2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练09 立体几何综合(含详解)

必考点09立体几何综合

经典必考题

题型一空间几何体的距离问题

例题11.如图，正方体ABCO-AMGR的棱长为2,尸为。。的中点.则（）

AB1A.F

B.直线AD与BF所成角的正切值为V2

C.平面尸截正方体所得的截面面积为4

D.点c与点。到平面\HF的距离相等

例题2如图，在四棱锥P-AB8中，底面四边形A8C。为菱形，点E为棱的中点，点

。为边A8的中点.

⑴求证：AE〃平面POC；

TTTT

(2)若侧面PAB_L底面ABCD,且NBPA=彳，PB=4,尸4=3,ZABC=-,求点B到平

23

面POC的距离.

【解题技巧提炼】

空间几何体的距离问题

解决空间中的距离问题，常用几何法，其中等体积法作为求高，即点到平面的距离是

一种常见方法，其次可以利用构造，投影，直角三角形等解三角形，解决长度问题

题型二空间几何体的角度问题

例题1如图，在三棱锥P-A8C中，PA^AB,PA^AC,ABSBC,PA=AB=BC=2,。为线

段AC的中点，E为线段PC上一点.

⑴求证：平面8£>£0平面以C；

⑵求二面角P—2C—A的平面角的大小.

例题2已知正方体48CO-A4GR.

(1)证明:4。，平面68。；

(2)求异面直线RA与BD所成的角.

【解题技巧提炼】

空间中的角分为线线角、线面角和面面角，其中线线角可以将直线平移到同一个平面

内，利用正余弦定理解三角形求夹角，线面角需要将直线投影到平面上，则直线与直线投

影所成的夹角就是线面角，常利用直角三角形处理，面面角(二面角)是往交线上作垂线,

则两垂线之间的夹角就是二面角。

对点变式练题型一空间几何体的距离问题

1.已知三棱锥P-A8C三条侧棱2、PB、PC两两互相垂直，S.PA=PB=PC=4,M、

N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M、N两点间距离的最小值为.

2.如图，三棱柱中，侧面B8CC为菱形，BC^B,C=O,且8。，AB.

⑴证明:AC=A4；

⑵若AC1AB|,ZCBBt=60°,AB=BC=\,求点。到平面ABC的距离.

题型二空间几何体的夹角问题

1.如图，在四棱锥产一A8CD中，底面A8CZ)为平行四边形，平面PCO,平面

4)P_L平面APC,PC=PD=2,AD=4,M为卓的中点.

⑴求证:PC上PD；

⑵求二面角C—用。-尸的正切值.

【解析】⑴证明：过。在平面PA。内作。FLR4,垂足为点F,

•••平面ADP_L平面APC,平面ADPc平面APC=AP,。尸u平面ADP,

.,.DF_L平面APC,

•rPCu平面APC,WODF1.PC,

平面PCD,「。匚平面?£)(7,..尸<7_14£),

•.•A£)c£)F=。，..PC_L平面PAD,

⑵解：过点P在平面PAD内作PN_L/W,垂足为点N,连接CN,

由（1）知PC1平面ADP,

■：DMA.PN,PNcPC=P,所以，ZWJ_平面PNC,

因为CNu平面PCN,所以，CNLDM,

所以，/PNC为二面角C-0A1-P的平面角，•.•4），平面PC。，「力u平面PCO,

AD1PD9

■.■AD=4,PD=2,则a=5/5+即2=26,

•.•M为3的中点，所以，DM=gpA=6

由5.„„„=-PD-AD=-MDPN=4=逐•PNnPN=2,

>-*।i\rtjsvi222、J、~

PC275

tanZC/vr=—；因此，二面角c—£)M—p的正切值为9.

在2

1.如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,NC=45。，AE1CD,BF1CD.将AADE

与ABCF分别沿AE,BF折起，使得点。、C重合(记为点尸)，形成图2,且AP耳'是等

腰直角三角形.

⑴证明：平面

PAE_L平面PM；

⑵求二面角P-AB-F的正弦值；

(3)若=求四棱锥的体积.

变式综合练

1.多面体ABCDE中，△3CD与△CDE均为边长为2的等边三角形，AABC为腰长为

而的等腰三角形，平面CC£H平面BCQ,平面ABC0平面BCQ,尸为BC的中点.

⑴求证：AF〃平面EC£＞；

(2)求多面体ABCDE的体积.2.如图，在棱长为2的正方体A8CD-ASGQ中，E,F,G,

⑴求证：E,F,G,”四点共面;

(2)求三棱锥D-GEF的体积.

3.在如图所示的几何体中，平面_L平面ABC。，M四边形A£WM是矩形，四边形

A8CD为梯形，AB//CD,ZZMB=60°,2AB=2AD=CD=2.

⑴求证：4V〃平面MBC；

⑵已知直线AN与BC所成角为60。，求点C到平面M8D的距离

4.如图，四棱锥S-ABCO的底面是长方形，SAI3底面ABC。，3CE=CD,SCSBE.

⑴证明：平面SB£H平面SAC；

⑵若SA=&,AZ)=1,求CO及三棱锥C-S8E的体积.

5.如图，在四棱锥E-ABCZ)中，四边形ABCD为矩形，平面AB8JL平面

ABE,AB=5,BE=BC=4,AE=3,尸为棱CE的中点，P为棱A3上一

⑴求证：8/_1_平面4CE；

⑵当P到平面ACE的距离为等时，求线段AP的长.

6.如图，AABC是边长为3的等边三角形，瓦尸分别在边A3,AC上，且4E=AF=2,M

为BC边的中点，AM交所于点。，沿E尸将AA£F折到△£＞比'的位置，使。例=叵.

D

⑵若平面EFC3内的直线EN〃平面DOC,且与边8c交于点N,R是线段。M的中点，

求三棱锥R-尸NC的体积.

7.如图，三棱锥尸-ABC的底面为直角三角形，E为斜边A8的中点，顶点P在底面的投

影为£>,CD//AB,ECLPB,PD=AB=2BC=2.

⑵求异面直线PA与3c所成角的余弦值.

8.如图，在多面体43cDE中，△但为等边三角形，AD//BC,BCLAB,CE=2夜,

AB=BC=2AD=2,F为EB的中点.

(1)证明：AF〃平面OEC；

⑵求多面体4?CZ)E的体积.

必考点09立体几何综合

经典必考题

题型一空间几何体的距离问题

例题11.如图，正方体ABCO-AMGR的棱长为2,尸为。。的中点.则（）

B.直线AO与8尸所成角的正切值为近

C.平面A8尸截正方体所得的截面面积为4

D.点C与点。到平面A8尸的距离相等

【答案】AD

对选项A,由正方体的性质知A3,平面AQRA，A/u平面ACRA，所以AB^AF，故

A正确；

对B,因为A£>〃8C,所以直线AD与BF所成的角即为8C与BF所成的角，

连接C凡易得△8CF是直角三角形，且8c=2,CF=y/5,所以tan/CBF=正，

2

所以直线4）与3尸所成角的正切值为由，故B错误；

2

对C,在平面AORA内，延长A尸交A。的延长线于G,连接BG交CQ于七点，

易得E为C。的中点，所以EF//A/且E尸=；4田=0,所以四边形8E码为等腰梯形，

所以四边形8EE4,的面枳S=；（a+20卜卜国匚*=|,所以平面A8尸截正方体

9

所得的截面面积为会故C错误；

对D,由选项C知，E为S的中点，所以点C与点。到平面48尸的距离相等，故D正

确.故选：AD

例题2如图，在四棱锥P-AB8中，底面四边形ABCQ为菱形，点E为棱PQ的中点，点

。为边A8的中点.

⑴求证：AE〃平面POC；

TT

⑵若侧面底面ABC。，且NBPA=i，PB=4,尸A=3,ZABC=j,求点8到平

面POC的距离.

【解析】⑴

取线段PC的中点尸，连。尸,EF

在APCD中，E,尸分别为尸。，PC的中点

回砂〃8且EF=：C£>

又团底面A3C£>是菱形，且。为A8的中点

团40〃。£>且40=l<7力

2

S1AO//EF£LAO=EF

回四边形AOFE为平行四边形

^OF//AE

又团0尸=平面POC,4£0平面「0。04£7/平面尸06

(2)

在菱形A8CO中，。为A8的中点，ZABC=60°

所以可得NCOB=90。，即COJ_48

又因为平面±平面ABCD，平面R48c平面ABCD=AB,COc平面ABC。

所以COL平面R48

所以CO_LPO

由依=4,P2,ZBM=^5Arofl=15AW8=|xlx3x4=3,

PO=/B=|,CO=¥A八羊，。155625G

5roc=^xTx-=­Z—

AZZZo

令点8到平面POC的距离为h,则匕-POC=Vc可知3乙的“二京4加小。。

S^POB■CO_12

所以力=T

所以点B到平面POC的距离为M.

【解题技巧提炼】

空间几何体的距离问题

解决空间中的距离问题，常用几何法，其中等体积法作为求高，即点到平面的距离是

一种常见方法，其次可以利用构造，投影，直角三角形等解三角形，解决长度问题

题型二空间几何体的角度问题

例题1如图，在三棱锥P—A8C中，PABAB,PASAC,AB^BC,PA=AB=3C=2,。为线

段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证:平面3DEEI平面PAC；

(2)求二面角P-BC-A的平面角的大小.

【解析】⑴证明：因为用SAB,B40AC,ABc^AC=A,

所以P4_L平面A8C,

又因3Z)u平面A8C,所以上4JL3D,

因为。为线段AC的中点，AB=BC,

所以5OLAC,

又E4DAC=A,所以BD_L平面B4C,又因为B£>u平面80E,

所以平面8£)£!3平面PAC-,

⑵由(1)得PA_L平面45C,

又BCu平面A6C,所以PAJLBC,

因为AB0BC,PA^AB=A,

所以BCL平面P45,

因为P3u平面所以5CJ_P8,

所以NPBA即为:面角P-BC-A的平面角，

在中，PA^AB=2,

TT

所以tan/PA4=l,所以NP3A=一,

4

TT

即二面角P-BC-A的平面角的大小为二.

4

例题2已知正方体ABC。-A4G。.

(1)证明:4^平面68。；

⑵求异面直线RA与8。所成的角.

【解析】⑴证明：连接AC,交8。于点0,在正方体ABS-ABCR中，底面ABCD是

正方形，(3AC1BD,又回BOLAA，AA,ACu平面AAC,AtAlAC=A,

0BD1平面AAtC,又回ACu平面AAtC,

0A.C1BD；同理可证AC，8£,

又I3BC|、BOu平面8DG,BCQBD=B,

ElACL平面QB。.

(2)解：团RA〃GB,ElNGB。即为异面直线RA与8。所成的角,

设正方体ABC。-A|8]C[R的边长为“，则易得。|8=%)=£。=血a,

EUGBQ为等边三角形，

故异面直线与8。所成的角为g.

【解题技巧提炼】

空间中的角分为线线角、线面角和面面角，其中线线角可以将直线平移到同一个平面

内，利用正余弦定理解三角形求夹角，线面角需要将直线投影到平面上，则直线与直线投

影所成的夹角就是线面角，常利用直角三角形处理，面面角(二面角)是往交线上作垂线,

则两垂线之间的夹角就是二面角。

对点变式练I题型一空间几何体的距离问题

1.已知三棱锥尸―A5C三条侧棱以、PB、PC两两互相垂直，且PA=P3=PC=4,M、

N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M、N两点间距离的最小值为.

【答案】随-4

3

【解析】由已知可将该二棱锥补成正方体APBO-AC4A，连接尸£>，如图所示.

设三棱锥P-A8C的内切球球心为。|,外接球球心为

02,内切球与平面ABC的切点为G,

易知Q、。2、G三点均在尸。匕

在正方体中，平面APBD,•.•钙(=平面4依/),，48_1。。，

因为四边形AP3D为正方形，则M_LPD,

•.♦DDQPD=P,.•.他，平面尸。2，

•.•PQu平面POR,则PR_LAB,同理可证LAC,

;ABcAC=A,二PR1平面A8C,设内切球的半径为，外接球的半径为R,则

7?=lV42+42+42=2>/3.

2

由等体积法可得］⑸心+SABC/>+S〃AB尸+S«ABc)r=§5,神'PC,

IXSMBPPC8x422g

印^/\ACP+^/\BCP+^^ABP+^/\ABC8X3+X(4^/5y'

山等体积法可得1S.xPG二S^ABPPC,得PG=逑，

333

M、N两点间距离的最小值为尸6-2/=殍-(4-竽卜苧-4.故答案为：竽-4.

2.如图，三棱柱ABC-A4G中，侧面B8CC为菱形，BC^B,C=O,且

【解析】（1）因为BBCC为菱形，故可得BC，8G，

又因为80_LAB,ABcBC、=B,AB,BCiu面ABO,

故可得用CL面ABO,又AOu面ABO,故可得4。，耳C；

在13ABe中，因为。为BC的中点，且A0,8C，

故AO垂直平分B。，故可得AC=48,.

(2)在菱形8BCC中，因为NCBB=60。，BC=1,故回BqC为等边三角形，

则。8=正与。=OC=-B,C=-,

2'2222

山(1)可知AC=Aq,又AC1AB-且B°=l,故可得AC=¥,AO=；qC=g,

i3

故在团408中，AO2+OB2=-+-=l=AB2,故AO_LO3,

44

由A。，与。，OBcB,=O,OB,u而BB£C,故可得AOJ.面

立

又在三角形ACB中，AC=—,BC=1,AB=19

28

又sOCB=LOC*OB==XLXB=@,

ecB22228

设点O到平面ABC的距离为"，故由匕,一4叱=匕一。8。可得：gs/8cX"=gSqsX40

即且xd=@xL解得d=叵.

88214

即点。到平面ABC的距离为叵.

14

题型二空间几何体的夹角问题

1.如图，在四棱锥P-A8CZ）中，底面ABC£＞为平行四边形，A£）_L平面PCD,平面

AZ)P_L平面APC,PC=PD=2,AZ)=4,M为R4的中点.

⑴求证:PC上PD；

⑵求二面角C—用。-尸的正切值.

【解析】⑴证明：过。在平面PA。内作。FLR4,垂足为点F,

•••平面ADP_L平面APC,平面ADPc平面APC=AP,。尸u平面ADP,

.,.DF_L平面APC,

•rPCu平面APC,WODF1.PC,

平面PCD,「。匚平面?£)(7,..尸＜7_14£),

•.•A£）c£）F=。，..PC_L平面PAD,（^阳匚平面弘/）,；./5。，/7。.

⑵解：过点P在平面PAD内作PN_L/W,垂足为点N,连接CN,

由（1）知PCJ■平面APP,。加<=平面4）/5,.・.£）用，「€',

-.-DMA.PN,PNcPC=P,所以，DM_L平面PNC,

因为CNu平面PCN,所以，CN1DM,

所以，NPNC为二面角C-DW-P的平面角，

平面PC£）,尸口匚平面「皿，：“""，

■.■AD=4,PD=2,则R\=JA£>2+PZ>2=26,

•.•M为上4的中点，所以，DM=；PA=&

由SgDM=gPDSAD=:MD-PN=4=^・PN=PN=t，

2ZZ75

PC275

tanZC/vr=—；因此，二面角c—£)例—p的正切值为9.

在2

1.如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,NC=45。，AE1CD,BF1CD.将AADE

与ABCF分别沿AE,BF折起，使得点。、C重合(记为点尸)，形成图2,且AP耳'是等

腰直角三角形.

⑴证明：平面

PAE_L平面PM；

⑵求二面角P-45-F的正弦值;

(3)若=求四棱锥的体积.【解析】⑴由题意得：AELPF,

又PE_LPF,AEcPE=E，故尸产J_平面E4E；

又PFu平面PBF,故平面PAE1.平面PBF-.

(2)如图，连接PC、CD、DP,C、。分别为AB、EF的中点，

由(1)知外=依,故PCL43,又所以C£)，A5,

故/PCD即为二面角P-AB-F的平面角，

由(1)知，AEJ.平面PEF,又AEu平面故平面A5FE_L平面PEE,

又平面ABFE0平面PFE=EE/>£>JL阱，所以PD_L平面ABEF,

设EF=2a，则PE=EA=^,PA=-JPE2+EA2=2a,PC=-JPA2-AC2=6a，

PD=ED=a,

故二面角P-AB-尸的正弦值为：sinNPCD=啰邛.

p

由(2)得，PZ5_L平面又AB=下，所以AE=1,P£>=^

2

故四棱锥P-ABFE'的体积为1xlx0x^=L

323

变式综合练

1.多面体ABCQE中，△38与△口)£均为边长为2的等边三角形，AA3C为腰长为

加的等腰三角形，平面CZ5E&平面8C£>,平面平面BC£>,尸为BC的中点.

(1)求证：AF〃平面EC。；

(2)求多面体ABCDE的体积.

【解析】⑴证明：因为AABC为等腰三角形，尸为8c的中点，所以A碓8C,

又平面A3C0平面BCD,平面ABCn平面BCD=BC.AFu平面ABC.

所以平面8C£>,取C£>的中点G,连接EG,因为△COE是等边三角形，所以EG3CC,

因为平面CDfiSl平面BC。，交线为CD,且EGu平面CQE,所以EG2平面BCD,所以

AF//EG,

又AFa平面EC£>,EGu平面ECC,所以AF〃平面ECD

A

设多面体ABCDE的体积为V,则V=VE_BCD+VE_ABC,连接DF,

因为△BCD与△(?£)£均为边长为2的等边三角形，

△ABC为腰长为旧的等腰三角形，所以EG=QF=6，AF=2y[i,

所以/CD=-5AC-£G=-X—x4x^=l,

c-oSC£/3Boi.LDf34"

因为A尸〃EG,又EGcz平面48C,AFu平面ABC,所以EG〃平面ABC,

所以VE_ABC=VG_ABC=gVD_ABC=gVA_BCD=^X|SASCDAF=1X-^-X4X2>/3=1

=

故V=VE-BCD+^E-ABC2.

2.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，E,F,G,"分别是所在棱的中点.

(1)求证：E,F,G,"四点共面;

(2)求三棱锥D-GEF的体积.

【解析】(1)证明：连接”E,A4,GF

国在正方体ABCO-ABCR中，GF分别是棱AR、8c的中点

团46〃B尸且AG=B尸

回四边形AGF8是平行四边形

^A}B//GF

又在AAAB中，H,E分别是4A-AB的中点

SHE//A}B,0HE〃GF

0E,F,G.”四点共面

在底面A8C。中,

S&DEF=SABCD-SAADE-SACDF-S6BKF=2X2一/X2X1一耳X1X1-]X2X1=].

113

又由点G到平面DEF的距离为2,所以VG_DEF=-SAD£fx2=-x1x2=l.

所以VD-GEF=^G-DEF=1・

3.在如图所示的几何体中，平面ALWMJ■平面ABCD,M四边形ADMW是矩形，四边形

A8CD为梯形，AB//CD,ZDAB=O)°,2AB=2AD=CD=2.

(1)求证：4V〃平面MBC；

(2)已知直线AN与BC所成角为60。，求点C到平面MBD的距离

【解析】(1)由题意得，

取C。的中点E,连接8E、NE,则钙//EC且?W=EC,

故四边形是平行四边形，所以AE//BC,又3Cu平面MBC,所以AE//平面MBC,

又AD//BERAD=BE,ADUMNRAD=MN,

则MN"BE且MN=BE,故四边形MNEB是平行四边形，

所以NE//BM,又5/Wu平面所以NE〃平面M3C,

由AEnN£=E得，平面4VE//平面M8C,

因为4Nu平面4VE,所以AN〃平面MBC：

⑵

因为矩形ADNM±平面ABCD，所以4W_L平面ABCD,

又A3=A£>=1,ZDAB=60\DEIIAB，所以四边形ABED为菱形，

则AE=6，直线AN与AE所成角为600,

设4M的长为x,则4V=Ji+VNE=\ll+x2>

在口中，由余弦定理，得cos60。=A*八七=府

2AN-AE

1+x2+3-(l+x2)

呜=由x>0解得］=拒,

2J1+L.拒

所以SBCD=-x2x,得V"BCD=1SBCD'AM=X6=,

6bLiJ2223btii-D326

在AM8£>中，MB=也,MD=BBD=\,

〃

所以AMBD的高为'n/S’MBo_=]iX.lxv-n=_v-^n—

设点C到平面MBD的距离为h,

=SBDh=Xh=h

贝UZ-MBO^^'^^^T，

由乙-88=匕-皿。，得骼=普人解得/!=当

即点C到平面MBD的距离为名匝.

11

4.如图，四棱锥S-ABCO的底面是长方形，SA回

(2)若SA=&，A£>=1,求C。及三棱锥GSBE的体积.

【解析】(1)因为S4,平面ABCD,又5Eu平面ABCD,

所以&4_LBE.

又SCLBE,且S4cSC=S,

所以BE，平面SAC,

又3Eu平面SBE,

所以平面S8£_L平面SAC.

⑵连接AC交BE于H,因为△AHBsACHE,

,AHHBAB5

所dri以一=—=—=3

CHHECE

s

故AZ/=3C〃HB=3HE,

设CE=x,则在RtSBCE中,BH=-BE=->Jx2+l,

44

„„ABBC3x

在RtMBC中，BH==,

ACV9x2+1

所以1J，+13x

V9x2+1

解得》=且，故CD=6

3

所以勿=v-Ls.SA=-x-BCCESA=-xlx^-xy/2=—.

c-JOCo—oct3z-^z>cc3263.18

5.如图，在四棱锥E-4?C3中,四边形ABC。为矩形，平面ABC£>_L平面

ABE,AB=5,BE=BC=4,AE=3,5为棱CE的中点，P为棱A8上一点.

⑴求证：B/_L平面ACE；

⑵当P到平面ACE的距离为午时，求线段AP的长.

【解析】⑴回平面他C£>J_平面平面A3C£>n平面43E=43,

BCu平面ABCD,回8C_L平面ABE.

又13A£u平面ABE,0BC1AE.

在AABE中，AE2+BE2^AB2,根据勾股定理逆定理可得：AE1BE,又BCCBE=B,

回隹，平面8位，而8尸u平面BCE,所以AELM,

在ABCE中，BE=CB,F为CE的中点，0BF±CE,

又ElAEICE=E,回8尸J■平面ACE.

(2)

根据题意，CE=JBC2+BE?=4收，I3AEJ_平面BCE,SAEICE,

回SJCE=gx3x4&=6&,

向“18忘公632

□KfC£=§X-y-x6j2=父•

回^P-ACE=^C-AEP>

iiQ32

0K._=-x4x-x3-APsinZBAE=-AP=—,

C-AEPp3255

0AP=4.

6.如图，AMC是边长为3的等边三角形，瓦尸分别在边A8,AC上，且AE=AF=2,M

为8c边的中点，AM交EF于点0,沿E尸将AA£尸折到△£>£尸的位置，使。M=巫.

2

⑴证明：平面EFCB；

(2)若平面EFCB内的直线EN〃平面DOC,且与边BC交于点N,R是线段60的中点,

求三棱锥R-FNC的体积.

【解析】⑴••・△ABC为等边三角形，M为8c中点，.•.AA/_L3C,;.AM=

222

••AE=AF=2,即4E=-AB,AF=-AC,EF//BC,AO=-AM.

333

则在△OOM中，DO=AO=ZAM=BOM=-AM=—,DM=—,

3322

:.DM2=DO2+OM2,即。O_LQW；

QEF〃BC,:.O为EF中点,又DE=DF,：.DOLEF-

■：OMC\EF=O,OM,Mu平面EFCB,DO_L平面EFCB.

(2)连接OC,过E在平面EBCF上作ENHOC交