高考数学精编　古典概型

PAGE计时双基练五十六古典概型A组基础必做1．下列概率模型中，是古典概型的有()①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1～10十个数字中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率。A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析①③④不是古典概型；①③基本事件有无限个；④两个基本事件出现的可能性不相等；②是古典概型。答案A2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故选A。答案A3．(2015·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于零无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)。答案C4．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析∵(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni为纯虚数，∴m2－n2＝0，∴m＝n，(m，n)的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m＝n的取法有6种，∴所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)。答案C5．2014年11月26日，日本首相安倍晋三宣布加强对边境附近的离岛的监视，而钓鱼岛也被划在日本专属经济区的调查范围之中。面对日本再次就钓鱼岛领土问题的挑衅，我巡航编队加强了在钓鱼岛附近海域的巡逻执法。某天有137号，135号等共五艘海监船可供选择，计划选派两艘去巡航执法，其中137号，135号至少有一艘去执法的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(7,10) D.eq\f(3,10)解析设137号，135号等五艘海监船分别表示为x，y，a，b，c，则所有可能的情况为(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中137号，135号至少有一艘去执法的情况有7种，所以所求的概率为eq\f(7,10)。故选C。答案C6．从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析设正方形的四个顶点为A，B，C，D，中心为O，从这5个点中任取2个点，一共有10种不同的取法：AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种：AO，BO，CO，DO。因此由古典概型概率计算公式，可得所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故选B。答案B7．(2016·浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________。解析设2名男生为A，B,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种，故所求的概率P＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(2,5)。答案eq\f(2,5)甲乙98853129·58.(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________。解析依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3。答案0.39．如图，沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是________。解析按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N共6种，其中经过C点的走法有4种。所以所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)。答案eq\f(2,3)10．(2015·天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18。现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1个被抽到”，求事件A发生的概率。解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2。(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种。②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种。因此，事件A发生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)。11．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率。解(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个。由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个。因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)。(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个。由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个。因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝eq\f(3,10)。B组培优演练1．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3,则()A．p1<p2<p3 B．p2<p1<p3C．p1<p3<p2 D．p3<p1<p2解析总的基本事件个数为36，“向上的点数之和不超过5”的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则“向上的点数之和不超过5”的概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)；“向上的点数之和大于5”的概率p2＝1－eq\f(5,18)＝eq\f(13,18)；“向上的点数之和为偶数”与“向上的点数之和为奇数”的个数相等，故“向上的点数之和为偶数”的概率p3＝eq\f(1,2)。即p1<p3<p2，选C。答案C2．(2015·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,18) D.eq\f(4,9)解析任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：①若a＝1，则b＝1,2；②若a＝2，则b＝1,2,3；③若a＝3，则b＝2,3,4；④若a＝4，则b＝3,4,5；⑤若a＝5，则b＝4,5,6；⑥若a＝6，则b＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)。答案D3．设函数f(x)＝ax＋eq\f(x,x－1)(x>1)，a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从2,3,4,5四个数中任取的一个数，则f(x)>b恒成立的概率为________。解析f(x)＝ax＋eq\f(x,x－1)＝a(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋a＋1(x>1)，因为a>0，x－1>0，所以有f(x)≥2eq\r(a)＋a＋1。当a＝1时，f(x)min＝4；当a＝2时，f(x)min＝3＋2eq\r(2)；当a＝3时，f(x)min＝4＋2eq\r(3)。要使f(x)>b恒成立，当a＝1时，b＝2,3；当a＝2时，b＝2,3,4,5；当a＝3时，b＝2,3,4,5。故满足条件的(a，b)有2＋4＋4＝10(对)，所求概率P＝eq\f(10,3×4)＝eq\f(5,6)。答案eq\f(5,6)4．根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家。某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率。解(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为eq\f(1,a)(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×