2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案第25课-三角函数的恒等变形与求值含解析

____第25课__三角函数的恒等变形与求值(1)____理解同角三角函数的基本关系式．能正确运用这些公式进行化简、求值与证明.1.阅读：阅读必修4第16～18页．2.解悟：①同角三角函数的基本关系式及其公式的正用、逆用、变形使用；②掌握sinα±cosα，sinαcosα之间的关系，能够知一求二；③求值与化简时，常用弦切互化、和积变换、变角技巧、“1”的代换．3.践习：在教材空白处，达成必修4第18页练习第3、4、6题.基础诊疗33π31.若sinα＝－，π<α<，则tanα＝____．52433π324sinα3分析：由于α＝－，<α<，因此α＝－1－－＝－，因此α＝＝.sin5π2cos55tancosα41化简：＋(1－cosα)＝__sinα__．sinαtanαcosα分析：原式＝＋(1－cosα)＝sinαsinα

1－cos2αsin2α＝＝sinα.sinαsinα已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是__－1__．分析：由于sinα＋2cosα＝0，因此tanα＝－2.原式＝2sinαcosα－cos2α2tanα－1－4－1sin2α＋cos2α＝tan2α＋1＝4＋1＝－1.4.若cos(－80°)＝，则tan100°＝__－1－k2__．k分析：由于80°＝1－280°＝1－2（－80°）＝1－k2，因此100°＝－80°sincoscostantansin80°sin80°1－k2.＝－cos80°＝－cos（－80°）＝－k典范导航考向?运用同角三角函数的基本关系，进行化简、证明11＋cosαsinα＋tanα）sinα例1(1)化简：tanα(cosα－sinα)＋；1＋2sinαcosα1＋tanα(2)求证：＝.cos2α－sin2α1－tanαααsinα＋α2αcosαsinα2分析：(1)原式＝(cosα－sinα)＋1＋α＝sinα－＋＝sinα.αααcoscoscoscos【注】切化弦是常用的除去名称差别的方法．sinα1＋cosαcosα＋sinα21＋2sinαcosα(2)方法一：右侧＝（cosα＋sinα）＝＝＝22＝左1－sinαcosα－sinα（cosα－sinα）（cosα＋sinα）cosα－sinααcos边．sinα（α＋2α＋α1＋αα＋αα）cossincossincoscossin方法二：左侧＝＝，右侧＝＝，则左侧＝右侧．cos2α－sin2αcosα－sinαsinαcosα－sinα1－αcos222α＋1＋2tanα2sinα＋cosα＋2sinαcosαtan（1＋tanα）方法三：左侧＝2α－2α＝1－2α＝（1－α）（1＋α）＝cossintantantan1＋tanα＝右侧．1－tanα【注】(1)题中有弦有切，应进行弦切互化，应确定化简的目标意识——同名、同角.(2)证明恒等式时要和学生议论，指引学生利用掌握公式的特色，学会剖析等号左右两边的构造，选择适合的推理门路进行证明.(1)π1已知α∈，π，化简：α－1；2tansin2α(2)tanαsinαtanα＋sinα证明：＝.tanα－sinαtanαsinαπ分析：(1)由于α∈2，π，1－sin2αcos2α因此原式＝tanαsin2α＝tanαsin2α1tanα·－tanα＝－1.2ααα·sinαcosαα（＋α）α＋αα＋sinα(2)左侧＝sinsin1cossinsincossinα＝＝＝2α＝2α＝sinα＝11－cosα1－cossin－sinα－1·sinαcosαcosαcosαtanα＋sinαtanαsinα＝右侧，得证．考向?形如sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式问题例2(1)若tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋4cos2α的值；sinα－2cosα(2)已知＝－5，求tanα的值．3sinα＋5cosα分析：(1)方法一：由3＝sinα2α＋2α＝1，解得31010α＝，α＝±，α＝±，tancosαsincossin10cos109922代入求值，原式＝－＋＝.101055方法二：sin2α－3sinαcosα＋4cos2αsin2α－3sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2αtan2α－3tanα＋4tan2α＋132－3×3＋4232＋1＝5.sinα－2cosα(2)方法一：由＝－5，3sinα＋5cosα23得16sinα＝－23cosα，进而tanα＝－.16sinα－2cosαcosα，得tanα－2＝－5，解出tanα方法二：将＝－5左侧的分子分母同时除以3α＋5α3α＋5sincostan23＝－16.若tanα＝3，求sin2α的值．24cosα－3sinαcosαtan2α99分析：原式＝＝＝－.4－3tanα4－95【注】解决形如sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，往常会波及弦、切互化，整体代入以及“1”的代换的方法.3考向?sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα的关系例3(1)已知sinα＋cosα＝2，求sinα·cosα及sin4α＋cos4α的值；1已知sinα＋cosα＝(0<α<π)，求tanα的值．51分析：(1)由sinα＋cosα＝2，得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，因此sinαcosα＝(2－1)×＝211，由(sin2α＋cos2α)2＝sin4α＋cos4α＋2(sinα·cosα)2＝1，得sin4α＋cos4α＝.22(2)由112πα>0，α<0，且|α|>|cosα＋α＝得αα＝－.又0<α<，则<α<，有2552α|.sinαcosαtanα1243方法一：sinαcosα＝2α＋2α＝2α＋1＝－25，解得tanα＝－3或－4(舍去)．sincostan4971方法二：(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，得sinα－cosα＝.又sinα＋cosα＝，联立解得sin2555434α＝，α＝－，因此α＝－.535已知sinα＋cosα＝2，求sinα－cosα和tanα的值．1分析：将sinα＋cosα＝2两边平方，得1＋2sinαcosα＝2，则sinαcosα＝.2由于(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝0，因此sinα－cosα＝0，tanα＝1.1ππ【备用题】已知sinαcosα＝，α∈，2，求sinα＋cosα，sinα－cosα的值．84ππ分析：由于α∈，，因此sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，425因此sinα＋cosα＝1＋2sinαcosα＝2，3sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝.2【注】关于sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα这三个式子，已知此中一个式子的值可求其他两个式子的值.关于sin4α＋cos4α的变形办理，要指引学生联想1＝(sin2α＋cos2α)2与sin4α＋cos4α的关系．4自测反应3101.若α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα＝____．10sinα分析：由于α为锐角，且tan(π－α)＋3＝－tanα＋3＝0，因此tanα＝＝3.由sin2α＋cos2α＝1cosα10得sinα＝10.2.已知α为第四象限角，化简：1－cosα1＋cosα2＋＝__－__．1＋cosα1－cosαsinα2（1－cosα）分析：由于α为第四象限角，因此sinα<0，原式＝1－cos2α＋1－cosα1＋cosα2＋＝－.－sinα－sinαsinα

2（1＋cosα）1－cos2α＝3.已知sin(3π－α)＝－2sinπ2＋α，则sinα·cosα＝__－__．25(3－α)＝－2πα＝－2α，2α＋2α＝52α＝1，解得分析：由于2＋α，因此sinπsinsincossincoscos5cosα＝±，525522552因此sinα·cosα＝5·－5＝－5或sinα·cosα＝－5·5＝－5.2综上，sinα·cosα＝－.591计算：sin21°＋sin22°＋＋sin290°＝__2__．分析：sin21°＋sin22°＋＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋＋sin244°＋sin245°＋cos244°191＋＋cos22°＋cos21°＋sin290°＝44＋sin245°＋1＝44＋＋1＝.22在三角函数