高中数学161微积分基本定理教案新人教A版选修2-2

2013年高中数学1.61微积分基本定理教学设计新人教A版选修2-21．变上限制积分（1）定积分xx的函数，记为xf(x)dx是上限变量Ф(x)=f(x)dx或aaxФ(x)=f(t)dt，称为变上限制积分。a定理1（原函数存在定理）若函数f(x)在[,]上连续，则函数ab()=xf(t)dt（≤≤）aaxb在[a,]上可导，且导数为Фˊ()=f(x)（≤≤）bxaxb由此定理可知Ф(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数（2）若函数f(x)在[a,b]上连续，g(x)可导，则定理2（牛顿—莱布尼兹公式）若函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，即Fˊ(x)=f(x)，则bbF(b－Faaa要点难点打破1．对于变上限制积分有时我们可能会碰到形式上更一般的变上限、变下限、上下限都变的积分，形如(x)b(x)f(t)dtG(x)=f(t)dt，H(x)=(x)f(t)dt，Ф(x)=a(x)这些积分就不可以简单地当作[a,b]上的函数，但相同能够求G(x)（H(x)，Ф(x)）的导数（在它们可导的条件下）。此进，可把α(x)，β(x)当作中间变量，再利用复合函数的求导法例，求出它们的导数，下边给出它们的求导公式：d()=ddxGxdx

(x)=f[()]βˊ()f(t)dtβxxadddxH(x)=dx

bf(t)dt=－f[α(x)]αˊ(x)(x)dФ(x)=ddxdx

(x)(x)

f(t)dt=f[β(x)]βˊ(x)－f[α(x)]αˊ(x)2、对于牛顿—莱布尼兹公式牛顿—莱布尼兹公式不单在定积分这部分内容中，并且在整个微积分学中都是一个很重要的结论，主要表此刻以下方面：（1）将一个用复杂形式定义出的定积分的计算变成求被积函数的原函数在积分上下限两点的函数值之差，或许说将一个复杂的和式极限的计算变成求不定积分的计算。2）揭露了定积分与不定积分两个不一样观点之间的联系，因为不定积分被当作是求导函数的逆运算，从而这一公式也反应出了微分学与积分学之间的联系解题方法指导1．变上限的定积分对上限的求导方法例1已知F(x)sinxtdt，求F(x)．x21解F(x)sinx1tdt=c1tdt+sinx1tdtx2x2c=x21tdtsinx1tdt，ccF(x)=1x2(2x)+1sinxcosx=2x1x21sinxcosx．例2设f(x)=sinx1t2dt，求fˊ(x)1解：fˊ(x)=1sin2x(sinx)ˊ=cosx1sin2x例3设F(x)=0t2dt，求Fˊ(x)x2arctg21t解：Fˊ(x)=arctgx42x41x4(x)ˊ=－2xarctg1x4例4设G(x)=x2etdt，求Gˊ(x)lnx解：Gˊ(x)=e-x(x)ˊ－eln2x(lnx)ˊ=1e-x－1eln2x2xx小结假如定积分上限是x的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；假如定积分的下限是x的函数，那么将定积分的下限变成变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；假如复合函数的上限、下限都是x的函数，那么利用