、直线共面问题的常方法纳入平面法辅助平面法

先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内先证明有关的点线定平面α再明其余元素确定平面β最后证明平面α，β重合

[全题点]1．在正方体ABCDD中，Q，R分别ADB的中，那么正方体的过P，，的面图形()A．三角形C．五边形

B．四边形D．六边形解析：选D画正方体，结合共面的公理与推论求得选D.2．如图是正方体或四面体，PQ，，分是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是)解析：选DA、B、图四点一定共面D四点不共面．3．若空间中n个不同的点两两离都相等，则正整数n的()A．至多等于3C．等于5

B．至多等于4D．大于5解析选B＝2时可以＝3时为三角形可以＝为四面体可以；＝时，四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与长相等，这种情况不可能出现，所以正整数n的值至多于4．以下四个命题中，正确命题个数(①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，，C，共，点A，，，面，则A，，，，共；③若直线ab共面，直线a，c共，则直线共；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0C．2

B．1D．3解析：选B①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，，三共线，则AB，C，，五不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然bc异面故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．5.如图所示，在正方体BD中，分是AB和的中．求证E，，D四共面．证明：如图所示，连接CDEF，，因为，分是AB和AA的点，

ππ1所以EFB且EFAB2又因为A綊BC所以四边形A是行四边，所以∥CD，所以∥，所以EF与CD定一个平面，所以，，C，∈α，即C，，点共面．突破点二空两直线的位置关系[基知识]1．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直异面直线：不同在任何一个平面内(2)公理4和角定理①公理4：平行于同一条直线的条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．异面直线所成的角(1)定义：设a，两条异面直线，经过空间任一点O作直线a∥，′∥，′与′所成的锐或直角)叫做异面直线a与b所成的角或夹角．(2)范围：

.[基能力]1．判断题(1)已知ab异面直线直c平于线a那c与b不能是平行直线(2)没有公共点的两条直线是异直线((3)经过平面内一点的直线(不平面)与平面内不经过该点的直线是异面直线)(4)若两条直线共面，则这两条线一定相交()答案：(1)√(2)³(3)√(4)³2．填空题(1)若空间中有两条直线这条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的____________条件．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．

答案：充分不必要(2)(2018²江西七校联考)已知线a和平面α，βα∩＝，a⊄，aβ，a在α，β内的射影分别为直线b和，则直线bc的位关系是________________．解析：依题意，直线b和的置关系可能是相交、平行或异面．答案：相交、平行或异面(3)空间两个角αα与β的两边对应平行α＝60°β为____________解析：α与β两边对应平行，但方向不一定α与β相或互补．答案：或120°(4)如图所示知在长方体中＝3＝3AE＝，则和EG所角的大小是_______和BG所成角的大小是________．EF解析：与EG成的角等于与所的角即EGFtan∠＝＝，∴∠EGFFG＝45°.GF23∵与所的角等于BF与BG所成的角即∠＝＝＝3∠BF2＝60°.答案：[全考法]空间两直线位置关系的判定[例1](1)下结论正确的()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，，，，如果∥，∥，且a∥，那么∥.A．①②③C．③④

B．②④D．②③(2)在图中，，分是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线G，是异面直线的图形有________．填所有正确答案的序)

..[解析](1)①两直线不交则它们可能平行也能异面②由公理4可正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.(2)图①中，直线∥；②G，，三共面，但M∉平面GHN因此直线GH与MN异面；图③中，连接M∥HN，因此与MN共面；图④中M，N共面，但H∉平面GMN，因此与异面．所以在图②④中GH异面．[答案](1)B②④[方法技巧判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系般可借助正方体模型方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法先设两条直线不是面直线两条直线平行或相交假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法外一点与面内一点B的线和平面内不经过点B的线是异面直线．异面直线所成的角1.平移直线(线段法定法求面直线所成的角常用的平移方法有：(1)利用图中已有的平行线平移(2)利用特殊点(线段的端点或中作平行线平移；(3)补形平移．2．向量法基法、坐标法)求面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量，b，则两异面直线所成角θ满cos＝

|²||||[例2](1)(2018²福州五校联)知是所平面外的一点，M、分是、PC的中点，若＝＝，＝3，则异面直线PA与所成角的大小是)A．30°B．45°

C．60°D．90°(2)空间四边形ABCD，AB＝CD且AB与所成的角为30°，，分别为BC，的点，求与所成角的大小．11[解析](1)取AC的点，连接OM、，綊BC，ON綊PA22∴∠ONM就是异面直线与MN所成的角．由MNBC4，PA43，OM＝，ON23，ON＋－12＋－3∴cos∠ONM＝＝＝，2ON²2³23³42∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与所成角的大小为30°.选A.11(2)取AC的中点G，连接EG，，则綊AB綊CD，22由AB知＝FG∴∠GEF或它的补)为与所的角，(或它的补)为AB与CD所的角．∵与所的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG知EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°当∠EGF＝150°时，∠＝15°.故EF与AB成的角为15°或75°.[答案](1)A[方法技巧

用平移法求异面直线所成的角的步骤一作二证三求

即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角即证明作出的角是异面直线所成的角解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角[全题点]1.[考点一，表空间中的两条直线，若：，是面直线：，不交，则)

A．是q充分条件，但不是q的必要条件B．是q必要条件，但不是q的充分条件C．是q充分必要条件D．既是的分条件，也不是q的必要条件解析：选A若l，异，则l一不相交；若ll相交，则，l是行直线或异面直线，故pq，p，故p的分不必要条件．2.[考点一正棱台中AD′所在的直线与′在的直线是)A．相交直线B．平行直线C．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线解析：选C结图形和棱台性质易排除A，，D.选3.[考点一(2018²北七市州联考设直线与面α相但不垂直列法正确的是()A．在平面α内且只有一条线与直线m垂直B．过直线m有且有一个平面平面α垂C．与直线m垂直直线不可能平面α平D．与直线m平行平面不可能平面α垂解析：选B对A，在平面α内能有无数条直线与直线m垂直这些直线是互相平行的，错；对于B，只要m，直线有并且也只有一个平面与平面α垂，正确；对于C，类似于A，在平面α外能有无数条直线垂直直线并且行于平面，错误；对于D，与直线行且与平面垂的平面有无数个错误．故选4.[考点二(2018²南省统)图，在长方体BD中AB＝，＝BB＝1是的中点，则异面直线所成的角等于()A．30°C．60°

B．45°D．90°解析：选C如，取AB的中，连接D，，AE则ADE为异面直线与PD所成的角因AB2所以AE＝1又BC＝1所以DE＝＝＝2ADE为正三角形，所以∠ADE＝60°，选C.5．[考点二如图所示，正方体ABCD中

55(1)求C与BC所成的大小；(2)若、分为AB、的点，求AC所成角的大小．解：(1)如图，连接AC，由B是正方体，知AAC为行四边形，所以AC∥CC所的角就是AC与BC所成的角AB＝ACB可∠CA＝60°，即AC与B所角为60°.(2)如图连BD由∥CC且AA＝可知是行四边形，∴∥C，∴AC与所成的角就是A与EF所的角．∵EF是△的中位线，EF∥BD.又∵⊥，∴EFAC，即所求角为90°.[全国卷5年题集中演练——规]1．(2017²全国卷)已直三棱柱BC中，ABC＝120°2BCCC＝1，则异面直线AB与所角的余弦值()A.

32

B.

15510C.D.5

33解析：选C

如图所示，将直三棱柱

ABCAC补成直四棱柱ABCDABC，接AD，D，则AD∥，所以∠AD或补角为异面直线与BC所成的角．因为ABC＝120°，＝，BCCC＝，所以＝5，＝2.在△BDC中，C＝60°B＝，5＋－10＝，以BD＝1＋2－2³1³2³cos60°＝3，以cos∠AD＝＝.2³5³22．(2016²全国卷Ⅰ平面过方体ABCDC的顶点，α∥平面，∩面＝，α∩面＝，，成角的正弦值()A.

32

B.

231C.D.233解析：选A如，在正方体ACD的上方接一个同等大的正方体ABCDAC与面CBD平的是平面ABD∩平面＝，直线n就是直线，面面平行的性质定理知直线m行于直线BD，，所成角就等于与D所的角，在等边三角形D中，∠ABD＝60°，故其正弦值为[课时达标检测

32

.选A.[小对点练——点点落实]

对点练一平的基本性质1．四条线段顺次首尾相连，它最多可确定的平面()A．4个C．2个

B．3个D．1个解析：选首相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．若直线上有两个点在平面外()A．直线上至少有一个点在平面B．直线上有无穷多个点在平面C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面解析：选根题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．3.如图α∩β＝，B∈α，∈，，直线∩l＝M，过，，三的面记作γ，与β的线必经过()A．点B．点C．点但过点MD．点和解析：选D因ABγ，M∈AB所以M∈γ.又α∩β＝，∈，以∈.根据公理3可，在与β的交线上．同理可知，点C也在与β的线上．4.如图，平行六面体C中与AB面又与面的棱有条解析：依题意，与A和CC都交棱有；与相且与平行棱AABB与AB平行与相的棱有D故符合条件的棱有5．答案：对点练二空两直线的位置关系1．已知异面直线，分在平面α、β内且α∩β＝，么直线c一()A．与、都交B．只能与ab中的一条相交C．至少与ab中的一条相交

D．与、都行解析C如c与a都行么由平行线的传递性知a平异矛选C.2．已知l，，是空间三条不的直线，则下列命题正确的()A．⊥，⊥l∥B．⊥，∥l⊥C．∥∥l，，共面D．，，共，，共解析：选B在间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线B正确相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错3．(2018²兰州市高考实战模)已知长方体BC中，＝AB3，＝，则异面直线BC和CD成角的余弦值()A.C.

6426

B.D.

6336解析：选A如图，连接AA，由题易知C∥，∴是异直线C与C所的角，又＝AB3AD1，＝DC＝6ACC＋D－C6＝，余弦定理，得cos∠DA＝＝，选A.2³³44．如图为正方体表面的一种展图，则图中的AB，CD，EF在原正方体中互为异面直线的有________对解析面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化AB，CD，和GH在原方体中，显然AB，与，与都是异面直线，而与相交CD相交与平行．故互为异面直线的有3对答案：5．已知ab，为条不同的直线，且a平α，平面β，∩β＝.①若与b异面直线，则c至少a，中一条相交；②若不直于c，则a与一不垂直；③若∥，则必有a∥；④若⊥，a⊥，则必有⊥.

其中正确的命题_．填所有正确命题的序)解析：①中若a与b是面直线，则c至与中一条相交，故①正确；②中平面α⊥面β时，若b⊥，⊥平面α，时不论ac是否直，均有⊥，故②错误；③中当a∥时则∥平面β由面平行的性质定理可得a∥故③正确④若b∥，则a⊥，⊥时，与平面β不定垂直，此时平面α与平面也不一定垂直，故④错误．答案：①③6.如图所示，在空间四边形ABCD中，点，分别是边ABAD的CF中点，点，G分是边BC，上点，且＝＝，则下列法正CB3确的是．填所有正说法的序)①与平；②与异；③与的点M可在直线上也可能不在直线上④与的点M一在直线上解析：连接，图略，依题意，可得EH∥，FG，故∥FG所以，，，H共面12因为EHBD，＝BD，故EH≠，23所以EFGH是梯形，与必交，设交点为M因为点在EF上，故点在面ACB上同理，点M在面上，∴点是面ACB与面ACD交点，又AC是两个平面的交线，所以点M一在直线上．答案：④7．(2018²武汉调研在四面体ABCD中分是和DA的中点则面线和CD所角的余弦值为________．解析：取AC的中点，连接NEME由，分为AC，AD的中点，知NE∥，故MN与CD所的角即与的角即∠MNE.设四面体的棱长为2可得＝ME＝MN＋－2＝2，故cos∠MNE＝.2²2答案：

228．如图，在三棱锥A中＝＝＝＝，＝＝，M，N别为，BC

的中点，则异面直线AN，所的角的余弦值是．解析：如图所示，连接，线段DN的点K连接，.∵M为AD的中，∥AN，KMC(或其补角为异面直线，CM所成的角．AB＝AC＝3＝＝N为BC的中点，由勾股定理易求得ANDN＝＝2，＝2.在eq\o\ac(△,Rt)CKN中＝2＋2－32＋＝3.在△中由弦定理，得cos＝2³2³2277＝，以异面直线，所的角的余弦值是.887答案：8[大题综合练——迁移贯]1.如图所示，A是所平外的一点，，分别是BC的中点．

AD(1)求证：直线与是异面直线；(2)若AC，＝，与所的角．解：(1)证明：假设EF与BD不异面直线，则与共，而DF与共面，即AD与BC共所AC在一平面内这是△所平面外的一点相矛盾直线EF与BD是面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，，则ACFG，EG∥，所以相交直线与EG所的角，即为异面直线与BD所的角．又因为AC⊥，⊥.1在Rt△中＝＝AC∠＝45°面线与所的角为45°.22.如图三锥中⊥面ABCD是的点知BAC＝

π，＝，＝3，PA＝2.求2(1)三棱锥PABC的积；(2)异面直线与AD所成角的余弦值．

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)433

11解：(1)＝³2³23＝3三棱锥ABC的体积为V＝²³23³223.(2)如图，取的点E，连接DE，，ED∥，所以∠或其补角)是异面直线与所的角，2＋－3DE＝，＝2，＝，∠＝＝2³2³243故异面直线与AD所成角的余弦值为.43.如图所示，三棱柱，面是边长为2的三角形，侧棱A⊥底面ABC点分是棱CC上点点是段上动点，EC＝＝(1)当点M在何位置时，∥平面(2)若BM∥平面判断与EF的位置关系说明理由并求BMEF所的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接，过点O作OM⊥AC于点M因为侧棱A⊥底面ABC，所以侧面AACC⊥面ABC.又因为EC＝FB＝，1所以OMFB且OM＝EC，2所以四边形为矩形BM∥.因为OF平AEF，BM平面，故BM平面AEF，此时点M为AC中点．法二：如图所示，取的点，的点Q连接PQ，，BQ因为EC＝，所以PE綊BF，所以PQAEPB，所以PQ平面，∥面AEF因为PBPQ，，⊂平PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ平，

所以BQ平面.故点即所求的点M，此时点M为的点．(2)由(1)知BM与EF异面∠OFE或∠MBP)就是异面直线BM与所的角或其补角．易求AFEF5，＝OF3，⊥，OF所以∠＝＝EF

35

＝

15，5所以BM与EF所的角的余弦值为

155

.第三节直、平面平行的判定与性质本节主要包括2个知点：1.直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质.突破点一直与平面平行的判定与性质[基知识]直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言平面外一条直线与此

图形语言

符号语言判定定理性质定理

平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行线平线面平行)一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线平行[基能力]

l∥，α，αl∥l∥β∩β＝∥1．判断题(1)若一条直线和平面内一条直平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，∈，过点P且平于直线a的直线有无数条()(3)空间四边形中，E，F分别AB，的点，则∥平面BCD.()

答案：(1)³(2)³(3)√2．填空题(1)对于直线m，和平面α，nα，“∥”是“α”________________条件．解析：当mn时，α或∥，当∥α时与n可能行也可能异面．答案：既不充分也不必要(2)若直线a直线b＝，a∥平面α，b与α的置关系是________________．解析：因为∥α，面没公共点，若α，则A∈，又A∈，此种情况不可能．∴∥α或b与相交．答案：∥α或b与α相(3)如图，ABCDC是正方体，若过，，三的平面与底面C的线为，则与AC关系_．解析：∵∥C，C平面B，⊄平ABC，∴∥平面D，AC平ABC平面∩平面ABCD＝，∴∥.答案：∥[全考法]线面平行的判定[例1](2018²山西八校联)图，在五面体ABCDEF中，已知棱DE⊥平面ABCD，∥BC，∠BAD＝30°，AB4，＝＝(1)求证：∥面ABCD；(2)求三棱锥B的体积．[解](1)证：因为AD，平ADEF，⊄平面，所以BC平面，又EF平ADEF所以BCEF从而EF∥平面.(2)如图，在平面内，过点B作BH于，因为DE平面，BH平面ABCD，所以DE，又ADDE平，∩，所以BH⊥平面，

aBCaaEFGHaBCaaEFGH所以BH是棱锥BDEF的高在直角三角形中，BAD＝30°AB＝，所以＝2.因为DE平面，AD平面ABCD，所以DE，1又由(1)知∥EFAD∥BC以∥⊥eq\o\ac(△,以)的面积＝³2³22＝，114所以三棱锥B的体积＝³³＝³2³2.333[方法技巧判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共；(2)利用线面平行的判定定理(aα，α，∥b∥)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，⊄β，αa∥β．线面平行性质定理的应用[例2]如，在四面体ABCD中，截面EFGH行于对棱和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大．[解]∵∥面，平面EFGH与平面和平面ABD分别交于FG，，∴∥，∥EH∴FG∥，同理可证EF∥，∴截面EFGH是平行四边形．设AB，＝，＝α(α即异面直线和所成的角或其补角．又设FG，GH＝，xCGyBG则由平面几何知识可得＝，＝，xb两式相加得＋＝，＝a－)，ababbsinα∴＝²²sinα＝²(－)²sinα＝∵>0，－>0且x＋a－)＝为值，

(－)．bsinα∴当且仅当x＝－x时a

sinα(a－＝取大值，此时＝，42即当截面的顶点E，，，分为棱AD，，，的点时，截面面积最大．[易错提醒]

在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．[全题点]1.[考点二如所示，四边形是行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上一点，过和作面PAHG交平面BDMGH.求证：∥.证明：如图所示，连接交BD于点，连接MO∵四边形是平行四边形，∴是的中点，又M是的中点，APOM.又MO平BMD⊄平面BMD∴∥平面.∵平面PAHG∩平面＝，且PA平PAHGPA.2.[考点一(2018²沙模拟如，以ABC为点的六面体中，和△ABD均等边三角形且平面ABC⊥平面ABDEC⊥平面ABC，＝3，＝2.(1)求证：∥面ABC(2)求此六面体的体积．解：(1)作DF⊥交AB点，连接CF，因为平面ABC⊥平面ABD所以DF平面，又EC平面ABC，所以DFEC因为△是边长为2的边三角形，所以DF3，因此DFEC于是四边形为平行四边形，所以DECF又CF平ABC，DE平面，因此DE平面.(2)因为△ABD是边三角形，所以是的点，

3333而△ABC是等边三角形，因此CFAB由DF平面ABC，知DF⊥CF，从而CF平面，又DFEC所以DE平面，1因此四面体的体积为²，eq\o\ac(△,S)ABD1四面体ABCE的体积为²，eq\o\ac(△,S)ABC而六面体的体积＝四面体的积＋四面体的积，故所求六面体的体积为2.突破点二平与平面平行的判定与性质[基知识]平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言一个平面内的两条相交直

图形语言

符号语言判定定理性质定理

线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行面平)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

a∥β，∥，∩＝P，aα，αα∥βα∥β，∩γ＝，β∩＝a∥[基能力]1．判断题(1)如果一个平面内的两条直线行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)若一个平面内有无数条直线另一个平面平行，则这两个平面平行()(3)如果两个平面平行，那么分在这两个平面内的两条直线平行或异面()(4)若两个平面平行，则一个平内的直线与另一个平面平行)答案：(1)³(2)³(3)√(4)

PAPA2．填空题(1)经过平面外的两点作该平面平行平面，可以________个．解析：当这两点连线与该面相交时，这时作不出符合题意的平面，当这两点连线与该面平行时可以作唯一的一个符合题意的平面．答案：或1(2)在正方体EFGHFH中，列四对截面彼此平行的一对的序号________．①平面EFG与平EGH；②平面与面FH；③平面FH与面FHE；④平面EHG与平EH.解析：画出相应的截面如图所示，即可得答案．答案：①(3)如图α∥β，所在的平面与α，β分别交于，，＝CACD＝，AB＝________.PCCD解析：∵α∥，CD∥，则＝，PA³5³15∴＝＝＝.PC225答案：2[全考法]面面平行的判定与性质

[典例](1)(2018²烟台模)图在棱柱点D是BC上一点且B∥平面D，点D是B的点，求证：平面ABD∥面ACD.(2)在如图所示的几何体中是的中点∥已知G分是和的中点证：∥面ABC.[证明](1)如，连接C交点，接ED因为四边形A是平行四边形，所以点E是的点，因为A∥平面AC，面ABC平面E