考点06椭圆（原卷版）

考点06椭圆1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．2、椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．5、点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.6、求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．7、判断直线与椭圆的位置关系通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．8、解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．10、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．考点一求椭圆的标准方程1．（2022秋·吉林·高二统考期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B．C． D．2．（2022秋·新疆·高二新疆实验校考期中）已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．4．（2022秋·陕西西安·高二西安市第三中学校考期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．考点二点与椭圆的位置关系6．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若点在椭圆的外部，则的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2022秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.8．（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18考点三椭圆的定义及其应用根据椭圆的方程求参数的范围9．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2022秋·湖南长沙·高二校联考期中）已知方程表示椭圆，则的取值范围为（

）A．且 B．且C． D．11．（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或12．（2022秋·河南信阳·高二统考期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（

）A．， B．，C．， D．，椭圆的焦点三角形问题13．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，若，则（

）A．9 B．7 C．5 D．314．（2022秋·陕西西安·高二西安市曲江第一中学校考期中）已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点，若点是线段的中点，则的周长为（

）A．6 B．5 C．12 D．1015．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）椭圆​的离心率为​，其左、右焦点分别为​，上顶点为​，直线与椭圆另一交点为​，则内切圆的半径为（

）A．​ B．​ C．​ D．​16．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（

）A．或 B．或C．或 D．或17．（2022秋·云南·高二云南省下关第一中学校考期中）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（

）A．9 B．3 C．4 D．818．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（

）A． B． C．0 D．1考点四求椭圆的离心率求椭圆的离心率19．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（

）.A． B． C． D．20．（2022秋·湖北荆州·高二校联考期末）已知分别为椭圆的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．21．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．22．（2022秋·四川乐山·高二校考期中）已知分别是椭圆的左右焦点，是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在y轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．求椭圆的离心率的取值范围23．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．24．（2022秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）已知点满足，且点Q恒在在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（

）A． B． C． D．25．（2022秋·浙江金华·高二期末）已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．（三）由椭圆的离心率求参数（范围）26．（2022秋·甘肃白银·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．27．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中）椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（）A．2 B． C．4 D．8考点五与椭圆有关的轨迹问题29．（2022·高二单元测试）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．30．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．31．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期中）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（）A． B． C． D．32．（2022秋·浙江金华·高二校联考期末）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．考点六直线与椭圆的位置关系33．（2022秋·山东滨州·高二校考期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定34．（2022秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（

）A． B．C． D．35．（2022秋·江苏徐州·高三期末）椭圆：经过点，点是椭圆的右焦点，点的直线交椭圆于两点（A点位于x轴下方），且，则直线的斜率为（

）A．1 B．2 C． D．36．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．考点七弦长及中点弦问题弦长问题37．（2022春·海南省直辖县级单位·高二校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．38．（2022秋·广东佛山·高三统考期中）已知四边形是椭圆的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形为矩形，则四边形的面积的最大值为（

）A． B． C． D．39．（2022秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若的内切圆的周长为，则直线的方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或40．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（

）A． B．2 C． D．4（二）中点弦问题41．（2022秋·江苏宿迁·高二校考期中）椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（

）A． B． C． D．42．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．43．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B陃点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．44．（2022秋·西藏拉萨·高二拉萨中学校考期末）已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（

）A．6 B． C． D．考点八求椭圆的参数或范围问题45．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设点，分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（

）A．0 B．1 C．2 D．346．（2022秋·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．47．（2022秋·北京通州·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点．(1)求椭圆的方程及焦点坐标；(2)若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围．48．（2022秋·福建龙岩·高二统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过右焦点作直线交于，其中的周长为的离心率为.(1)求的方程；(2)已知的重心为，设和的面积比为，求实数的取值范围.考点九求椭圆的最值问题49．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（

）A． B． C． D．50．（2022秋·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（

）A． B．1 C．3 D．951．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最近距离为______.52．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为__________．53．（2022秋·河南·高二校联考期中）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．54．【多选】（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，直线与椭圆交于、两点，则（

）A．的最大值为B．的内切圆半径C．的最小值为D．若为的中点，则直线的方程为55．【多选】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（

）A．存在点，使得B．的面积最大值为C．点到直线距离的最大值为D．的最大值为7考点十椭圆的定点、定值问题56．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知椭圆C：过点，椭圆C离心率为，其左右焦点分别为，，上下顶点为，.(1)求椭圆C的方程；(2)点Q是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；(3)若M，N为椭圆C上相异两点（均不同于点），，的斜率分别是，，若.求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标.57．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．(1)求C的方程；(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．58．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）己知椭圆，过点．(1)求C的方程；(2)若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．59．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．60．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知椭圆（）的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为．(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆右顶点为，为椭圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；(3)若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程．61．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.考点十一椭圆中的向量问题62．（2022秋·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知椭圆的右焦点为，离心率．(1)求的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．63．（2022秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；(2)已知点、是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程.64．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）已知，是椭圆M：的左右焦点．(1)若C是椭圆上一点，求的最小值；(2)直线与椭圆M交于A，B两点，O是坐标原点．椭圆M上存在点P使得四边形OAPB为平行四边形，求m的值．65．（2022秋·福建三明·高二校联考期中）已知，是椭圆：的焦点，，是左、右顶点，椭圆上的点满足，且直线，的斜率之积等于(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交于，两点，若，，其中，证明考点十二椭圆的实际应用问题66．（2022春·上海杨浦·高二校考期中）某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？67．（2022秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程