安徽省九年级2022中考数学冲刺复习-26解答题压轴必刷45题②

26解答题压轴必刷45题②

九.一元一次不等式组的应用（共1小题）

16.（2014•深圳模拟）扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨,现

计划用50节A、8两种型号的车厢将这批货物运至北京、已知每节A型货厢的运费是0.5

万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A

型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节8型货厢，按此要求安排A、B两

种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少，最少运费

是多少？

一十.一次函数综合题（共1小题）

17.（2022•呼兰区一模）在平面直角坐标系中，直线y=-x+2交x轴于点8,交y轴于点C,

点A在x轴的负半轴上，且SAABC=5.

（1）如图1,求直线AC的解析式；

（2）如图2,点P为第二象限内直线8c上一点，过点尸作交x轴于点E,

设点P的横坐标为ZVIEP的面积为S,求S与/之间的函数关系式；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点尸作PQLx轴于点。，过点A作AGLCE于点G,

交直线PQ于点F,FQ=2PQ-OB,点M为线段BF上一点，连接EM、EF,若NFEM+

NPEC=45°,求M点坐标.

18.（2022•郸都区模拟）如图，一次函数丫=&+"的图象经过点A（m3）和点B",-6）,

1/43

与尢轴交于点C,反比例函数y=卫经过点A和点3,sinN40C=旦.

x5

(1)求反比例函数和直线A8的解析式；

(2)点Q(0,/)为y轴上一动点，且NAQ8为钝角，求点Q的纵坐标r的取值范围；

(3)点。在直线A8上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，过点。作x轴，y轴

的垂线分别交反比例函数的图象于点凡E,直线£尸分别交x轴，)，轴于点MM,设点

。的横坐标为s,求QL/•的值.

一十二.二次函数综合题(共3小题)

19.(2022•马鞍山一模)如图，已知抛物线y=“/+bx-3经过点4(-3,0)、B(1,0),

与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为该抛物线上一点，且点尸的横坐标为，

①当点P在直线AC下方时，过点P作尸E〃x轴，交直线AC于点E,作PF〃y轴.交

直线AC于点月求PE+P尸的最大值；

②若/PCB=3NOCB，求〃？的

2/43

20.(2022•开福区一模)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(xi,yi),B(X2,

”)，如果点C(x,y)满足x=xi-JC2,-y2,那么称点C是点A,8的''双减点".例

如：A(3,2),B(-1,5),当点C(x,y)满足x=3-(-1)=4,y=2-5=-3,

则称点C(4,-3)是点A,8的“双减点”.

(1)写出点A(-l,2),B(2,-4)的“双减点”C的坐标，并且判断点C是否在直

线AB上；

(2)点E(6yi),F(Z+1,*),点G(x,y)是点E,F的“双减点”，是否存在非零

实数”，使得点E,F,G均在函数>=区的图象上，若存在，求实数k的值，若不存在，

x

请说明理由；

(3)已知二次函数y=a?+26x-2(a>b>0)的图象经过点(2,6),且与x轴交于点

M(xi,0),N(m，0),若点P为M,N的“双减点”，求点P与原点O的距离OP的

取值范围.

21.(2022•重庆模拟)如图，已知二次函数丫=0?+版+2QW0)与x轴交于点A(-1,0),

B(4,0),与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC,BC,点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD〃AC交直线BC

于点。，「£〃》轴交直线8(;于点£求周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将原抛物线向左平移5个单位长度得到新抛物线y',点M是

2

新抛物线y'对称轴上一点，点N是平面直角坐标系内一点，当点M,N,P,3为顶点

的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选一点，写出求解过

3/43

程.

备用图

一十三.全等三角形的判定与性质（共1小题）

22.（2022春•秦淮区期中）如图①，正方形ABCO中，点E是对角线AC上任意一点，过

点E作垂足为E,交8C所在直线于点F.探索AF与。£之间的数量关系，

并说明理由.

（1）如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与OE之间的数量关系是.

（2）小明用“平移法”将4/沿AO方向平移得到3G,将原来分散的两条线段集中到同

一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究。G与。E之间的数量关系.请

你按照他的思路，完成解题过程.

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一十四.三角形综合题(共2小题)

23.(2022•包河区校级一模)如图1,在中，ZABC=90°,AB=BC,BD为AC

边上的中线，点E在BC边上，连接AE交8。于点F,作8GLAE于点”，交AC于点

G.

(1)求证：DF=DG；

(2)若目L。，求tanNDBG；

BC3

(3)如图2,连接EG,当EGJ_BC时，求&旦的值.

AH

24.(2022•东至县模拟)已知：在AABC中，AB=AC=8,点。是边AC上一点，点E是

边BC上一点.

(1)若将△8A。沿BD折叠可得△BED,点A的对应点是点E.

①如图1,当/BAC=90°时，求A。的长；

②如图2,当N54C=108°时，求C£)的长；

(2)如图3,8。是NABC的平分线，NA=2NBDE,AD=3,求BE的长.

5/43

A

AA

一十五.正方形的性质（共1小题）

25.（2022•肥西县一模）如图，在正方形A8CD中，AB=9,E为4c上一点，以AE为直

角边构造等腰直角（点尸在AB左侧），分别延长尸8,DE交于点、H,OH交线段

BC于点M,AB与EF交于点G,连结BE.

（1）求证：△AFBZZsAED.

（2）当4日=6加时，求sin/MBH的值.

S.

（3）若△BE”与△£>£€1的面积相等，记△成（:与△A8E的面积分别为Si、S2,求二•的

s2

一十六.四边形综合题（共3小题）

26.（2022•庐江县二模）如图，正方形A8CD中，AB=6,将三角板放在正方形A8C£>上，

使三角板的直角顶点与。点重合，三角板的一边交A8于点P,另一边交BC的延长线于

点。.

（1）求证：DP=DQ；

⑵如图②，在图①的基础上作/尸。。的平分线。E交BC于点E,连接PE,请你猜想

PE和QE存在何种数量关系，并予以证明；

（3）如图③，固定三角板直角顶点在。点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的

延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作的平分线。E交BC的延长线

于点E,连接PE,若8P=2,求△£>”的面积.

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图①图②图③

27.(2022•宣城模拟)如图1,在边长为1的正方形A8CD中，E、F是边上的两个动

点，且满足AE=F£),连接BE、CF、BD,CF与BD交于点G,连接AG交BE'于点”,

连接

(1)求证：AABE丝ADCF；

(2)求线段。”的最小值;

(3)如图2,若E、尸重合时，延长4G交CD于例，EC与BM交于前N,求典的值.

BN

28.(2022•沈河区校级模拟)(1)如图1,点E在正方形4BCD内，且在对角线AC右侧,

连接AE,CE,EFVAE,以EF,EC为邻边作平行四边形ECGF,连接EQ,EG.当AE

=EF时，与EG之间的数量关系为

(2)如图2,点E在矩形ABCO内，且在对角线AC右侧，连接AE,CE,EF1.AE,以

EF,EC为邻边作平行四边形ECGF,连接EQ,EG,当AE=&EF,且AO：£>C=5：4,

4

求EQ：EG的值；

(3)如图3,点E在矩形A8CD内，且在对角线AC右侧，连接AE,CE,EFA.AE,以

EF,EC为邻边作平行四边形ECGF,连接ED,EG.若AO=35,8=25,空=金，

AE7

且G,D,尸三点共线.若些=工，求空的值.

EC13DF

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一十七.切线的性质(共2小题)

29.(2022•包河区二模)如图，已知A8是OO的直径，BC是。。的切线，连接OC与。O

相交于点。，过3点作垂足为E,连接AD

(1)当点E为。。的中点时，求证：BC=AD；

(2)当tan4=」>,£>E=2时，求直径AB的长度.

30.(2022•包河区一模)如图，48为。。的直径，直线于点8,点C在。。上,

分别连接BC,AC,且AC的延长线交8M于点D,CF为。。的切线交于点F.

(1)求证：CF=DF；

(2)连接。凡若A8=10,BC=6,求线段OF的长.

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【参考答案】

九.一元一次不等式组的应用（共1小题）

16.（2014•深圳模拟）扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现

计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京、已知每节A型货厢的运费是0.5

万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A

型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两

种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少，最少运费

是多少？

【解析】解：设A型货厢的节数为x,则B型货厢的节数为（50-%）节.

[35x+25（50-x）〉1530,

115x+35（50-x）＞1150'

解得：28WxW30.

为正整数，

可为28,29,30.

...方案为①A型货厢28节，B型货厢22节；

②A型货厢29节，8型货厢21节；

③A型货厢30节，B型货厢20节；

总运费为：0.5.r+0.8X（50-x）=-0.3x4-40,

：-0.3V0,

.••X越大，总运费越小，

；.x=30,

最低运费为：-0.3X30+40=31万元.

答：4型货厢30节，B型货厢20节运费最少，最少运费是31万元.

一十.一次函数综合题（共1小题）

17.（2022•呼兰区一模）在平面直角坐标系中，直线），=-x+2交x轴于点8,交y轴于点C,

点A在x轴的负半轴上，且SAABC=5.

（1）如图1,求直线AC的解析式；

9/43

(2)如图2,点P为第二象限内直线8c上一点，过点尸作PEL8C,交x轴于点E,

设点尸的横坐标为f,AAEP的面积为5,求S与f之间的函数关系式；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点P作PQLx轴于点。，过点A作AGLCE于点G,

交直线PQ于点凡F0=2P°-08,点例为线段B尸上一点，连接EM、EF,若NFEM+

【解析】解：(1),直线y=-x+2交x轴于点8,交y轴于点C,

:.将y=0代入y=-x+2得x=2,将x=0代入y=-x+2得y=2,

：.B(2,0),C(0,2),

设A0),

S^ABC—5.

：.1.(2-n)X2=5,

2

解得：〃=-3,

(-3,0),

设直线AC的解析式为：y=kx+b,

(2

.•」-3k+b=0,解得

1b=2b=2

直线AC的解析式为y=lx+2；

(2)如图1,过点尸作轴于从

10/43

将x=/代入y=-x+2得：y=2-t,

：.P(62-/),H(/,0),

•:B(2,0),C(0,2),

：.OB=OC=2,

：・NPBE=45°,

•:PE上BC,

：.PB=PE,

:・BH=EH,

：.E(2L2,0),

：.AE=-2t-1,PH=2-r,

/.S=A(2-f)(-2r-1)=a一旦L1；

♦:PQ=EQ=BQ,

:・BE=2PQ,

•：BE-OB=OE,

11/43

：・2PQ-OB=EO,

■:FQ=2PQ-OB,

：.FQ=EO,

ZCEO+ZEAC=90Q,

ZAFQ+ZFAQ=90°,

NCAE=NFAQ,

：.ZCEO=ZAFQ,

•・・NCOE=NAQ尸=90°,

/\AOC^/\FQA(ASA),

：AQ=OC=2,

：.Q(-1,0),E(-4,0),

。尸=EO=4,

；.tanNCEO=殁=上，

0E2

；NFEM+NPEC=45°,

ZFEM+ZCEO=45°,

:.NFEM=4CEO,

tanZFEM—^-=—,

AT2

设RT=a,AT=2a,

VtanZEFO=^-=胆=3,

TFQF4

•・•a__^3―9

FT4

."T=&,

3

'：ET+TF=5,

2a+—a=5,

3

."=3,

2

:.TR=3,TF=2,

2

•••FR=、TR2+FT2=〃

12/43

：.OR=OF-FR=4-8=3,

22

：.R(-1,-3),

2

：.直线EM解析式为y=

2

,/直线BF解析式为y=£-旦，

33

14

y=_yx-2X=IT

c,解得，

_4824,

点坐标为（_£，-24）.

1111

一十一.反比例函数综合题（共1小题）

18.（2022•郸都区模拟）如图，一次函数），=依+〃的图象经过点A（a,3）和点B（6-6）,

与x轴交于点C,反比例函数v*经过点A和点2,sin/AOC=3.

x5

（1）求反比例函数和直线A8的解析式；

（2）点。（0,f）为），轴上一动点，且24QB为钝角，求点。的纵坐标f的取值范围；

（3）点。在直线AB上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，过点。作x轴，y轴

的垂线分别交反比例函数的图象于点凡E,直线EF分别交x轴，y轴于点N,M,设点

。的横坐标为s,求型/•的值.

【解析】解：（1）如图，过点A作ARLOG于R,连接AO,

13/43

•・•点A(m3),

・"R=3,

：sin/A0C=3=岖，

5AO

，AO=5,

•,-0/?=VAO2-AR2=4,

.,.点A(-4,3),

：.m=-4X3=-12,

反比例函数解析式为尸士，

X

•:点BQb,-6)是反比例函数图象上,

-6b=-12,

••Z?=2,

・••点3(2,-6),

则16=2kw,

I3=-4k+n

;J.

解得：2，

n=-3

直线AB的解析式为尸-当-3；

(2)如图，取AB中点7,以AB直径作。7,交y轴于T,

14/43

•.•点A(-4,3)和点8(2,-6),

，4B=3岳，点T(-1,-3),

2

9•*AB是直径，

AZAQB=90°,

:.QT=XAB=M^-,

22

/.(-1-0)2+(-3--z)2=11L,

24

..“=也亘一旦或尸一叵I一旦，

2222

...当-V113_3<£<±1亘-3时，ZAQB是钝角；

2222

(3)•.•点。的横坐标为s,

二设点。(s,力,

•.•过点。作x轴，y轴的垂线分别交反比例函数的图象于点尸，E,

.•.点E(-卫，力，点尸(s,-卫)，

tS

：.DE=-卫-s,DF=t+—,

ts

,:DH〃ON,

：・NONM=/DEF,

：.tanZONM=tan/。£：尸=%

ONDE

•-•0M■DF_——t,

ONDEs

.QM_3=_工R=_t+3

ONssss

;点。在直线AB上,

15/43

t=~Ms-3,

2

.,.t+3=-虫s,

2

A0M_J_=3_

"ON"7~2

一十二.二次函数综合题(共3小题)

19.(2022•马鞍山一模)如图，已知抛物线〉=0?+公-3经过点A(-3,0)、B(1,0),

与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为近

①当点P在直线AC下方时，过点P作尸E〃x轴，交直线AC于点E,作P尸〃y轴.交

直线4c于点F,求PE+PF的最大值；

②若NPCB=3NOCB，求机的

【解析】解：(1):抛物线丫=«?+公-3经过点A(-3,0)、B(1,0),与)，轴交于点

C.

.f9a_3b_3=0

"la+b-3=0'

解得：卜口，

lb=2

抛物线的解析式为y=/+2x-3；

(2)①在y=/+2x-3中，令x=0,得y=-3,

：.C(0,-3),

设直线AC解析式y=fcc+〃，(-3,0)、C(0,-3),

16/43

.f-3k+n=0

'ln=-3

解得：产-1,

ln=-3

直线AC解析式y=-x-3,

：0A=0C=3,ZAOC=90°,

tanNACO=^^=±=1,

OC3

/.ZACO=45°,

•••点P为该抛物线上一点，且点尸的横坐标为m,

:.PCm,m2+2m-3),

•・・PE〃x轴，尸尸〃y轴，

・••尸(相，-〃l3),ZPFE=ZACO=45°,NE尸产=90°,

^L=tanZPFE=tan45°=1,

PF

；・PE=PF=-m-3-(m1+lin-3)=-m2-3加，

：.PE+PF=2(=-2(，”+S)2+-5-,

22

；-2<0,

当tn=-3时，PE+PF的最大值=9；

22

②作点B关于y轴的对称点夕(-1,0),连接B'C,过点B'作"D±B'C交CP

于D,过点。作OELx轴于E,

:NPCB=3NOCB,

：.ZPCO=2ZOCB,

•：OB=OB',OC±BB',

...tan/OCB=a=工，tanZOCB,=P5_=Ji,

OC3OC3

tanZOCB=tanZOCBz,

：.NOCB=NOCB',

:.NPCB'=NOCB,

：.tanZPCB'=tanZOCB=A,即

3BzC3

•：B'^/oB/2+OC2"Vl2+32^'

17/43

：.B',

3

,：4CB'D=ZB'ED=90°,

：.ZDB'E+ZCB'0=90°,

,：ZOCB+ZCB'0=90°,

：.ZDB'E=NOCB,

：.sinZDB'E=sinNOCB=_^_=_^=2/I^,cosZDB'E=cosNOCB=-^—=

_BzCV1010Bzc

3=3V10.

7Toio_

..DE.B，E=3面,

,,ByDBzD10___

ADE=2/1Q,B,V10,X2/1^-=A,B'E=B'D=3VX百^=1,

10103310103

：.OE=OB'+B'E=l+1=2,

：.D(-2,1)，

3

设直线CD解析式为y=kix+",

'1(4

,-2ki+b1,匕二f

则：＜3,解得：＜3,

bJ=~3bJ=-3

直线CD解析式为y=4-3,

3

10

X-

7y=—3*v-3s,解得一Xj=02T

联立方程组：（舍去），

9为二一313

y=x"+2x-3丫2丁

"=当

18/43

20.(2022•开福区一模)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(xi,yi),B(X2,

M，如果点C(x,y)满足x=xi-X2,y=yi-",那么称点C是点A,B的“双减点例

如：A(3,2),2(-1,5),当点C(x,y)满足x=3-(-1)=4,y=2-5=-3,

则称点C(4,-3)是点A,B的“双减点

(1)写出点A(-I,2),B(2,-4)的“双减点”C的坐标，并且判断点C是否在直

线AB上；

(2)点E(6yi),F(什1,*),点G(x,y)是点E,F的“双减点”，是否存在非零

实数晨使得点E,F,G均在函数)，=乂的图象上，若存在，求实数k的值，若不存在，

X

请说明理由；

(3)已知二次函数了=〃/+2公-2(〃>b>0)的图象经过点(2,6),且与x轴交于点

M(xi,0),N(X2,0),若点P为M,N的“双减点”，求点P与原点O的距离OP的

取值范围.

19/43

【解析1解：(1)根据A(-1,2)、8(2,-4)及“双减点”的定义可知,

4和B的“双减点”C的坐标为：(-3,6),且点C在直线18上，

设直线A8的解析式为：y—kx+b,

将：4(-1,2)、8(2,-4)代入得：<pk+b=2,解得：［k=-2,

|2k+b=-4Ib=0

即直线AB的解析式为：y=-2x,

将C点坐标代入y=-2x,验证可知，C点在直线AB上；

(2)依据E(6yi),F(f+1,>-2).

即尤=/_(r+1)=-1,y="_yi,

则“双减点”点G的坐标为(-1,

将七(f,y\),F(/+1,*),G(-1,”-yi)代入y=K,

x

'k

得:’了2*，

k

了尸2=五

得方程产+什1=0,即(1+工)2+3=0,方程无实数解，

24

故不存在非零的实数使得点及F,G均在函数y=K的图象上；

x

(3)二次函数y=*+2bx-2的图象经过点(2.6),

有6=4a+48-2,即a+b=2.

令y=0，得关于x的一元二次方程薪+2公-2=0,

根据根与系数的关系有：x,+x*上且，x,・xc=2，

X1x2a12a

•：a>b>0,

AXI,X2异号,

在不影响结果的前提下，故根据方程的对称性及解答方便，可设Xl>0>X2,

又,：a+b=2.

20/43

•；a>b>0,a+b=2.

：.\<a<2,

即2Vxi-JC2<2^/3»

TP为M(xi,0),N(X2,0)的“双减点”，

・・・P点的纵坐标为0,即尸点在轴上，

则P点在坐标原点O的距离为尸点的横坐标xi-X2,

则有OP的取值范围：2VOPV2M.

21.(2022•重庆模拟)如图，已知二次函数>="/+以+2(aWO)与x轴交于点A(-1,0),

B(4,0),与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC,8C,点P是直线2c上方抛物线上一点，过点P作P£>〃AC交直线BC

于点£>,尸后〃》轴交直线8(?于点£求△PDE周长的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，将原抛物线向左平移5个单位长度得到新抛物线y',点M是

2

新抛物线y'对称轴上一点，点N是平面直角坐标系内一点，当点M,N,P,B为顶点

的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选一点，写出求解过

程.

21/43

.*-b+2=0,解得

I16a+4b+2=0

•••抛物线的解析式为：丫=-12+当+2.

22

(2)•.•)，="/+2x+2,

-22

・••当x=0时，y=2,

：.C(0,2).

・・.设直线8C的解析式为：尸丘+2,

・・,直线8C过点8,

.•.4k+2=0,解得&=-1.

2

直线8c的解析式为：)，=-L+2.

2

设点P(机，-』_〃?2+告机+2)(0<zn<4),

22

'.E(zn2-3m,-^-m2+—m+2),

22

PE=-m2+4m.

VA(-1,0),B(4,0),C(0,2).

：.AB=5,AC=V5，BC=2近,

."△ABC=3A/^+5,

'：PD//AC,PE〃x轴，

，NPDE=ZACB,ZABC=ZEPD,

:.丛PDES/\ACB,

.CAPDE_PEupCAPDE_~m2+4m

,△ACB杷3V5+55

22+12>/5+4,

C&PDE=3^^+5(-m+4m)=-+5-2)

555

.....3/5+5_<0)

5_

当"?=2时，CAPDE的最大值为L2Y5+4,

5

此时尸(2,3)；

22/43

（3）,>>=-A?+3a-+2=-±（x-2）2+空，该抛物线向左移动5个单位，

222282

...新抛物线的解析式为：>'=-1（X+1）2+2殳，

28

...新抛物线的对称轴为直线X=-1,

设M（-1,

①当线段BP为菱形的对角线时，MP=MB,

'：P（2,3）,B（4,0）,

.•.时产=於-6什18,M82=p+25,

-6r+18=?+25,解得t=-工,

6

的中点为（3,3）,

2

：.N（7,空）.

6

当线段PB为菱形的边时，

,:P（2,3）,B（4,0）,

：,MP1=t1-6/+18,PB2=13,MB2=t2+25,

①当MP=PB时，MP1=PB1,即r2-6r+18=13,

.../=1或t=5；

：.M（-1,1）或（-1,5）；

.•.8M的中点分别为（旦，1）或（3,1）

222

：.N（1,-2）或（1,2）.

②当8P时，8"=8/，即13=尸+25,无解；

综上，点N的坐标为（7,空）或（1,-2）或（1,2）.

6

一十三.全等三角形的判定与性质（共1小题）

22.（2022春•秦淮区期中）如图①，正方形A2C。中，点E是对角线AC上任意一点，过

点E作EFA.AC,垂足为E,交BC所在直线于点F.探索AF与DE之间的数量关系，

并说明理由.

（1）如图②，当E是对角线AC的中点时,AF与。E之间的数量关系是AF=\[?DE.

（2）小明用“平移法”将4尸沿AO方向平移得到。G,将原来分散的两条线段集中到同

23/43

一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究。G与OE之间的数量关系.请

你按照他的思路，完成解题过程.

【解析】解：(1)AF=MDE,理由如下：

,四边形A8CD是正方形，E是对角线AC的中点,

：.AC±BD,AE=BE=CE=DE,

\"AB2=AE1+BE2,

：.AB2^2DE2,

点与F点重合，

：.AF2=2DE2-,

:.AF=®DE；

故答案为：AF=®DE；

(2)如图，过点、E作MN〃CD交AD于点、N,交8C于点M,

•.•四边形ABC。是正方形,

24/43

AZDAB=ZB=ZBCD=ZADC=90°,AB=BC=CD=DA,ZACB=45°,

・・・NNMC=1800-ZDCM=90°,

・・・四边形MCDN是矩形，

:・ND=MC,MN=CD,/DNE=90°,

VEF±AC,

・•・ACEF是等腰直角三角形，

：.EM=FM=CM,

：・EM=DN,

由平移可知：BF=CG,AF=DG,

：.BF+FM=CG+MC,

":NE=MN-EM,BM=BC-CM,MN=CD=BC,

:・NE=BM=MG,

在△£>四£和△EMG中，

<DN=EM

<ZDNE=ZEMG=90"，

NE二MG

・••△DNE2LEMG(SAS),

:・DE=EC,/DEN=/EGM,

VZEGM+ZMEG=90Q,

：・/DEN+NMEG=90°,

：.ZDEG=\SO°-90°=90°,

•••△OEG为等腰直角三角形，

:.DG=42DE.

一十四.三角形综合题(共2小题)

23.(2022•包河区校级一模)如图1,在中，NA8C=90°,AB=BC,BD为AC

边上的中线，点E在3C边上，连接AE交5。于点R作3GLAE于点”，交AC于点

G.

(1)求证：DF=DG；

(2)若型」，求tanNOBG；

BC3

25/43

(3)如图2,连接EG,当EG，3c时，求生■的值.

AH

【解析】(1)证明：在RtZ\ABC中，AB=BC,BO为AC边上的中线,

：.AD=BDfZADB=ZBDC=90°,

VBG±A£,

ZAHB=90°=/BDC,

,?/AFD=/BFH,

：.ZDAF=ZDBGf

:AADF安/\BDC(ASA),

:・DF=DG,、

(2)解：如图1,

过点E作EM_LAC于M,

VBD±AC,

：.EM//BD,

・CMCE

••―一…—9

CDBC

..BE=1

*BC京，

•.•CE_2^―,

BC3

.CM=2

,*CD~3

设CM=2m,则C£>=3"?,

在RtaCME中，EM=CM=2m,CE=^CM=2如m,

；.BC=3后〃3

:.AC=J^BC=6m,

26/43

：.AM=AC-CM=4m,

VdnADAF=^-——,

AM2

由(1)知，NDAF=NDBG,

.*.tan/QBG”；

2

(3)解:如图2,

过点E作ENLAC于N,

设CN=”，则EN=",CE=&CN=®〃,

YEGLCE,

:.CG=®CE=2〃,

设BD=AD=CD=a,

C.DG^CD-GN=CD-CN=a-n,

AN=AC-CN=2a-n,

由(1)知，NEAN=NGBD,

；N4NE=NBOG=90°,

丛AENsXBGD,

.EN_AN

'*DG=BD"

・n2a-n

•---------=：----------，

a-na

...a=(2+V3)〃或片(2-F)n(不符合题意，舍去),

.'.AN—2a-n—(3+2^3)〃，

•：NAHG=NANE=9Q°,ZHAG=ZNAE,

：./\AHG^/\ANE,

-AH_HG

'*AN=EN，_

•GH=EN=n=2V3-3

"AHAN(3+2<3)n-3一.

27/43

A

图2

图1

24.(2022•东至县模拟)已知：在△ABC中，AB=AC=8,点。是边AC上一点，点E是

边8C上一点.

(1)若将△8AO沿BD折叠可得△BED,点A的对应点是点E.

①如图1,当NBAC=90°时，求4。的长：

②如图2,当NBAC=108°时，求CD的长；

(2)如图3,B。是/A8C的平分线，NA=2/BDE,AL>=3,求BE的长.

【解析】解：（1）①•；4B=AC=8,NBAC=90°,

AZC=45°,

•.♦△BA。沿BD折叠得到△BED,

:.NBAC=NBED=NDEC=90",AD=ED,

...△£>£(:是等腰直角三角形,

:.AD=DE=EC.

设AD=DE=EC=x,则DC=8-x.

28/43

在RtZ^DEC中，D*+EU=DU,

即，+/=(8-x)2,

解得：x=8亚-8,或x=-8后-8(负值舍去).

・・・A。的长为8点-&

②如图2,过点A作A尸〃OE交BC于点尸.

•・・A8=AC=8,ZBAC=108°,

AZC=ZABC=^X(1800-ZBAC)-|x(180°-108°)=36°，

△84。沿BD折叠得到△BED

；・BE=BA=8,ZBED=ZBAC=108°,

：.ZDEC=180°-ZBED=180°-108°=72°,

：.ZEDC=ZBED-ZC=108°-36°=72°,

:"DEC=4EDC,

：.DC=EC.

•:kF"DE、ZDEC=72°,

AZAFC=ZDEC=12°.

VZABC=36°,

：.ZBAF=ZAFC-ZABC=12°-36°=36°,

，ZABC=ZBAFf

：.AF=BF,

同理/C=AC=8,

:・AD=FE,

设CD=EC=y,则AD=FE=DE=8-y.

：.BF=AF=BE-FE=S-(8-y)=y.

又「A/〃DE,

:•△DECs△AFC.

・DECD

••mF’

即入工

y8

解得y=4遥-4或y=-4遥-4(负值舍去).

...CD的长为4A后-4.

29/43

(2)如图3,过点A作AG〃8C交的延长线于点凡交3。的延长线于点G.

・・•&)是NA3C的平分线，

JNABD=NCBD.

ZBDC=ZBDE+/CDE=ZABD+ZBAC,ZBAC=2ZBDE,

：.ZBDE+ZCDE=/ABD+2NBDE,

即NCQE=NABD+/BDE.

ZCED=ZCBD+ZBDE,

；./CDE=/CED.

:.CD=CE.

VAD=3,AB=AC=Sf

：.CD=CE=AC-AD=S-3=5.

■:AG//BC,

:・NAGD=/CBD=NABD,AGAD^ABCD,

•'-GA=AB=8,梁次，

BCCD

•・•8~3>

BC5

一十五.正方形的性质（共1小题）

25.（2022•肥西县一模）如图，在正方形48CZ）中，AB=9,E为AC上一点，以AE为直

角边构造等腰直角△AEF（点尸在AB左侧），分别延长FB,DE交于点、H,交线段

30/43

BC于点M,AB与EF交于点G,连结BE.

(1)求证：△AFB四△AED

(2)当A£=6j］时，求sinNMB”的值.

(3)若△BE”与△/)£(:的面积相等，记△EMC与△ABE的面积分别为Si、S2,求」Si­的

S2

值.

【解析】(1)证明：在正方形ABC。中，AB^AD,/BAC=NC4O=45°,

VZFAE=90,N丛8=45,AE=AF,

:.NBAF=NDAE=45°,

在△AFB和△4£：£)中，

rAF=AE

<ZBAF=ZDAE>

AB=AD

A