优选课件：人教B版高中数学选择性必修第一册122 空间中的平面与空间向量

1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量1.平面的法向量的概念α

lAB

2.空间中线面关系与平面的法向量α

lα

l

α

α

2.空间中线面关系与平面的法向量例1.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑀，N分别是A1B与A1C1的中点．求证：𝑀N//面ADD1A1.

（教材）ABCD𝑀Nxyz以A为坐标原点、AB为x轴、AD为y轴、𝐴𝐴1为z轴,建立如图的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

所以𝑀N//面ADD1A1.

3.平面的法向量的求法例2：已知空间直角坐标系中，A（3,0,0），B（0,5,0），C（0,0,1），求平面ABC的一个法向量。（教材改编）ABCOxyz

1.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，求证：面A1BD//面CB1D1.（金）xyz题型一：证明平行问题建立如图的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，ABCD则B(1,1,0),A1(1,0,1),C(0,1,0)，D1(0,0,1),

B1(1,1,1)

跟踪训练1.（金）四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥面ABCD,OA=2,M为OA中点，N为BC中点，证明：MN//面OCD.ABCDOMNxyzABCD45°xy题型二：证明垂直问题（金）2.如图，在直棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，

𝐴𝐵=B𝐶=2，BB1=1,𝐴𝐵⊥B𝐶，𝐸是BB1的中点．证明：面𝐴𝐸C1⊥面AA1C1C.

𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1Exyz跟踪训练2.2.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别是B1B与CD的中点．求证：（1）D1F⊥面ADE.;（2）面A1D1F⊥面ADE.（金P107）ABCDEFxyzEMDBOAAE⊥OD？cos·cos=cos=∠AOB=∠AOD=∠DOBAaOPPO⊥a？题型三：三垂线定理及其逆定理AaOP

已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理二、新授：AaOP证明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥a三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。AaOPPCBAO例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂线定理得

PC⊥BC例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(3)BPMCA(2)POABCD(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形

O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AO是PO在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵PB=PCM是BC的中点PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C