2022年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题（含答案）

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题

一、单项选择题

当z>0时候，a(z),b(工)是m图无穷小量，给出以下四个命题，

①若a(z)〜b(x),则a'a:)〜62(X)

②若a2(x)~户(工),则a(x)~b(x)

③若a(x)~6(®),则a(x)6(z)~o(a(x))

@若a(x)b(x)~o(a(x)),则a(x)~6(x)|

其中所有真命题的序号是，

1.

A.①②J

B.①④

C.①③④

D.②③④

解析：③④是定义正确，②举一个反例a(x)=x,b(x)=-x,②错误，①由

于当x趋向于0时候，a(x)/b(x)=1,分子分母同时平方，还是等于1,所

以①正确。

巳知q=板一人~^-(〃=1,2,…).则｛可｝().

A.有最大值，有最小值

B,有最大值，没有最小值V

C.没有最大值，有最小值

D,没有最大值，没有最小值

解析：

limOn1,由收受定义可知，存在任堂正数6,存在N>0,当n>N时，101|<e,

00n

则牧列申…aN,0+1,-0-1中一定存在最大值和最大他。

设函数连续.令尸(x,y)=J°'(x-y-r)/“汕，则().

3.

江二dFd}Fd:F

菽二百二1

A.亦，dy

22

—dF=dFdFdF

B.ardy,

dFdFdzFd2F

dx勿,有=守'

C.V

dFdFd2Fd}F

i:

dx~dsr

D.dy

/(3)=『‘(》-尸"3市=3-「).//(r)dz-(,''r/(r)dr,

故

K—F=-J«X,-T/(r)dz-(x-T)/(x->)+(x-i)/(x-j')=-，£X-J'/(r)dr,

a*篦k

“W进而==/(xr)，&/(x-y),故送c.

解析：杖

L=['------------dx./,=，屈丁E%./.=[2xdx，则

•°2(1+COSJO*•"+cosx-°l+sinx

4.

A.Il<12<13J

B.13<ll<12

C.12<ll<13

D.Il<13<12

解析:

因为Zb/2都有(1+COSX),所以比较与ln(x+1)的大小，

另F(x)=ln(x+1)-求生.医为0V工Vl,斫以T(工)>0,Kln(x+1)>,h<I2,

已知工〉Zn(l+z),比较1+cos与=；+1的大小，用同样的做法.

sinx41

取F(x)=cos+1--------4,0<x<1时候，F'(X)>0,

所以cos+l>向；+1,因为分子大，分母小，且为正，所以4>h

r\00、

设4为二阶矩阵.人=0-10，则.4的特征值为1,7,0的充分必要条件是(

\00

存存可逆矩阵P.Q,使得/PAQ

A.

D存在可逆矩阵尸.使将彳=P/P'/

D.V

「存在正交矩对。，使仔4=。"。"

存件可逆即阵。.使用彳PAP'

U.

解析：A选项成立，则两个矩阵的秩相等，不能推出特征值相同，C选项是充分

而非必要条件。C成立，可推出A的特征值为1,-1,0,但是A的特征值为

1,-1,0时候，Q不一定为正交。D是合同的关系，两者特征值正负个数相

同，不能保证特征值相等，B正确。

6.

门1】)(】］

设矩阵.4=1aa2，b=2J则线性方程组.收=6解的情况为().

A.无解

B.有解

C.有无穷多解或无解

D.有唯一解或无解V

解析：令a=b=l,带入r(A)(A|b),无解，令a#b#l,则r(A)#r

(Ab)=3,唯一解，D正确。

7.

设q./与q,4,q等价，则

Ae()

A.{x：XeR)

B.{xXER,入#-1}

C.{X:XGR,XW-l,XW-2}V

D.{XXGR,XW-2}

解析：本题可以将al,a2,a3,a4列出来化简，找出对应关系，也可以将

A.=-l带入，r(al,a2,a3)=3,r(al,a2,a4)=2,不等价，所以入W-

1,将入=-2带入，r(al,a2,a3)=2,r(al,a2,a4)=3,不等价，所以

X#-2。C正确。

8.

设随机变量¥-~(0,4),随机变量丫〜,I1X与丫不相关,则

D(X-3Y+1)=()

A.2

B.4

C.6

D.10V

解析：

已知。(I)=4,D(y)=3-4•4=4,则O(X-3y+l)=D(X-3Y),

<5oo

因为X、Y不相关，故D(X3V+1)=D(X3K)=D(X)+9D(F)=10

9.

设随机变量序列乂,丫2,…,天,…独立同分布，H.X的概率密度为

l-|x|,|x|<l,I«,

,/«=n=一则当〃TOO时，依概率收敛于().

0,其匕nh

A.1/8

B.1/6V

C.1/3

D.1/2

解析：

由大数定律得

由大数定”，上X；依梭率妁与=/x2（l同）dz=2（/（I工）公=

10.

设二维随机变量（X,丫）的概率分布为

012

^

—10.10.1b

1a0.10.1

若事件{max(X,Y)=2}与事件{min(X,Y)=1}相互独立，则Cov(X,Y)=

()

A.-0.6

B.-0.36J

C.0

D.0.48

解析：P{max{X,Y}=2}=P{Y=2}=0.1+b,P{min{X,Y}=1}=P{(X=l,Y=l)U

(X=l,Y=2)}=0.2,由独立性P{min{X,Y}=1,max{X,Y}=2}=P{X=1,

Y=2}=0.1=0.2(0.1+b),所以b=0.4,a=0.2Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E

(Y)=-0.36

二、填空题

.(I+e

极限lim---

川2

ii./

填空项i：(正确答案：无)

期】+学产=¥中曰=>

解析：

2

2-——dx=

0x2+2x+4

12.

填空项i：(正确答案：无)

解析：

222

----------------——dx=——arctan

+21+4(x4-1)2+(\/3)26

已知函数/(x)=网X+«-而X,则/，(2])=

13.

填空项1:(正确答案：无)

解析：函数的性质，偶函数求导，变成奇函数，奇函数求导变成偶函数，且求

导不改变周期性，因为f(x)为偶函数，周期为2e，所以f(x)三次倒数为

奇函数，周期也是2"。f"'(0)=0

14.

窄广则匚肛>)〃一加

已知函数/(X)=

0,

填空项1:(正确答案：无)

解析：

D={(x,y)|OWxS1,0<y-xil}={(.r,>*)|0$xSl,xWySx+1},

1:

J公Jf{x}f(y-x)dy-JJer'>e-'<Zrc/y=J(JAJe'</v=e—2e+1.

15.设A为3阶矩阵，交换A的第二行和第三行，再将第二列的T倍加到第一

1-1、

-10

列，得到矩阵、T00,

■则A-1的迹tr(A-1)=

填空项1：(正确答案：无)

解析：

/I00\/I00\/0-10\

I001Ml-110)=B,利用倾4]=100-11,

\010/\001/\-11-1/

tr(41)=对角线上的数之和=_]

16.

设48,。满足48互不相容，4c互不相容,仅°相互独立,

P(A)=P(B)=P©=L

3,则P[(8UC)|(4U8UC)]=

填空项1：（正确答案：无）

解析：由题知P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=P(B)P(C)=1/9,所求概率

由条件概率公式得

印BUGMUBUC))

PUUBUG

P(0U2?UC)P{B\JO

-PUU-UC)-N.4UBU。

=___________/W+HG_HgC)__________

一久冷+式8)+HG-P(AB)一汽8。-巴AC)+n.4BC

P(B)+P(C)-P(BO

~P(A)+P(B)^/XC)-P(BC)

汽冷=汽月)=汽。=!式BC)=P(B)P©J

将3,9代人得

^1+―11

印BUGI(TUBUQ]=339=

1-i8

9一

三、问答题

17.

设函数y=y(x)是微分方程y+=24-y/x的满足

y(l)=3的解，求曲线y=y(x)的渐近线。

正确答案：(无)

解析：

由题可得，/=-东y+2+\[x,根据y=e~^p(x)dx(fQ(x)e^p(x)dxdx+C)可得,

y=e"-#"(J(2+Vx)e^-2V«dxdx+C)=2x+Ce~^,将y(l)=3代入可得

C=e,则y=2x—e-a,

水平渐近线：lim(2“一。1-近)=+8,故曲线没有渐近线

垂直渐近线：显然可知，曲线没有渐近线

斜渐近线：Hm"一：1=2,lim2x—〃-依―次=0,故曲线斜渐近线为y=

S+8XT+8

2X

18.

Ii

设某产品的产量。由资本投入量x和劳动投入员y决定，生产函数为。=12婷y“该

产品的销缶单价P与。的关系为尸=1160—1.50、若单位资本投入和单位劳动投入的价

格分别为6和8.求利润坡大时的产砧.

正确答案：(无)

解析：

由题可知，利润=销售总额-成本总额，即利润函数为L=pQ-6x-8y=

11it111

[1160-1.5(12x2y6)](l2x^9-6x-8y=13920/泗-216x”-6x-By,分

另U对x和y求导得黑=6960HM—216,-6,~=2320宓3-72xy~l-8,

偿=0_

使检_,解得鬻，此时的利润最大，产量为Q=384.

19.

设0=kx,p)|-2+y«x4W年,求二重哂/=([

x+>'

正确答案：(无)

解析：

苜先画图得图与直线得构成得图形，做fj,=一工+2得辅助线.

辅助线与图之间得阻影部分为D1,剃IT得阴影部分为D2.所以原式得

//(”晶曲的=//艮闻-〃冷

DDD

¥8sin28cos28

原式/=2+/一

’0(sin9+cos0产

¥4sin2^co82^r"sin28

=2+n-2/de=2+n-/--------de=2n-2

Jo1+sin2xJO1+SE8

8(_4『+]

求恭级数，——的收敛域及和函数S(x).

公4'(2〃+1)

20.

正确答案：(无)

解析:

(二4严+1+1/”+2

（1）根据比值审敛法可得，lim|利=lim=X2<1时级数收

n(二，产+12n

TIT8,吁84n(2n+l)

敛，可得收敛半径R=l,则收敛区间为（-1,1）,而当x=±l时，幕级数收敛,

故所求的收敛域为[-1,1].

⑵立二。需的=21（需+』）*，而5（乃=琛=。需”+

1()》yarctanx,1.2+x、

y0°y2n—£y<»-1°2n+1+£y°°r\2n-H丁+;仁z),

^=04n(2n+l)-《乙n=02什1区乙==。2n+lC

特别的当x=0时，S(x)=1+1=2,

farctanxi/n(^),xe[-l.0)U(0,l]

综上可得s（x）=1r

2,x=0

已知二次型/（七,三，马）=3工；+4占2+3x/+2X,X3.

⑴求正交变换x=Qy,使得/（再,乙八3）化为标准形

（2）证明：min卒=2.

21.山°XX

正确答案：（无）

(D解:

由题可知，二欠型对应的矩阵为A=040,I花-用=

.103

12

02-44。3=(2-4)『二3A-3|=(^-4)[(a-3)-l]=U-

4)(2-4)(A-2)=a-4)2U-2).由特征方程可得特征值为4=4=4,A=

10-14

2,也I=42=4时.|AE-A\x=000*2=0,。]=[1,0,1匕以=

-101

-10-11R11

r

[O,l,OJt出3=2时,\AE-A\x-0-20p?=0,a3=正

-10-dkl

交单位修M=%“.O，lP>z=|0」,0匕。3=9MQ=

lo—I1

+力

KB

Tfyl=7?

o1OM%