2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第13讲 数列性质：单调性（解析版）

第13讲数列性质:单调性

参考答案与试题解析

一.填空题（共6小题）

1.（2021•南通模拟）已知｛〃,,｝为递减数列，且对于任意正整数〃，《川恒成立,

4=-/+2〃恒成立，则；I的取值范围是

【解答】解：恒成立

2

又由an=-n+An

-（n+1）2+2（/z+1）<-n2+AnT亘成立

即2<2"+l

又由〃wN+

:.A<3

故答案为：A<3

2.（2021秋•秀屿区校级月考）已知数列｛/｝满足:4=1,=24+左2"（氏是与"无关的

常数且左二0）,若数列｛《,｝是单调递减数列，则”的取值范围为

【解答］解：“的=2%+叱”是与〃无关的常数且心0）,，翁喙+3,

...数列｛/｝是等差数列，首项为*=；,公差为2,

ft1k

.•.才=]+(〃一1)ean=2"-'[1+(〃-1)灯.

•.•数列｛4｝是单调递减数列，

-|

a,^-an=2"(1+nk)-2"[1+(«-1)*]=2"-'[1+(n+1)对<0对于eN*都成立.

/.k<---对于GN*都成立ok<（----）疝〃.

〃+1n+i

令/（„）=-―L,则/（„）是关于〃的单调递增数列,

n+\

型、1

,•J（〃焉=一万•

/.k<—•

2

.•.2的取值范围为（-O0,-；）.

故答案为（73,-g）.

3.(2021•衡水模拟)若数列｛〃〃｝满足生一4>a3-a2>a4-a3>...>aIJ+i-a/｝>...,则称数列

｛«„｝为“差递减”数列，若数列｛«„)是“差递减”数列，且其通项an与其前〃项和S“(〃€N*)

满足2S„=3a〃+24-1(〃eN*),则实数A的取值范围是

【解答】解：•••2S„=3an+2A-l(neN*),

”=1时，24=34+22—1,解得a,=1-22.

〃..2时,2an=7>an-3an_i,化为4=3%.

同理可得：%=3(1-22),a,=9(1-24),4=27(1-22).

a。—6/1-2(1—24)rq—a?—6(1—2A)，q—q=18(1—2丸)，

•/a2—a｝>a3—a2>a4—a3>...,

・•・2(1-22)>6(1-22)>18(1-22),

解得：A>~.

2

则实数2的取值范围是2>1.

2

故答案为：2>1.

2

4.(2021•东湖区校级模拟)若数列｛a“｝满足4=-g,且q=67+(-2)"(〃..2),若使不等

式|4I,,Z成立的a“有且只有三项，则2的取值范围为—咛,

【解答】解：当〃..2时,《,=(4一％)+(%-*)+(%-2-4-3)+…+4-4)+4，

于是有：4=(-2)"+(-2)-1+(-2)7+…+(-2)2+(-1)=产1_1,

31—(—2)3

所以q=l_g(_2严，显然也适合，因此数列｛%｝的通项公式为：a,,=l-g(-2严.

当”为奇数时，|a"|=H-g(-2)"+”=|l-g.2"+'|=L2"M-l,此时数列｛”“｝的奇数项数列是单

调递增函数；

当n为偶数时，|%|=|1_g(_2)T|=|1+g.2"+“=g.2"+i+1,此时数列｛”"｝的偶数项数列是单

调递增函数，要想使不等式I,,4成立的”“有且只有三项，

A..

3

211

313,35

nn—,,4<—・

.1333

X...—

3

。35

--25+1>22<—

33

故答案为：[竺,曳）.

33

5.（2021•辽宁模拟）已知数列｛%｝满足：4=1,a“+i=2a“+1.若勿+]=（〃-2t）（a“+1）,bx=-t,

且数列｛"｝是单调递增数列，则实数，的取值范围是

【解答】解:因为4+]=2。“+1,即。“+[+1=2（。“+1）,

所以数列｛a,,+1｝是首项为4+1=2,公比为2的等比数列，

则有a.+l=2-2"T,即q=2"-1,

所以=(〃一2。(4+1)=(〃-2f)•2",

则b〃=(〃-l-2f>2"T,n..2,

因为数列｛〃,｝是单调递增数列，

所以(/_2。•2“>-1—20-2"-'对n..2恒成立,

即对”..2恒成立，

所以，<3,

2

又62>瓦,即2（1—2f）>—t，

2

解得，<4，

3

所以实数，的取值范围是（《,；2）.

故答案为：（­，]）•

6.（2021秋•渝中区校级月考）设数列｛q｝满足。加=2*-1（〃£“）・

（1）若4='则4020=_-3_；

（2）若数列｛《,｝是正项单调递增数列，则4的取值范围是一•

【解答】解：（1）若％=-；，则.=24一1=一；，

故数列为常数列勺=-;，

砧1

故02020=,

(2)解法一:若数列｛4｝是正项单调递增数列,

贝iJa,,+i-a“=2«：-a“-l=(24,+l)(a,,-l)>0na“<-g(舍去)或q>1,

当>1时，贝!]a,*1=2a：—1>1,

故若q>1,则数列｛«„｝是单调递增数列，

综上所述，q的取值范围是(1,内).

解法二：若数列｛〃“｝是正项单调递增数列，

则对于任意几.2,an+,-an=(2a^-1)-(2a^_t-1)=2(a„+a„_t)(an-a„_,)>0,且4,-41T>0,

又此时a“+《i>0,故/-q>0=-4-1>0=>4>1或4<-；(舍去)，

综上所述，q的取值范围是(l,+=o).

二.解答题(共7小题)

7.(2021秋•洛阳期中)已知数列｛《｝的前”项和为S,,,且a,=1,

+Sn=5„_,+4T(〃..2,"eN")•

(1)证明：数列｛'｝是等差数列；

a,

(2)若%+—匚…,对任意整数〃(〃..2)恒成立，求实数2的取值范围.

几％4

【解答】解：(1)证明:4ana„_,+S„=S„_,+a„_x(n..2,neN*),

可得4q,%+4,-%=0,

即有^------=4(”..2)>

a„%

则数列｛2｝是1为首项，4为公差的等差数列;

an

(2)由(1)可得L=1+4(〃-1)=4〃-3,

a„

即有a=---,

"4"一3

ICl11—rzg14〃一4

由—4----..可得一•-----„4/7+1,

2。“十］244〃一3

畤京2),

令0=(4〃一3)(4〃+1)

4〃一4

则%-0=(4〃+1)(4〃-5)>0,

M+1"4n(n-l)

即有数列｛。,｝为递增数列，

当〃=2时，取得最小值，且为竺,

4

可得工,，竺，解得4<0或/L.f.

A445

即实数2的取值范围为(-oo,0)|Jl福，田)-

8.(2021•内江四模)已知函数f(x)=s-keT的图象在x=O处的切线方程为y=》.

(1)求s,%的值；

(2)若g(x)=minx-ex+；x2-QTZ+1)X+1(，W>0),求函数〃(犬)=8(*)-/*)的单调区间；

(3)若正项数列｛”"｝满足q=g,%=*"&),证明：数列｛4｝是递减数列.

【解答】解：⑴由题意得/(0)=0，/,(0)=1,

卜一女=0

则一，

[k=1

解得5=1,k=1；

(2)由(1)可得/⑺=1一,

由题意得〃(X)=加队¥+；.*一(m+1)成¥>0),

/.h(X)=—+X-(A?7+1)=--------------,

XX

①当Ovmvl时;令〃'(x)>0,JW得Ovxvm或1vx,

所以h(x)在(0,m)和(1,+00)上单调递增;

令力解得机vxvl,

所以/l(x)在(九1)上单调递减；

②当机=1时，/2'(力..0,则A(x)在。+«))上单调递增;

③当机>1时，令”(x)>0,解得Ovxvl或加<x,

所以〃(x)在(0,1)和(m,+oo)上单调递增；

令〃'(x)vO,解得lv<vm,所以人(x)在(1,加)上单调递减;

综上：当时，/7(x)的单调递增区间(0,，")和(1,”),

单调递减区间是(见1);

当〃?=1时,，/7(x)的单调递增区间是(0,+8)；

当机>1时，/?(X)的单调递增区间(0,1)和(加,”)，

单调递减区间是(1,相).

(3)证明：正项数列｛an｝满足%=*-"也)，

数列｛«„)是递减数列，等价为a„+l<%,

即为公〈浮,

即为，£_<滑

\-e'a-

a

即e">an+\,

令t(x)=ex-x-l(x>0),

"(x)=e'-l>0(x>0)

.•」(x)是(0,卡功上的增函数,

t(x)>f(0)=0,即e*>x+1,

a

故e->an+\,

是递减数列.

2q,+〃,〃为奇数

9.(2021春•安徽期末)已知数列中，q=fQw—1),且。,用=1

a“一］〃,”为偶数

(1)证明:数列｛七“+1｝是等比数列;

(2)若数列｛4｝的前2〃项和为邑,：

①当f=l时，求$2.；

②若｛邑“｝单调递增，求/的取值范围.

【解答】解：(1)证明：设仇,=%,+1,则伪=%+1,

=2。］+1=2r+1,

二.乙=2(7+1)w0,...(I分)

..b“+\_a25+i>+1_（2/"+i+2"+1）+1_[2（%-"）+2"+11+1_2（%+1）_2（

•bn%“+l%,+l%,+la2n+1

数列｛〃｝是公比为2的等比数列，故数列｛%,,+1｝是等比数列，…（4分）

bn=伉・2'i=2（/+1）.2"-'=（f+1）.2",

n

a2l,=a+l）.2-l,...（6分）

（2）由（I）得,%"=（/+1）・2"-1=2a2“_1+2〃—1>

；•…（7分）

，a，”-1+a?，，=3（f+1）・2"'—〃—1，...（8分）

S2n=（4+见）+（4+4）+...+（电+4”）>

=3（，+D・a+2+…+2»（1+2+...+〃）--3（，+1,7-噌."。分）

①当f=l时，

...S?*=6（2"—1）—"（"；"=3x2‘m—“（"；3）—6；...（11分）

②单调递增，

・■.邑“-$2"-2=3«+1卜2"-'-"-1>0对”..2且"WN"恒成立,...（12分）

即3«+1）>于「iaPn=^-,n..2,

miip,,p„n+2n+\-n0

川„+\~„=—^.--=下<，

.•.｛£｝在n..2且“wN*单调递减，…（14分）

D3

・<=5，

31

，3（/+1）>一，即，>——，

22

故f的取值范围为（-,,长0）.…（16分）

2

10.（2021春•南昌期末）已知首项为正的数列｛〃"｝中，相邻两项不为相反数，且前〃项和

S.=；（4「5）（q,+7）

（1）求证：数列｛”"｝为等差数列；

（2）设数列［―!—1的前〃项和为7；,对一切正整数〃都有成立，求”的最大值.

【解答】（本小题12分）解：⑴证明：•.♦S,=；（%-5）（a,,+7）,

-~(口”+1-5)(%+i+7)-；(4.5)(。“+7)，

二(4+1_an~2)(%+〃”)=()，

-'-an+>-a„=2^all,l+a„=0.

又相邻两项不为相反数，

•,•%一”,,=2,

数列｛4｝为公差为2的等差数列.

(2)由&=：(4—5)(4+7)=q=7或4=—5,

•.•数列｛4｝的首项为正，，4=7,

由(1)得2=2〃+5,

___1__________1______——1(z____1_______1__)、

(2〃+5)(2〃+7)22〃+52〃+7

数列｛?；,｝（〃wN'）在口，+00）上是递增数列.

又当”=1时，7；=—

63

，要使得对于一切正整数”都有7；.成立，

只要M,上，所以”的最大值为

6363

11.（2021-天津一模）已知数列｛%｝的前〃项和为5,，且对一切正整数n都有S,,=/+.

(I)求证：。〃+1+。“=4"+2；

(II)求数列｛%｝的通项公式；

(III)是否存在实数。，使不等式(1-工)(1--!-)…2a；-3对一切正整数〃都成

q。2an2ayJ2n+1

立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1),.•S“="2+ga和£N*),

%=Sn+i-Sn=[(〃+1)2】

11cl

=/a〃+i-/%+2〃+1，

；(%+cin)=2n+\,

a

即a〃+1+n=4〃+2,〃eN”.

(〃)在5“=〃2+3%(〃€*)中，

令〃=1,得q=2,代入(/)得生=4.

%+“”=4〃+2，an+2+a„+t=4n+6,

两式相减，得：all+2-an=4,

•••数列｛””｝的偶数项。2，%，%....46，…依次构成一个等差数列，

且公差为d=4,

.,.当n为偶数时，an=a,+(―—\)d=2+4(——1)=2n>

当〃为奇数时，”+1为偶数，由上式及(/)知:

an=4〃+2—all+l=4〃+2—2(〃+1)=2〃，

.••数列｛6｝的通项公式是4,=2〃.

(///)(1--)(1

4a2%2。，2"+1

等价于J2〃+1(」)(1-〈生心

4a2an2a

令/(")=V2//+K1--)(1--),

qa2a„

则由(〃)知f(")>o,

V2/7+3(l--)(1-)(1——)

./(»+!)=4%4a,-

，(“)V2n+l(l—^)(1--)

4a2an

J2〃+3(1--

=4向

，2〃+l

J2”+3(1——1-)

"2n+2

J2〃+1

J(2〃+3)(2〃+1)

2，+2

J(2〃+2)2-l一，

2〃+2

/./(n+l)<f(n),即f(〃)的值随〃的增大而减小,

时，〃”)的最大值为f(l)=*，若存在实数°,符合题意，

则必有：幺士〉近，

2a2

即2a2一怎3>0,

2a

它等价于a｛a一同a+亭>0,

解得<a<0,或“>石，

2

因此，存在实数。，符合题意，

其取值范围为(-等,0)U(g，+8).

12.已知数列｛4｝的前〃项和为S.，且对一切正整数〃都有5“=/+；%.

(1)证明：a〃+[+a“=4〃+2；

(2)求数列｛q｝的通项