高考数学 不等式.推理与证明 不等关系与不等式

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式(组)的实际背景；3.掌握不等式的性质及应用。J

基础知识自主学习1．不等关系在数学意义上，不等关系体现在以下几点：(1)常量与常量之间的不等关系。(2)变量与常量之间的不等关系。(3)函数与函数之间的不等关系。(4)一组变量之间的不等关系。2．比较两个实数大小的法则a－b>0a－b＝0b<a

a>c

a<c

ac>bc

ac<bc

a＋c>b＋d

ac>bd>0an>bn(n∈N＋，n>1)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种。(

)解析正确。两个实数a，b之间的大小关系只有三种a>b，a＝b或a<b。(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变。(

)解析错误。同乘以一个负数或0时不等号改变。(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小。(

)√××(4)同向不等式具有可加性和可乘性。(

)(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母。(

)解析正确。当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母。√×[练一练]1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式是(

)A．v<40km/h B．v>40km/hC．v≠40km/h D．v≤40km/h解析若c≤0，则选项A错；若a>0，b<0，则选项B错；若a＝0，b＝－1，则选项C错，选D。答案D4．已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7且a，b∈R，则M，N的大小关系为________。解析M－N＝2a2＋2b2－2a＋4b－2ab＋7＝a2－2a＋1＋b2＋4b＋4＋a2－2ab＋b2＋2＝(a－1)2＋(b＋2)2＋(a－b)2＋2>0。故M>N。

M>N

R热点命题

深度剖析【例1】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润。已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件。若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？考点一用不等式(组)表示不等关系

【规律方法】

对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示。而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决。同时应注意除了把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围。变式训练1某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元的A型汽车和90万元的B型汽车。根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式。【例2】

(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(

)A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定考点二比较大小

【规律方法】

比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论。其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差。(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论。用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论。(3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断。(4)函数的单调性法根据函数的单调性比较大小。(2)(2015·浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同。已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c。在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(

)A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz(3)设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小。不等式的性质及其应用是高考命题的热点，题目难度不大，常以选择题，填空题的形式出现。角度一：利用不等式的性质比较大小1．(2015·贵州贵阳检测)下列命题中，正确的是(

)A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>b考点三不等式的性质及其应用

角度二：与充要条件相结合命题3．(2015·太原诊断)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(

)A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件解析由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件。答案D4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若(a－b)·a2<0，则a≠0，且a<b，所以充分性成立；若a<b，则a－b<0，当a＝0时，(a－b)·a2＝0，所以必要性不成立。故“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件。答案A角度三：求代数式的范围5．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________。[5,10]6．已知－1<a＋b<3且2<a－b<4，则2a＋3b的取值范围为________________。

【规律方法】

不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小。熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件。(2)与充要条件相结合问题。用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用。(3)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围。解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围。S思想方法

感悟提升⊙2种方法——比较大小的方法作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键。⊙3个注意点——应用不等式的性质应注意的问题(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的。如a≤b，b<c⇒a<c。(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)。(3)“a>b>0⇒an>b