2022年内蒙古呼和浩特市中考数学真题（解析版）

2022年呼和浩特市中考试卷数学

注意事项：

1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置.

2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，本试卷和答题卡一

并交回.

3.考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.计算—3—2的结果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可.

【详解】解：-3-2=-3+（-2）=-5.

故选：C.

【点睛】此题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则进行运算是解题的关键.

2.据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元.数据“1100亿”用

科学记数法表示为（）

A.l.lxlO12B.1.1x10"C.11x10'°D.O.llxlO12

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“X13的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，〃是正

整数；当原数的绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：1100亿=110000000000=1.1x10”,

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1W间＜10,〃

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.不透明袋中装有除颜色外完全相同的“个白球、〃个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）

bcia

c.D.

a+baa+bb

【答案】A

【解析】

【分析】根据概率公式直接求解即可.

【详解】•••共有（。+加个球，其中红球匕个

b

，从中任意摸出一球，摸出红球的概率是——

a+b

故选A.

【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键.

4.图中几何体的三视图是（）

【解析】

【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案.

【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为

T日

故选C

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又

没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示.

5.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h）.分别

为：4,5,5,6,10.这组数据的平均数、方差是（）

A.6,4.4B.5,6C.6,4.2D.6,5

【答案】A

【解析】

【分析】分别利用求平均数和方差的公式计算，即可求解.

【详解】解：平均数为1(4+5+5+6+10)=6；

方差为:[(4—6)2+(5-6『+(5-6『+(6-6)2+(10-6)2=44

故选：A

【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键.

6.下列运算正确的是()

A.xA/8=±2B.(m+n)2=m2+n2

121°-2y29x2

C.----------=—D.3xy-J--------=-------

x-1xx3x2y

【答案】D

【解析】

【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各

项结果后，再进行判断即可.

【详解】解：A.&般="=2,故此计算错误，不符合题意；

B.(m+n)2^m2+2mn+n2,故此计算错误，不符合题意;

12x-2

C二1二=一存二'故此计算错误’不符合题意;

_2V之3x9x2

D.+—J—=3孙匕丁为二一三，计算正确，符合题意,

3x2y22y

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关

运算法则是解答本题的关键.

7.如图，AABC中，NACB=90°,将△ABC绕点。顺时针旋转得到使点5的对应点。恰好

落在A8边上，AC,ED交于点F.若NBCD=a,则NEFC的度数是(用含a的代数式表示)

()

A

1I33

A.90。+—aB.90°——aC.180°--«D.-a

2222

【答案】C

【解析】

【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC,NACE=a,NA=NE,则利用三角形内角和可求得

NB,进而可求得NE,则可求得答案.

【详解】解：将AABC绕点。顺时针旋转得到AEDC,且NBCD=a

：.BC=DC,ZACE=a,ZA=ZE,

：.NB=/BDC,

：.ZB=ZBDC=I“。=90°--,

22

aa

：.NA=NE=90°-ZZ?=90°-90°+-=-,

22

Z.A.—NE——,

2

a3

ZEFC=180o-ZAC£-ZE=180°-«--=180°--«,

22

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质.

8.己知为，々是方程/—x—2022=0的两个实数根，则代数式d―2022芯+芯的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】解：解：•••当,4是方程V—x—2022=0的两个实数根,

X：-2022=X],--2022,xt+x2=i

2

x：-2()22x,+考=Xj(玉？-2022)+%2=x；+=(%+x,—2xtx.,=1—2x(—2022)=4045

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数

的关系是解题的关键.

9.如图，四边形A8C0是菱形，ND4B=60°,点E是D4中点，尸是对角线AC上一点，且

ZDEF=45°,则Ab:R7的值是（）

A.3B.V5+1C.272+1D.2+百

【答案】D

【解析】

【分析】取AC的中点用，连接设CO=2x,由中位线性质可得

2

根据ND钻=60。，/£＞跖=45°可得出=，从而得到尸C的长，即可得到AE:FC的结果.

【详解】解：如图所示：取AC的中点连接EM,DM,设CO=2x,

•••点E是中点，

是八4。。的中位线,

:.EM//CD,EM-CD,

2

/.EM=x,

•••NDAB=60°,四边形ABC。是菱形，

ZDAC=ZDCA=ZEMA=30°,ZAMZ)=90°,

•;/DEF=45°

NEFM=45°-30°=l5°,/FEM=30°—15°=15°,

ZEFM=ZFEM=15°,

/.FM-EM=x,

CD=DA=2x,ACAD=ZACD=30°,

：.DM=-AD=x,

2

・•・AM二y/AD2-AM2=y/3x

AC=2>/3x,

AM=V3x,

/.FC-2y/3x-y/3x-x=y/3x-x,

.AF_V|r+：r_V3+l_

•,FC-V3x-^V3-r'

故选：D.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键.

10.以下命题：①面包店某种面包售价。元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%,会员优惠从打八五折

调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14。元；②等边三角形ABC中，。是BC边上一

点，E是AC边上一点，若A£>=AE，则N84D=3NEDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个

三角形全等；④一列自然数0,1,2,3,55,依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新

数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大.其中真命题的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】①列代数式求解；②利用三角形内角和及外角关系定理求解；③利用三角形全等进行判断；④利

用作差比较代数式的大小，并化成二次函数判断其增减性即可.

【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85。元，现在需要ax(l+10%)x0.9=0.99m则会员购买一

个面包比涨价前多花了0.99a-0.85a=0.14。元，故①项正确；

②项，如图，

A

/\E

BDC

z^ABC是等边三角形，

/.ZB=ZC=60°,

•：NB+/BAD=/ADE+NEDC,/C+NEDC=/AED,

又・・・A。二AE

J/ADE=/AED,

：./B+/BAD=/ADE+/EDC=NC+/EDC+/EDC,

：・/BAD=NEDC+NEDC=2/EDC,故②项错误；

③项，如图，△ABC和△DEF,AB=DEfAC=DFfAM是△ABC的8C边上的中线，DN是ADEF的边EF

上的中线，AM=DN,即有△ABC也△£>£1/,理由如下：

延长4M至G点，使得AM=GM,连接GC,延长OV至”点，使得DN=NH,连接

・.,AM是中线，

:・BM=MC,

TAM二MG,ZAMB=ZGMCf

：.丛AMBQ丛GMC,

：.AB=GCt

同理可证DE=HF,

•：AM=DN,

：.AG=2AM=2DN=DH,

■:AB二DE,

:・GC=HF,

・•・结合AC=DF可得△ACGg△。尸”，

:・/GAC=/HDF,

同理可证NGA8=N”。区

・・・/BAC=/GAB+/GAC=/HDF+/HDE=/EDF,

•；AB=DE,AC=DF9

：.AABC^ADEF,故③正确；

④设原数为X,则新数为+V,设原数与新数之差为y,

即y=x———x2,变形为：y=———(x-50)2+25,

■100100

将x等于0、1、2、3.....55分别代入可知，y随着x的先变大，然后再变小，

故④错误；

即正确的有两个，

故选：B,

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三

角形的判定与性质是解答本题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答

过程)

11.因式分解％3—9x=.

【答案】x(x+3)G-3)

【解析】

【分析】先提取公因式x,再利用平方差公式进行分解.

【详解】解：V—9x,

=x(N—9),

-x(x+3)(x—3).

【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式

要彻底.

k

12.点(2。-1,乂)、(。,必)在反比例函数y=、(Z＞0)的图象上，若0＜乂＜%，则。的取值范围是

【答案】a>\

【解析】

【分析】反比例函数中A>0,则同一象限内y随x的增大而减小，由于0<x<%，得到0<2a-l<a,

从而得到。的取值范围.

【详解】解：•••在反比例函数产人中，k>0,

x

在同一象限内y随x的增大而减小，

♦.•0<y<必，

，这两个点在同一象限,

.,.0<a<2a-l,

解得：a>\,

故答案为：a>\.

【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当%>0,在每一象限内

y随x的增大而减小；当/<0,在每一象限内y随x的增大而增大.

13.如图，从一个边长是。的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含力的代数式

表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为.

【解析】

【分析】先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面

半径『，则可得出答案.

【详解】解：•五边形A8CDE为正五边形，

ZBCD=108°,

，=此2犷”371cl这个扇形的面积为：12§^万乂/=物《

*D360536010

设圆锥的底面圆半径为，，则直径为：2厂，贝上亨=2万厂,

解得r=网,

10

3万/3a

故答案为:,

10T

【点睛】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等

量关系是解决本题的关键.

14.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售

出，超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他购买了千克糯米；设某人的付款

金额为x元，购买量为>千克，则购买量>关于付款金额x(x>10)的函数解析式为

【答案】①3②.y=4x+2##y=2+4x

【解析】

【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解.

【详解】解：•.•14>1(),

超过2千克，

设购买了“千克，则2x5+(a—2)x0.8x5=14,

解得«=3,

设某人的付款金额为X元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额宜%>10)的函数解析式为：

y=2x5+(x-2)x5x0.8=10+4x-8=4x+2,

故答案为：3,y—4x+2.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关

键.

15.已知AB为。。的直径且4?=2，点。是。O上一点(不与A、B重合)，点£)在半径。8上，且

AD=AC，AE与过点。的。。的切线垂直，垂足为E.若ZE4C=36°,则8=,OD=

【答案】①.1②.避二1■

2

【解析】

【分析】根据题意作出图形，连接CO,根据切线的性质，等边对等角，平行线的性质可得

ZC4D=36°,根据A£)=AC，可得/80=/。。0=72°,可得0。=。。=1,进而证明

△ACD^COD,根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解.

【详解】如图，连接CO,

•.•EC是。。的切线，AE1EC,/E4c=36°,

:.OC±EC,

AE//OC,

ZACO=ZEAC=36°,

-.-OA=OC,

ZOAC^ZOCA^36°,

ZCOD=2NCAO=72°,

\-AC=AD,

ZADC=ZACD=72°f

・•.ZADC=ZCOD=72°,

.-.CD=CO=-AB=\,

2

4cOD=ZCDO=72°

ZOCD=180°-2x72°=36°

-,-ZCAD=ZOCD=36°,ZADC=ZCDO=72°,

；.AACD^ACOD

ACCD

"co~oB

设=则AC=AZ＞=l+x

1+x1

,——

1X

解得X=在二1,X=苔二1（舍去）

22

即。0=苴」

2

故答案为：1,1二1.

2

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知

识结合图形求解是解题的关键.

16.在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为（-1,-1）和（4,一1）,抛物线），=加f-2nu+2（加H0）

与线段CD只有一个公共点，则机的取值范围是.

3

【答案】加=3或一--

8

【解析】

【分析】根据抛物线求出对称轴X=l，y轴的交点坐标为（0,2）,顶点坐标为（1,2-加），直线co的表达

式y=-i,分两种情况讨论：当机＞0时，当初＜0时，利用抛物线的性质可知，当时越大，则抛物线的

开口越小，即可求解.

—2m.

【详解】解：抛物线的对称轴为：%=------=1,当x=0时，y=2,故抛物线与y轴的交点坐标为

2m

（0,2）,顶点坐标为（1,2-m），直线CO的表达式＞=一1,

当机＞0时，且抛物线过点。（4,一1）时，

3

16加一8帆+2=—1,解得m=-g（舍去），

8

当相>0,抛物线y=twc2-2/m-+2(mH0)与线段CD只有一个公共点时,

即顶点在直线C。上，则2=一1,解得机=3,

当“<0时，且抛物线过点。(4,—1)时,

3

16m—8m+2=—1,解得巾=-g,

8

当抛物线过点(一1,一1)时，

m+2m+2=-l

解得，m=-i

由抛物线的性质可知，当时越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段C。只有一个公共点，

3

-1<"1W—，

8

3

综上所述，团的取值范围为加=3或一1<根〈一耳，

3

故答案为机=3或-1〈根W—.

8

【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论

思想解决问题是解题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算求解：

（1）计算2sin45°—|2—0|+

4x+y=5

(2)解方程组〈x-1y八

----+-=2

[23

【答案】(1)272-5

【解析】

【分析】(1)先去绝对值，算负整数指数累，将特殊角三角函数值代入，再计算即可;

(2)直接解二元一次方程组即可.

【小问1详解】

原式=2x1+五—2—3

2

=2A/5-5；

【小问2详解】

4x+y=5①

整理方程组得：V.二

[3x+2y=15②

由①得：y=5-4x③，

将③代入②得：-5x=5,

解得：x=-l,

将x=-l代入③得：y=9,

'x=-\

则方程组得解为：c.

y=9

【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则.

18.“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩

特市旅游的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像A6的高度，某数学兴趣小组在。处用测角仪测得雕像

顶部A的仰角为30。，测得底部B的俯角为10。.已知测角仪C£）与水平地面垂直且高度为1米，求雕像

A3的高.（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

A

_____□____________'______

DB

（A

【答案】1+丁方米

（3tan10°J

【解析】

【分析】过点C作CE_LAB于E，则四边形CDBE是矩形,则8=3£=1,在RLACE与Rt^EBC

中，分别表示出根据A6=AE+£6即可求解.

【详解】如图，过点C作CELAB于E，则四边形CDBE是矩形,

A

Rt^ACE中，tanZACE==tan30°=—

CE3

AE=—CE>

3

EB

Rt£,EBC中，tanZECB=----=tan10°,

EC

•;EB=CD=1

EB1

EC=

tan10°tan10°

AB=AE+EB=———+1（米）

3tan10°

（百、

答：雕像AB的高为1+：;——米

（3tanl0°J

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

19.某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当

的奖励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万

元），数据如下：17181613241527261819221716193230161516281532

2317141527271619,对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下：

频数分布表:

组

六

一二三四五七

别

销

13<x<1616<x<1919<x<2222<x<2525<x<2828<x<3131<x<34

售

额

/

万

元

频

61033ah2

数

数据分析表:

平均数众数中位数

20.3Cd

请根据以上信息解答下列问题：

(1)上表中。=,b=，c=,d=；

(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；

(3)若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员

在同一组内的概率.

【答案】(1)4,2,16,18

(2)18万元，理由见解析

(3)1

3

【解析】

【分析】(1)根据已知数据找出在25Wx<28,28Wx<31的频数即可求解，根据众数与中位数的定义

即可求得C,"的值；

(2)根据中位数的意义求解.

(3)根据列表法求概率求解.

【小问1详解】

解：将30个数据，从小到大排列如下，

13,14,15,15,15,15,16,16,16,16,16,17,17,17,18,18,19,19,19,22,23,24,26,

27,27,27,28,30,32,32,

在25Vx<28的数据为26,27,27,27,4个，故a=4,

在28Wx<31的数据为28,30,共2个，故。=2,

其中16出现了5次，次数最多，故c=16,

第15和第16个数据为18,故d=18,

故答案为：4,2,16,18.

【小问2详解】

18万元

理由：根据中位数为18万元，想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为18万元合

适，

【小问3详解】

设第六组两名营业员为AB和第七组的两名营业员C,。，列表如下，

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12种等可能结果，两名营业员在同一组内的情形有4种可能，

41

故两名营业员在同一组内的概率为一=—.

123

【点睛】本题考查了频数分布表，中位数，众数，列表法求概率，掌握数据统计的方法以及求概率的方法

是解题的关键.

20.如图，在AABC中，AB=AC,以45为直径的。。交8C于点O,交线段C4的延长线于点E,

连接BE.

(1)求证：BD=CD：

(2)若tanC=1，BD=4,求AE.

2

【答案】（1）证明见详解

⑵华

【解析】

【分析】(1)连接AD,由AB为直径可得AOLBC,再根据等腰三角形的三线合一性质即可证明结论.

(2)由⑴可得C£>=4,BC=8,根据tanC=!即可求得45=2,进而利用勾股定理即可求得AC,由

2

AB为。。的直径，得NBEC=/AOC=90。，NC为公共角，可得八位心〜,根据三角形相似的

性质即可求得CE,进而可求解.

【小问1详解】

证明：连接AD,如图所示：

■:AB为00直径，

J.ADLBC,

又：AB=AC,

三角形ABC为等腰三角形，

.•.AO为8c的垂直平分线，

：.BD=CD.

【小问2详解】

由（1）可得BD=CD=4,

ADADI

r.tanC=-----=-----=—,BC=2BD=8,

CD42

AD=2,

在Rt/\ACD中，

AC=>JAD2+CD2=V22+42=2A/5，

又：AB为。。的直径，

ZBEC=ZADC=90°,且/C=/C,

/.AADC-ABEC.

..•/=乌，即毡=_±,

BCCE8CE

・5=必

5

A£=CE-AC=^^-275=—.

55

【点睛】本题考查了三角形与圆的综合问题，考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、相似三角形

的判定及性质、锐角三角函数及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及三角形相似对应

边成比例的性质是解题的关键.

m

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数必="+匕的图象与反比例函数丫2=—的图象交于A、8两

X

点，且A点的横坐标为1,过点8作BE〃x轴，A£>_L3£;于点。，点是直线BE上一点，且

（2）根据图象，请直接写出不等式依+。-一<0的解集.

x

132

【答案】（1）=~x+~%=一

22x

（2）x<T或0<x<l

【解析】

【分析】（1）根据点C的坐标及点A点的横坐标，可求得8的长和点8的纵坐标，进而可求得AC的

长，利用勾股定理即可求得AQ,进而点A的坐标，进而可求得反比例函数的解析式，进而可求得点8的

坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式.

(2)变形不等式为人+8〈一，即y<%,根据数形结合，找出反比例函数图象在一次函数图象上方的

X

部分即可求解.

【小问1详解】

解：且A点的横坐标为1,

751

：.CD=xc-xA,且为=_］，

：.AC=42CD=­，

2

在心△ADC中，

,AD=VAC2-CD2=-(|y=-|’

51c

­.y------2,

A22

m

.・•点A的坐标为(1,2),且点A在反比例函数%=一的图象上，

x

>77

.'.2=—,解得机=2,

2

二•反比例函数的解析式为：必=一，

x

112

当丁=—时，—=—,解得x=-4,

22x

.•.点8的坐标为(-4,一；),

将A(l,2)和8(-4,-J代入一次函数％="+b得，

,f1

2=左+。k=-

2

\1，，，，解得《Q，

一一=-4%+。,3

7b=一

1I2

13

...一次函数的解析式为：^=-%+-.

22

【小问2详解】

由题意得，

H7

kx+b<0,即kx+b<—,即X<必，

XX

只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可,

由图可得当x<T或0cx<1时，,<乂，

，不等式的解集为：x<T或0<x<l.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式及根据图象及性

质解决问题、求不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，巧妙借助数形结合思想解决问题是

解题的关键.

22.今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购

时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降

了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍.

(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？

(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每

天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400

元.由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不

少于加工成淀粉的土豆数量的：，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？

【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元

(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元

【解析】

【分析】(1)设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为(x+200)元，第二次采购的

平均价格为(x-200)元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；

(2)先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工

成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的三，据此列不等式组求解，然后求出最大利润.

【小问1详解】

设去年每吨土豆平均价格是x元，

300000500000

由题意得,X2=

x+200x-200

解得：x=2200，

经检验：x=2200是原分式方程的解，且符合题意，

答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；

【小问2详解】

由（1）得，今年的土豆数为：300000x3=375（吨）,

2400

设应将加吨土豆加工成薯片，则应将（375—机）吨加工成淀粉,

由题意得,

m375-m

—I---------------<60

158

解得：150WmW175,

总利润：7()0m+4(X)(375-m)=300m+15()(XX),

当机=175时，利润最大，最大利润：300x175+1500（X）=2（）2500（元）.

答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元.

【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出

合适的等量关系，列方程求解.

23.下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形A8CD是正方形，点E是边BC的中点,

ZAEF=90°,且所交正方形外角的平分线CF于点尸.求证4£=斯.（提示：取AB的中点G,连

（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件:

（2）如图1,若点E是边上任意一点（不与8、C重合），其他条件不变.求证：AE=EF；

图1

（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EPJ_/1C，垂足为P.设——=k,当人为何值时，四边

BC

形ECEP是平行四边形，并给予证明.

【答案】⑴AG=CE

（2）过程见解析（3）工，证明过程见解析

3

【解析】

【分析】对于（1）,根据点E是8c的中点，可得答案；

对于（2）,取AG=EC,连接EG,说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△G4E丝△CEF,可得答案；

对于（3）,设BC=x,则BE=履，则"=亚kx，EC=Q-k）x,再利用等腰直角三角形的性质表示

EP的长，利用平行四边形的判定得只要£P=FC,即可解决问题.

【小问1详解】

解：是8c的中点，

；.BE=CE.

,•,点G是AB的中点，

：.BG=AG,

：.AG^CE.

故答案为：AG=CE；

【小问2详解】

•••四边形ABCO是正方形，

：.AB=BC,ZB=90°.

•；AG=CE,

:.BG=BE,

.•.△8GE是等腰直角三角形,

；.NBGE=NBEG=45°,

；.NAGE=135°.

•••四边形ABC。是正方形,

/.ZBCD=90°.

VCF是正方形ABCD外角的平分线,

AZDCF=45°,

・・・NEC/=90°+45°=135°.

9：AE_LEF,

:・NAEB+NFEC=90°.

VZBAE+ZAEB=90°，

."BAE=NCEF,

：./\GAE^/\CEFt

：.AE=EF；

【小问3详解】

当&=’时，四边形PECF是平行四边形.

3

如图.

由（2）得，XGAE二XCEF,

：.CF=EG.

设8C=x,则BE=H,

・・GE=\[ikx,EC=(1—k)x.

•••△PEC是等腰直角三角形,

AZPEC=45°,

.-.ZPEC+Z£CF=180°,PE=也(\一k)x.

2

：.PE//CF,

当PE二（7时，四边形PE6是平行四边形,

•*-(1-k)x=\(2kx，

2

解得后=L

3

【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四

边形的判定等知识.

24.如图，抛物线y=+灰+。经过点8(4,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为A,连接AC、

BC.

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)如图1,若点£>是线段AC的中点，连接30,在>轴上是否存在点E，使得ABDE是以3。为斜

边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ〃y轴，分别交BC、x轴于点用、

N,当△PMC中有某个角的度数等于NO3C度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标.

103

【答案】(1)y——xH—x+2；A(-1,0)；

22

(2)存在E(0,2)或(0,-1),使得△80E是以8。为斜边的直角三角形;

3

(3)2或一

2

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法解答，即可求解；

(2)先根据中点坐标公式可得点。(一：/

设点E(0,机)，再根据两点坐标公式可得

(1\25/1।85

DE2=——0+(l-/n)2=m2-2/7?+-.BD2=4+-+12=—.B£2=w2+16«