2022年全国统一高考理科数学答案（全国乙卷）

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2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

14.(x-2)2+(y-3)2=13s!<(x-2)2+(y-l)2=5^L-^j若或

三、解答题：共。分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.

(1)

证明：因为sinCsin(A-3)=sin8sin(C-A),

所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC，

所以好.立士J2必匕士d=S•:士i

2ac2bc2ab

a2+c2-b2/,22\a2+b2-c2

即0-----------\b-+c-a-)=--------

所以2a2=U+C2；

(2)

25

解：因为a=5,cos4=—，

31

由⑴得〃+。2=50，

由余弦定理可得6=/?2+c2-2/JCCOSA.

则50-"be=25,

31

31

所以bc=土，

2

故(6+c)2=〃+c2+2bc=50+31=81,

所以b+c=9,

所以AABC的周长为a+Z?+c=14.

18.

(1)

因为A£>=CD,E为AC的中点，所以AC_L£>E；

在△AB。和CBD中，因为A。=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△A3Z注△C8D,所以AB=CB,又因为E为AC的中点，所以ACLBE；

又因为DE,BEu平面BED，DEcBE=E,所以AC,平面BED，

因为ACu平面AC。，所以平面BEDJ_平面ACO.

(2)

连接EF,由(1)知，AC,平面BED，因为EFu平面6EO，

所以AC_L£F,所以S》FC=；4C.EF，

当EVLBD时，EF最小,即△AFC的面积最小.

因为△ABZ注△C8D,所以C3=AB=2,

又因为NACB=60°,所以AABC是等边三角形,

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=5

因为AD_LCD,所以。E=』AC=1,

2

在ADEB中,DE2+BE2=BD2-所以BELDE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E一肛z,

则A(l,(),0),可(),6,0),。((),(),1),所以而=(-1,0,1),府=[1,6,(0,

设平面A6Z)的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0

则(___r-，取y=v3,则〃=(3,g,3b

万・45=-工+J3y=()

又因为C(—l,O,O)j，所以b=

\"J\、)

设CF与平面曲所成的角的正弦值为0[0<0<^

\乙

』cos伍丽卜华,

所以sin。

所以CF与平面A8O所成的角的正弦值为—.

19.

(1)

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值£=箸=0.06

39

样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹=而=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.0611?,

平均一棵的材积量为0.39n?

(2)

io

£(玉-可(乂-9)»J-1().

i=l

-io7^07

目(—)月(乂一方序-回序-回

Ji=li=l

_________0.2474-10x0.06x0.39_0.0134〜0.0134

«0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)70.0001896〜0.01377

则”0.97

(3)

设该林区这种树木的总材积量的估计值为Nn?，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,

可得病=丁，解之得Y=1209m3.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m③

20.

(1)

解：设椭圆E的方程为加V+〃y2=i,过A(O,_2),B1|,-1

4n=1

则9，解得，%=!，n=—,

—m+n=\34

4

所以椭圆E的方程为：上+三=1.

43

(2)

32

A(0,-2),B(-,-l),所以AB:y+2=—x,

22

①若过点P(L-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入工+匕=1,

34

可得知(1,孚)，N(l,—乎)，代入AB方程y=1x-2,可得

T(V6+3,当)，由访=闲得到”(2#+5,半).求得HN方程:

丁=(2-手»-2,过点(0,-2).

②若过点尸(1,-2)的直线斜率存在，设履—y-(Z+2)=0,M(%,,%),N(&,y2).

kx-y-(k+2)=0

联立X2y2,得(3左2+4)/_6灯2+场+3咐:+4)=0,

——+—=1

34

6k(2+k)-8(2+%)

可得〈

3k(4+k)4(4+4左一2产)’

%%=3k2+4

-24左

且%%+々乂=3^+4

y=y

联立2C，可得+3,y),//(3y+6-丹，凹).

y=-x-2

-3

可求得此时=3)：6：_JX72),

将(0,-2),代入整理得2(%+々)一6(y+%)+%%+WX-3%必-12=0,

将（*）代入，得24%+12公+96+48攵—24k—48—48人+24公—36公一48=0,

显然成立，

综上，可得直线，N过定点（0,-2）.

21.

(1)

f(x)的定义域为(―1,”)

当a=1时,f(x)=ln(l+x)+—,/(0)=0,所以切点为(0,0)/(%)=-—+—±,/(0)=2,

e1+xe

所以切线斜率为2

所以曲线y=fix)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

(2)

f(x)=ln(l+x)+?

e

/(x)=，+g=e'+a(lr2)

1+xex(l+x)e'

设g(x)=e'+a(l-x2)

「若a>0,当XG(-1,0)送(》)=y+。(1一/)>0,即/，(外>。

所以/a)在(-1,0)上单调递增,/(x)</(0)=0

故fM在(-1,0)上没有零点，不合题意

2°若-啜!h0,当xG(0,+oo)，则g(x)=e'-2ax>0

所以g(x)在(0,+a>)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a.0,即尸(x)>0

所以fM在(0,+8)上单调递增,/(X)>/(0)=0

故fM在(0,+8)上没有零点，不合题意

3°若avT

⑴当工£(0,+8)，则g(x)=e'-2奴〉0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增

g(0)=1+av0,g⑴=e>0

所以存在初e(0,1)，使得g(m)=0,即f\m)=0

当xe(0,m),f(x)<0,/(x)单调递减

当xe(nz,+oo),/'(x)〉0,/(x)单调递增

所以

当xe(0,"(x)</(0)=0

当Xf+00,/(%)—+00

所以/(X)在(/«,+<»)上有唯一零点

又(0,in)没有零点，即fM在(0,+00)上有唯一零点

(2)当xG(-1,0),g(x)=e'+a(l-x2)

设h(x)=g(x)=ex-2ax

h(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

gJ)J+2a<0,g'(0)=l>()

e

所以存在KG(-1,0)，使得g'(n)=0

当xw(-1,n),g(x)<0,g(x)单调递减

当xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(-l)2>0

e

所以存在te(-1,n)，使得g(f)=0,BPf'(t)=0

当xe(-l,f),/U)单调递增，当xe(r,0),/(x)单调递减

有xf-1J(x)f-oo

而/(0)=0,所以当xG(t,0),/(x)>0

所以f(x)在(—1J)上有唯一零点,4,0)上无零点

即f(x)在(一1,0)上有唯一零点

所以符合题意

所以若f(x)在区间(—1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(7,—1)

(二)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按

所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.

(1)

因I-psin^+^-j+m=0,所以;。-sine+-cos。+/”=0，

1H

又因为夕•sine=y,/?-cos6=x,所以化简为一)叶2二方+m=0，

22

整理得/的直角坐标方程：Gx+y+2〃2=O

(2)

联立/与C的方程，即将尤=J^cos2f，y=2sinf代入

百x+y+2m=0中，可得3cos21+2sin/+2m=0,

所以3(1"sin?r)4-2sin/+2/7t=0,

化简为-6sin"+2sin/+3+2/n=0，

要使/与。有公共点,则2m=60后，一2§皿一3有解，

令sin，=〃，则令/(。)=6/一2。一3,(―IWaWl),

对称轴为。=工，开口向上,

6

所以/⑷M=/(T)=6+2-3=5,

r/、1219

-3=-不,

所以----<2m<5

6

195

m的取值范围为---<m<—.

122

［选修4・5：不等式选讲］

23.

(1)

333

证明：因为a>0,b>09c>0,则〉0，0?〉0，>0，

333_____________

所以加+6+c5m消1

3

即所以当且仅当/=/=c>即a=5=c=/■时取等号.

39，Y9

(2)

证明：因为。>0,fe>0,c>0,

所以b+c22\/^，a+c>2\[ac，a+b>2\[ab，

333

bb京2

所以a工a二屋,<c<c_c

b+c2\[hc2\[abca+c2\/ac2\[abca+b2\[ah2\/ahc

333333

ahca2房C2cP+〃2+。51

b+ca+ca+b2^abc2\labc2y1abc2\[abc2\jabc

当且仅当。=/?=c时取等号.

进入高三后，你将面对的是从心态到日程，从科目到复习进度的全面变化。

1.在心态方面

无论是被逼无奈还是主动改变，进入高三后再也不能得过且过，糊弄自己也糊

弄别人。当然，前赴后继追赶的同学和此起彼伏波动的成绩会给你莫大的压力，而

学会应对压力也是高三的必修课。

2.在日程方面

你需要从时间和效率两个方面去挖掘自己的可能性。对你来说不再是哪科肯学

哪科多花时间，所有的科目但凡还有提分的空间，都需要你全力以赴地投入。生活

或许是单调的三点一线，但目标清晰、计划合理的你仍然可以从中找到激励。

3.在科目方面

进入新高考之前，理综/文综的出现使得原本分科考试被掩盖的问题被非常显眼

地暴露出来。大分值的选择题和综合性高的大题对学生的知识体系提出了更高的要

求。而很多学校因为种种原因太晚才开始的合卷并没有给学生充分的适应和调整时

间。

4.在整体进度方面

一轮复习之中语文和文综应试体系的构建、化学生物重新梳理知识点都是从过

去两年知识积累导向向应试导向转变的体现，对后续复习的重要性不言而喻。一些

学校也会安排或者鼓励学生进行“零轮复习”也是在为一轮做好准备。

有句话叫“潮水退去才知道谁在裸泳”。新高三的“大洗牌”只不过是更高的

要求给学生带来的挑战。之前给自己挖了多少坑，自己也该心里有数吧。

应对高三新变化，你需要这样做!

在正式开学之前，在完成暑假作业并调整好状态之余，你还可以安排好这些事

情：

♦熟悉综合科合卷模式

对于除了新高考的省市而言，综合科仍然是高考中重要的拉分项。

然而，很多高中合卷的时间过晚，直到上高三甚至高三下才开始进行合卷的训

练，学生对于综合科的答题技巧和知识体系的熟悉不够，不得不在高三紧张的学习

和考试当中频频调整和适应。

在分卷的考试中，一道选择题的分值不高，一个小失误或一个知识的小缺漏的

影响并不大。而在综合科当中，任何的小失误都会导致大额的丢分。另一方面，刚

上高三时，历史的选择题、生物化学的选择题的难度和综合性上升，也会造成错误

率增加。

可以从暑假开始，学生有计划的自行安排每周至少一次的综合科合卷限时训练,

并按照标准答案进行批改和订正。务必转变态度，重视每一个错误。

因为比犯错更愚蠢的，就是重复犯同样的错误。

♦提前开始“零轮复习”

很多高三学生都体验过：数学、英语、物理成绩好的学生，其实波动都不会太

大，即便有些心态浮躁的学生在数学物理上存在短期波动，都比较容易较快地调整

过来。这是因为在之前的学习过程中就已经渗透了许多面向高考的应试思维和解题

技巧。

相反，语文、化生、政史地，给学生的观感是：即便到一轮复习，似乎还是在

不断接受新的东西。原因是这几个学科由原来的知识导向到考试导向的变化更大。

一轮复习的过程中，学校老师还会重新梳理已有知识、建立知识体系、强调综合运

用的应试能力。

如果学生在数学、英语、物理上没有太大缺漏（甚至比较突出），就能在一轮复

习过程中腾出相当多的时间和精力在其他科目上。相反，如果学生在这三个科目上

有腐腿，则会在紧张的一轮复习中疲于奔命。

因此，在这个暑假，准高三的学生应当优先在数学、英语、物理上补上缺漏，

提升应试水平。同时学有余力的情况下，可以自行开始梳理其他科目的知识体系。

清华学霸送给新高三生的八个建议

虽说成功没有捷径，但是学霸的经验，我们是可以借鉴的，再一起来看看这位

清华学霸假期送给学弟学妹们的8个走心建议吧！

1.经验总结

(1)苦累都不算事，有效的计划时间和学习态度；

(2)把握“弯道时间”(假期收心，脚踏实地)；

(3)鼓励和自信以及高效的学习方法是垫脚石；

(4)时间分配+错题本；

(5)低谷怎么办？心态最重要；

2.熟悉综合科合卷模式

有人说“青春就是用来奋斗的”，有人说“青春就是用来挥霍的”，现在回想

青葱岁月，更觉青春是为了找寻自我的，追寻无悔。

9年前的我，初入高中，只知道一个字“学”，在炼狱般地衡中，没有一顿饭

不是跑步前去食堂，没有一天不是跑操背书，没有一天的生活不是被规划和自我规

划。

有人说“衡中”生活太苦，衡中就是个监狱。没错，是监狱，没有一丝闲暇和

自我时间，但就是在这里，几千学子奋笔疾书，起早贪黑地学习，要说智力水平，

在我看来差别并没有太大，因为一切都被规定了，更重要的是学习方法和学习态度。

在这里，你知道“比你聪明的学生比你还刻苦，”“笨鸟先飞”“勤能补拙”，

“付出就有回报”，体现的淋漓尽致。

天天有测，周周小测，月月大考，这样的节奏，让你连哀伤的时间都没有，考

试成绩下滑了，没关系，马上还有证明自己的机会，就是这样一环一环，一步一步，

没有喘息的生活，督促着我们一点点进步，一点点向前。

就拿我自己说，高一分到的是普通班，学号是十几，不算差，自己也满足，但

当数理化文史政，同时让你应付的时候，我第一次考试就滑到四十多名，心情很是

压抑，对自己产生了怀疑，我也同样这么刻苦，时间没比别人少花，可成效并不大。

其实最初没有意识到是学习效率和理解力的问题。我确实不是个聪明的孩子，

但在老师眼里也算的上刻苦和努力。当把自己作为学习的机器，被考试分数奴役时,

你做再多的努力也收效甚微。

但如果端正自己的位置和态度，做学习的主人，由自己支配自己的学习时间和

学习方法时，你会有横扫千军的感觉。

3.改变不了环境，那就适应它

成绩的不理想，过苦的生活，还有各项纪律检查等等给不适应这里环境的我们

以极大的挑战，怎么办？

没办法，逼着自己去适应，去调节，如果不逼一下自己，你永远不知道自己的

潜力有多大。

4.建立自信心

记得文理分班的时候我的学号仍然是三十几，但此后的学号却一直在变化，二

十几到十几再到几号，这一路除去自己不放弃自己外，踏踏实实听课，认认真真做

题，每一个自己都安排的很满，每周自我反省，错题整理，题型回顾，周周必做的

学习方式帮了很大的忙。

其实更重要的一点是自信心的建立，从小数学就不好，属于勉强及格的一类，

但对于文科生而言，得数学者的天下，所以数学是左右总成绩的重要科目。

高一一年的数学并没有太大起色，但是感恩的是遇到一个很好的数学老师，他

近花甲，要退休，他操着一口衡水地方方言。

虽然总是嘲笑他的口音，但不得不敬佩老人家的敬业，是他每次考试鼓励说又

进步了，哪怕进步一点点；是他提问我的次数增多了，是他旁敲侧击地夸我聪明，没

错。

就这样，我学数学的自信心上来了，就更愿意花时间和精力在上面，数学课对

我来说就是享受，攻克数学题对我来说就是战胜的快感。就这样，一次次的数学从

及格线，到百分以上，进而一百一，一百二，最后一路到高三的模拟考，数学得满

分。

5.认真对待每一科

万事难逃认真二字，你如何对待它，它就反过来怎么对你，我是待数学如初恋

的，它也没让我失望。

高中毕业，我的数学改错本整整齐齐的共八大本，每一本都是用两种以上的颜

色标记，红色是常错，易错，和重点，黑色是题目题型，蓝色是次重点，到现在我

也舍不得丢掉曾经的记忆。

记得每次考试前，我已经没有了看课本的习惯，所有的资料来源于改错本，在

重点中再总结重点和记不牢的公式，考试前多看几遍，考试时所有的知识就像摆在

眼前一样，用到哪块就选哪块就好了。

其他科目的学习亦大同小异。因为本身爱读书，而且参加过各类作文比赛，写

随笔，所以语文学习更多的是一种语感和积累，如果你能将所有知识都分门别类的

储存在大脑里，用到哪里，就能随时拿出来，怎么可能不考高分呢？

6.好记性不如烂笔头

虽然很土，但却说出了真理，当你多写，多写，写着写着就记在脑子里了，知

识莫过于反复和重复，这样做了又怎能很快忘掉？

那些生僻字，那些诗词，那些描写手法，那些励志故事，人生小段，哪个不能

应用于作文中？只要稍加转换，学会整合，就可以了。

英语学习，说实话是我高中记忆中最平庸的一门，高考分数也只有132分，但

因为从初中，英语成绩就还算可以，所以并未很投入，我的方法还是记与写。

当时并不知道有哪些英文原版小说，最初的启蒙读物就是《书虫》，里面的名

著故事，反反复复读了N遍也不厌烦，因为是双语就会对照比较学习，很有效的提

高了自己的阅读水平和语感。

而且会把题目中的阅读文段当精读对待，遇到生词，不熟的短语，常用用法等

等都会积累下来，一回生两回熟，自然积累就上去了。

错题本的应用派上用处，加上老师要求作文单词写的要跟楷书一样，所以只是