高考数学一轮复习：2.5单调性

函数的单调性精选ppt设函数f(x)的定义域为I

:一、函数的单调性

注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

x1,x2,当

x1<x2时,都有

f(x1)<f(x2),那么就说

f(x)

在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

x1,x2,当

x1<x2时,都有

f(x1)>f(x2),那么就说

f(x)

在这个区间上是减函数.精选ppt如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数

y=f(x)

在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数

y=f(x)

的单调区间.二、单调区间③在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,减函数的图象自左向右看是下降的.注:①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;②函数的单调区间是连续区间,若区间不连续,应分段考查.精选ppt基础训练题:精选ppt精选ppt例题1讨论下列函数的单调增区间复合函数的单调性精选ppt精选ppt练习精选ppt精选ppt精选ppt精选ppt例题讲授：精选ppt1.取值:对任意

x1,x2∈M,且

x1<x2;用定义证明函数单调性的步骤2.作差:f(x1)-f(x2);3.判定差的正负;4.根据判定的结果作出相应的结论.精选ppt②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论.oyx精选ppt函数单调性的判定方法1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数.2.导数法:适用于具体函数.3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:6.奇偶性:奇函数在对称区间上具有相同的单调性;偶函数在对称区间上具有相反的单调性.精选ppt二、基础训练：精选ppt精选ppt精选ppt

5.已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论

F(x)

的单调性,并证明你的结论.f(x)1

分析:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.解:在

R

上任取

x1,x2,设

x1<x2,则由已知

f(x2)>f(x1)

且:F(x2)-F(x1)=[f(x2)+]-[f(x1)+]f(x1)1f(x2)1=[f(x2)-f(x1)][1-].f(x1)f(x2)1∵f(x)

是

R

上的增函数,且

f(5)=1,∴当

x<5

时

0<f(x)<1,而当

x>5

时

f(x)>1.①若

x1<x2<5,则

0<f(x1)<f(x2)<1,∴

0<f(x1)f(x2)<1;∵f(x2)-f(x1)>0,

∴F(x2)<F(x1);∴1-<0,f(x1)f(x2)1②若

x2>x1>5,则

f(x2)>f(x1)>1,∴f(x1)f(x2)>1,综上,F(x)

在

(-∞,5)

上为减函数,在

(5,+∞)

上为增函数.∵f(x2)-f(x1)>0,

∴F(x2)>F(x1).∴1->0,f(x1)f(x2)1精选ppt3.设函数

f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当

k

为何值时,函数

f(x)

的单调递减区间是

(0,4);(2)当

k

为何值时,函数

f(x)

在(0,

4)内单调递减.∴不等式

f

(x)<0

的解集为(0,

4),∴0

与

4

是方程

kx2+2(k-1)x=0

的两根,即kx2+2(k-1)x<0

的解集为(0,4),故由根与系数的关系可求得

k

值为.13(2)命题等价于

kx2+2(k-1)x<0

对

x(0,4)

恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于

kx+2(k-1)<0

对

x(0,4)

恒成立,由于

g(x)

为单调函数,g(0)≤0g(4)≤0k≤.13则(或分离变量

k<对

x(0,4)

恒成立.)x+22解:对

f(x)

求导得

f

(x)=3kx2+6(k-1)x,(1)∵函数

f(x)

的单调递减区间是(0,4),精选ppt6.已知函数

f(x)

的定义域为

(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①

f(xy)=f(x)+f(y),②

f(2)=1,③

当

x>1

时,f(x)>0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式

f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)证:在①中令

x=y=1,得

f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.令

x=y=-1,得

f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.再令

y=-1,得

f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).∴f(x)

为偶函数.先讨论

f(x)

在

(0,+∞)

上的单调性,任取x1,

x2,

设x2>x1>0,∴f(x2)>f(x1).∴f(x)

在

(0,+∞)

上是增函数,∴由

(1)

知,f(x)

在(-∞,0)

上是减函数.∵偶函数图象关于

y

轴对称,(2)解:在①中令y=,得:x1∴由③知

f(

)>0.

x2x1∵

>1,x2x1f(1)=f(x)+f(

)f(

)

=-f(x),x

1x

1则

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f(

).

x2x1x1

1精选ppt(3)解:∵f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2,由

①、②

得

2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若

x(x-3)>0,∵

f(x)

在

(0,+∞)

上为增函数,∴由

f[x(x-3)]≤f(4)

得:2)若

x(x-3)<0,∵

f(x)

在

(-∞,0)

上为减函数,∴由

f[x(x-3)]≤f(-4)

得:x(x-3)>0x(x-3)≤4x<0

或

x>3-1≤x≤4

-1≤x<0

或

3<x≤4;x(x-3)<0x(x-3)≥-4

0<x<3.0<x<3xR∴原不等式的解集为[-1,0)∪(0,3)∪(3,4].

注抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本方法是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.法二原不等式等价于

f[|x(x-3)|]≤f(4)(x0,x-30),由

f(x)

在

(0,+∞)

上为增函数得:|x(x-3)|≤4.再进一步求得解集.精选ppt(1)证:由已知,对任意的

x1,x2∈(-∞,+∞)

且

x1<x2有:f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-

x1)-1.∵x2-x1>0,∴f(x2-

x1)>1.∴f(x2-

x1)-1>0.∴f(x2)-f(x1)>0

即

f(x2)>f(x1).∴f(x)

是

R

上

的增函数.(2)解:∵f(4)=5,令

a=b=2

得:f(4)=f(2)+f(2)-1,从而

f(2)=3.∴原不等式等价于

f(3m2-m-2)<f(2).∵f(x)

是

R

上

的增函数,∴3m2-m-2<2,即

3m2-m-4<0.

解得:-1<m<.4343故不等式

f(3m2-m-2)<3

的解集为

(-1,).7.函数

f(x)

对任意a,b∈

R

都有

f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0

时,有

f(x)>1.(1)求证:

f(x)

是

R

上

的增函数;(2)若

f(4)=5,

解不等式

f(3m2-m-2)<3.精选ppt∵

f(x)

的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意

x,有:

8.已知函数

f(x)=-log2,求函数

f(x)

的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.1x1-x

1+x

解:要使函数有意义必须:x0,1-x

1+x

>0.解得:-1<x<1

且

x0.∴函数

f(x)

的定义域为(-1,0)∪(0,1).1x1+x

1-x

f(-x)=-

-log2=-(-log2

)=-f(