考点09双曲线的15种常见考法归类（原卷版）

考点09双曲线的15种常见考法归类1、双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．2、求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．3、双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.4、双曲线渐近线的求法和设法1、若双曲线方程为渐近线方程：2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）5、求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)求解．(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq\f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．6、直线和双曲线的一些重要结论(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)双曲线中点弦的斜率公式设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有证明：设，，则有，两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以：，所以7、双曲线的实际应用(1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．(2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：①建立适当的坐标系．②求出双曲线的标准方程．③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．考点一求双曲线的标准方程1．（2022·广西·统考一模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·云南丽江·高二统考期末）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．4．（2022秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（

）A． B． C． D．5．（2022春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．考点二双曲线的焦点三角形6．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（

）A．2 B．10 C．14 D．2或107．（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于两点，且，则（

）A． B． C． D．8．（2022秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（

）A．2 B．4 C． D．9．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．3010．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．811．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（

）A． B． C． D．12．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（

）A．8 B．12 C．16 D．2413．（2022秋·重庆云阳·高二重庆市云阳凤鸣中学校校考期末）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（

）A． B． C． D．考点三双曲线定义的应用14．（2022·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．15．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．（2022秋·江西吉安·高二统考期末）“，”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．（2022秋·吉林·高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．18．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．919．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（

）A． B． C． D．20．（2022秋·河南鹤壁·高二河南省浚县第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．考点四双曲线的对称性21．（2022秋·天津河北·高三天津市扶轮中学校考期末）已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（

）A． B．C． D．22．（2022秋·河南·高三校联考期末）已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（

）A． B． C． D．23．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（

）A．2 B．3 C．4 D．5考点五与双曲线有关的轨迹方程24．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．25．（2022秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．26．（2022秋·湖南怀化·高二统考期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．27．（2022秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（

）A． B．C． D．考点六双曲线的离心率求双曲线的离心率28．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（

）A． B． C． D．29．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．230．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，高为的梯形的两顶点分别在双曲线的左､右支上，且，则该双曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．31．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．32．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．33．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．求双曲线离心率的取值范围34．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）35．（2022秋·四川眉山·高二眉山中学校考期中）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．37．（2022·高二课时练习）已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．38．（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．由双曲线的离心率求参数的取值范围39．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．40．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（

）A． B． C． D．考点七与双曲线的渐近线有关的问题42．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．43．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（

）A． B． C． D．44．（2022秋·河北邯郸·高二校考期末）双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（

）A． B．C． D．45．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知点，分别是双曲线的左右焦点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的的渐近线方程是（

）A． B．C． D．46．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（

）．A． B． C． D．47．（2022秋·福建三明·高二永安市第九中学校考期中）设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（

）A．90° B．45° C．60° D．30°考点八直线与双曲线的位置关系48．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知直线l：和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．49．（2022秋·安徽合肥·高二校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（

）A．或 B．C． D．50．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条51．（2022秋·北京朝阳·高二统考期中）已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件52．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与双曲线交于，两点，若，则这样的直线有（

）A．0条 B．2条 C．3条 D．4条考点九直线与双曲线的弦长问题53．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．54．（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（

）A．2 B． C． D．355．（2022秋·天津和平·高二天津一中校考期中）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，，则的面积是（

）A． B． C． D．56．（2022秋·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A．1 B． C． D．357．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点A，B在上，若（为坐标原点），，则的面积为（

）A．16 B．24 C．32 D．36考点十直线与双曲线的中点弦问题58．（2022秋·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．59．（2022秋·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为(

)A．0 B．1 C．2 D．360．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．61．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．考点十一双曲线中的向量问题62．（2022·湖南·模拟预测）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．63．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，的顶点在轴上，顶点在的左支上，直线分别与的右支交于两点，若，且，则的渐近线方程为___________.64．（2022秋·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）双曲线的左､右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限），则双曲线C的离心率为______．65．（2022秋·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.66．（2022秋·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.67．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，且，过原点O的直线l与双曲线E相交于不同的两点C，D，且.(1)求双曲线E的标准方程；(2)设点P是双曲线E的右支上一点，过点P的直线m与双曲线E的两条渐近线分别交于点，，其中，若，且，求面积的取值范围.考点十二双曲线中参数范围及最值问题68．（2022秋·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（

）A． B． C． D．69．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．70．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．71．（2022秋·江苏南京·高三校联考期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．72．（2022·四川乐山·统考二模）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．考点十三双曲线的定点、定值问题73．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.74．（2022秋·山东潍坊·高二潍坊一中校考期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线(1)求曲线C的方程；(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．75．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．(1)求双曲线方程；(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．76．（2022秋·浙江金华·高三期末）已知双曲线上一点，直线交于，点.(1)证明：直线与直线的斜率之和为定值；(2)若的外接圆经过原点，求的面积.77．（2022秋·四川·高二四川省科学城第一中学校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点(1)求双曲线方程；(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.78．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．(1)求C的方程；(2)求证：为定值，并求出该定值．79．（2022秋·辽宁锦州·高二校考期中）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.考点十四双曲线的实际应用80．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知两地相距800米，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟2秒，设声速为340米/秒.(1)爆炸点在什么曲线上？(2)求这条曲线的方程.81．（202