2021届数学第三章第6讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学一轮知能训练：第三章第6讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象含解析第6讲函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象1．如图X3。6。1是函数y＝Asin(ωx＋φ）（A〉0，ω〉0）的图象的一段，它的解析式是()图X3。6.1A．y＝eq\f（2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))B．y＝eq\f（2,3）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x,2)＋\f(π,3)））C．y＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（π，3)）)D．y＝eq\f（2,3)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(2π，3)))2．（2018年江西南昌摸底）函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，6)）)的图象可以由函数y＝cos2x的图象经过(）A．向右平移eq\f(π,6）个单位长度得到B．向右平移eq\f（π,3）个单位长度得到C．向左平移eq\f（π，6)个单位长度得到D．向左平移eq\f(π，3)个单位长度得到3．函数f(x）＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（其中A>0,\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（φ))<\f（π,2)）)的图象如图X3。6。2，为了得到g(x）＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,2)）)的图象，只需将f(x）的图象()图X3­6­2A．向左平移eq\f（π，3)个单位长度B．向右平移eq\f（π，3)个单位长度C．向左平移eq\f（π,6）个单位长度D．向右平移eq\f（π，6）个单位长度4．已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论:①函数f(x）的最小正周期是2π;②函数f(x）在区间eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π,8），\f(5π,8))）上是减函数;③函数f（x)的图象关于直线x＝eq\f（π,8)对称;④函数f（x)的图象可由函数y＝eq\r（2）sin2x的图象向左平移eq\f（π，4）个单位长度得到．其中正确结论的个数是(）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知函数f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,6）))，其中x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(π，6），a)）.当a＝eq\f(π，3）时，f（x)的值域是__________；若f（x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2），1）），则a的取值范围是__________．6．(2015年湖南)已知ω＞0,在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2eq\r（3），则ω＝________。7．(2019年北京海淀模拟)去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋bsineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,6）x＋\f(π，6)））（a,b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃。8．（2019年天津)已知函数f(x)＝Asin（ωx＋φ)(A〉0，ω>0,｜φ|<π）是奇函数,将y＝f（x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g(x）的最小正周期为2π，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，4)))＝eq\r(2)，则feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π，8)）)＝(）A．－2B．－eq\r（2）C.eq\r（2）D．29．（多选)已知函数f（x）＝cos2xcosφ－sin2xsinφeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0＜φ＜\f（π,2))）的图象的一个对称中心为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)，0）），则下列说法正确的是(）A．直线x＝eq\f(5,12)π是函数f（x）的图象的一条对称轴B．函数f（x）在eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π，6）)）上单调递减C．函数f(x）的图象向右平移eq\f(π，6）个单位可得到y＝cos2x的图象D．函数f(x）在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2)))上的最小值为－110．（多选)已知函数f(x）＝Asin（ωx＋φ）(其中A>0，ω>0，0〈|φ|<π的部分图象如图X3­6。3所示，则下列结论正确的是(）图X3­6­3A．函数f（x）的图象关于直线x＝eq\f（π，2）对称B．函数f（x)的图象关于点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π，12），0)）对称C．函数f（x）在区间eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π，3)，\f(π，6)）)上单调递增D．函数y＝1与y＝f（x)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π,12）≤x≤\f(23π,12）))的图象的所有交点的横坐标之和为eq\f(8π，3）11．已知某海滨浴场海浪的高度y（m)是时间t（0≤t≤24，单位:h）的函数，记作：y＝f(t），下表是某日各时的浪高数据：t/h03691215182124y/m1。51。00。51.01。51。00。50。991。5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1）根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2）依据规定，当海浪高度高于1。25m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1）的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．12．（2017年山东)设函数f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx－\f（π，6））)＋sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（ωx－\f(π，2)）），其中0〈ω〈3,已知feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,6)）)＝0。（1）求ω；(2)将函数y＝f(x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq\f(π,4）个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（π,4），\f（3π，4))）上的最小值．第6讲函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象1．D解析:由图可知A＝eq\f(2,3），T＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,12）＋\f（7π，12））)＝π，∴ω＝eq\f(2π，T）＝2，又2×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π，12)）)＋φ＝eq\f(π，2)＋2kπ(k∈Z），∴φ＝eq\f(2π，3）＋2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝eq\f（2π,3）,∴所求函数的解析式为y＝eq\f（2，3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(2π，3)）),故选D.2．A解析：y＝cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，2)））＝sineq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，6))）＋\f(π，6）))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，6）)），即需把y＝cos2x图象右移eq\f（π，6)个单位长度即得y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，6）)）的图象，故选A.3．D解析：由图象D139知A＝1，eq\f(T,4）＝eq\f（7π,12)－eq\f（π,3）⇒T＝π，eq\f（2π，ω）＝π⇒ω＝2,feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7π，12)）)＝－1⇒2·eq\f（7π，12)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ（k∈Z），|φ｜<eq\f(π,2），得φ＝eq\f（π,3)，∴f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3)）)，为了得到g（x）＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)））＝sin2x的图象，∴只需将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度即可，故选D.图D1394．B解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,4）)）.①∵ω＝2，则f（x)的最小正周期T＝π，结论错误．②当x∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（π，8），\f（5π，8))）时，2x＋eq\f（π，4)∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，\f（3π,2)）)，则f（x）在区间eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π,8），\f(5π，8）)）上是减函数，结论正确．③∵feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，8）)）＝eq\r(2)为f(x）的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝eq\f（π,8）对称,结论正确．④设g(x)＝eq\r（2)sin2x,则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4）））＝eq\r（2)sin2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4）)）＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,2)）)＝eq\r（2)cos2x≠f(x),结论错误，故选B.5.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，1)）eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（π,6），\f（π，2)））解析：当a＝eq\f（π,3）时,x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π，6)，\f（π，3))），2x＋eq\f(π,6）∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(π,6），\f(5π,6)）），f（x）的值域是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），1)）；若f(x）的值域是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，1))，则eq\f（π，2）≤2a＋eq\f（π,6)≤eq\f(7π，6），解得eq\f(π,6）≤a≤eq\f（π,2)。6.eq\f（π,2)解析：根据三角函数图象与性质可得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，ω）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（k1π＋\f（π，4)））,\r（2)）)，eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,ω）\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（k2π＋\f(5π,4））)，－\r(2)）)，k1，k2∈Z＋，距离最短的两个交点一定在同一个周期内，∴eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2\r(3））)2＝eq\f(1,ω2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5π，4）－\f(π,4)）)2＋(－eq\r（2）－eq\r(2))2，∴ω＝eq\f（π,2)。7．31解析:将（6，22），（12，4)代入函数,解得a＝13，b＝－18，∴y＝13－18sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，6）x＋\f（π，6))）。当x＝8时,y＝13－18sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,6）×8＋\f(π,6)）)＝31.8．C解析：根据题意，将y＝f(x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)之后的图象为g(x）＝Asineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（ωx,2）＋φ）)。∵f（x)是奇函数,∴g（x)也为奇函数,又∵g(x)的最小正周期为2π,由三角函数周期公式可得2π＝eq\f（2π,\f（ω，2）），解得ω＝2，∴g(x）＝Asin(x＋φ),f（x）＝Asin（2x＋φ），∴feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3π,8）））＝Asineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π，4)＋φ)).由三角恒等变换公式可得，Asineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,4）＋φ)）＝A·sineq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（π－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,4）＋φ)）))，即Asineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π，4）＋φ))＝Asineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,4)－φ))，∴feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3π，8)））＝Asineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4)－φ)）。又geq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4））)＝eq\r（2),∵g（x）为奇函数，∴－geq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))）＝geq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）)),即－Asineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ)）＝eq\r（2），即Asineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－φ))＝eq\r(2)，即所求feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3π，8)））＝eq\r（2)。故选C.9．ABD10．BCD解析:由函数f（x)＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω〉0,0<｜φ|〈π）的图象可得:A＝2，eq\f（T,4)＝eq\f(2π，3)－eq\f(5π,12）＝eq\f（π，4）,∴T＝π，∴ω＝eq\f(2π，π)＝2.又∵f（x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π，3），－2）)，∴eq\f(4π，3)＋φ＝eq\f(3π，2)＋2kπ(k∈Z）又∵0〈|φ|<π，∴φ＝eq\f（π,6），∴f(x）＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,6）)）。当x＝eq\f(π,2)时，feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）））＝－1，A错误；当x＝－eq\f(π，12)时，feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝0，B正确；当x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,3)，\f（π,6））)时，2x＋eq\f（π，6）∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f（π,2)))，所以f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3),\f(π,6))）上单调递增，C正确;当－eq\f（π,12)≤x≤eq\f(23π，12）时,2x＋eq\f(π,6)∈[0,4π]，所以直线y＝1与函数y＝f（x）的图象有4个交点,设交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝eq\f(π，6）×2＋eq\f（7π,6）×2＝eq\f（8π，3）,D正确．故选BCD.11．解：（1)由题意知T＝12，∴ω＝eq\f(2π，T)＝eq\f（2π，12）＝eq\f（π，6).由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1。5;由t＝3，y＝1.0得b＝1。0,∴A＝0。5，b＝1，即y＝eq\f（1,2）coseq\f（π,6）t＋1，t∈［0，24］．(2)由题意知，当y>1。25时才可对冲浪者开放，∴eq\f（1，2）coseq\f(π,6）t＋1〉1.25，coseq\f（π,6）t〉eq\f(1，2).∴2kπ－eq\f（π,3)〈eq\f（π,6)t<2kπ＋eq\f(π，3)，k∈Z，即12k－2〈t〈12k＋2，k∈Z。①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1,2，得0≤t<2或10〈t<14或22〈t≤24.∴有8个小时的时间可供冲浪运动．12．解:(1）∵f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\）