2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练期末测试二(含详解)

期末测试（二）

1221

球球学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.假设从高一年级全体同学（500人）中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将

500名同学按000,001,499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右

读取，最先抽出的5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）（）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695556719981050717512867358074439523879

A.455068047447176B.169105071286443

C.050358074439332D.447176335025212

2.已知复数/-4+（a-2）i是纯虚数（i为虚数单位）,则4=()

A.2或一2B.2C.-2D.0

3.若水平放置的四边形AOBC按"斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中AC1BC，

f

AC=lfOP=2,则原四边形AO3C的面积为（）

C.3&D.呼

/A.12B.6

/O'B'X'

4.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄

金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A,」B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，已知

空W,则（）

AP2

A

入/鼠CT=^-CA+^lcE

B.CT=^L±CA+^XCE

22

CD

C.犷=三正与+互避ED.卞=2

ICA+J2Z1.CE

4442

5.函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期为（）

3兀n

A.九B.—C.2.71D.一

22

6.设a=1coslO「-避'SinlO”,_2tanl3,c=.l-——,则。，b,c大小关系正确的是（）

221+tan213°V2

A.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

7.甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,若采用三局二胜制,

则甲最终获胜的概率为（）

A.0.368B.0.468C.0.648D.0.848

8.如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3万，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,则该圆台的体积为

()

二、多选题

9.在AABC中，角所对的边分别为a,4c,以下说法中正确的是（）

A.若A>8,贝IsinA>sinB

rr

B.若。=8,6=10,A=£,则符合条件的三角形有两个

4

C.若a=4,6=5,c=6,则AABC为钝角三角形

a2+b2sin（A+8）

D.若干不=.M工,则AABC为直角三角形

a-bsin（A-B）

10.全市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的

数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），

将数学成绩按如下方式分成八组：第一组［65,75）,第二组［75,85）,…，第八组［135,145］.按上述分组方法

得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是（）

A.第七组的频率为0.008

B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分

C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分

D.该班级数学成绩的标准差的估计值大于6

11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为"连

续10天，每天新增疑似病例不超过7人"，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲

地：中位数为2,极差为5；乙地：平均数为2,众数为2;丙地：平均数为2,中位数为3；丁地：平均数

为2,方差为2,甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

12.如图，平面四边形中，是等边三角形，且AB=8O=2,M是的中点.沿BO

将△BCD翻折，折成三棱锥C-A3D,翻折过程中下列结论正确的是（）

存在某个位置，使得CM与比）所成

角为锐角

B.棱CD上息恰有一点N,使得MN”平面ABC

C.当三棱锥的体积最大时，ABLBC

D.当二面角A-3Z）-C为直角时;三棱锥的外接球的表面积是詈

三、填空题

13.欧立公式膻=cos，+isin。（i为虚数单位，e为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为"数学中的天桥"，若将其中。取作兀

就得到了欧拉恒等式晓+1=（）,它将两个超越数一一自然底数e,圆周率兀，两个单位一虚数单位i,自然数

单位1,以及被称为人类伟大发现之一。联系起来，数学家评价它是"上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若

复数zM—'i,则z3=

2

2sina-cos

14.若cosr则nl

15."幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间［0,10］内的一

个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感

指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,乙得到十位市民的幸福感指数的

平均数为8•方差为2.2,则这20位市民幸福感指数的方差为

16.如图，棱长为1的正方体中，P为线段AB上的动点（不含端点），则下列结论正确

②NAPR的取值范围是（0段

①平面。APJ.平面AAP；

③三棱锥片-RPC的体积为定值；④DCJDR

四、解答题

17.在AABC中，角A8,C的对边分别为a,"c,cosA+石sinA=2.

⑴求角A；

——3—

（2）若点。满足AO=：AC,且BC=2,求△BCD面积的取值范围.

4

【解析】

2I

18.已知复数4=cosa+isina,Z2=cos/?-isin夕,a,夕均为锐角，K|z,-z,|=^-

⑴求cos（c+月）的值；

4

⑵右cosa=《，求cos/?的值.

19.如图，已知在平面四边形ABCP中，。为以的中点，PA^AB,CD//AB,且勿=CD=2AB=2.将此

平面四边形ABCP沿CD折起，使平面PCD0平面ABCQ,连接出、

⑴求证：平面P8CW平面PBD；

(2)设Q为侧棱PC的中点，求直线PB与平面Q8Q所成角的余弦值.

20.如图，在四棱锥P-A8C£)中，已知A3〃C£),AD^CD,AB=AD=1,DC=DP=2,PD0平面ABCD

⑴求证：86平面PB。；

(2)设M,N分别为棱以，PC的中点，点T满足丽=3取，求证：MT//BN.

21.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办.这是中国历史

上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽

取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.

的值，并根据直

方图估计该市全体中学生的测试分数的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结

果保留一位小数)；

(2)现要对测试成绩在前26%的中学生颁发“滑雪达人"证书，并制定出能够获得证书的测试分数线，请你用样

本来估计总体，给出这个分数线的估计值.

22.高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据

分析，将他们的分数分成以下几组：第一组［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),第四组［60,80),第五

组［80,1()0］,得到频率分布直方图，如图所示.

频率

丽

0.0175

0.0150

0.0100⑴试估计这次竞赛成绩的众数和平均数;

0.0005

0.0025

O2040100分数

（2）已知100名学生落在第二组［20,40）的平均成绩是32,方差为7,落在第三组［40,60）的平均成绩为50,

方差为4,求两组学生成绩的总平均数嚏和总方差

⑶已知年级在第二组［2°，相）和第五组［80/00］两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行

座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组［8°，10°］的概率.

期末测试（二）

1221

球球学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.假设从高一年级全体同学（500人）中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将

500名同学按000,001,499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右

读取，最先抽出的5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）（）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695556719981050717512867358074439523879

A.455068047447176B.169105071286443

C.050358074439332D.447176335025212

【答案】B

【解析】从随机数表第8行第11列的数1开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的5名同学的号码是169,

105,071,286,443.故选：B.

2.已知复数〃2一4+（〃-2万是纯虚数（i为虚数单位），则“=（）

A.2或-2B.2C.-2D.0

【答案】C

【解析】因为复数〃2-4+（a-2）i是纯虚数，所以/一4=0且4工2,所以a=—2.故选：C.

3.若水平放置的四边形AOBC按"斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中Hcv/atr,AC1BC.

A'C'=1,O'B'=2,则原四边形AOBC的面积为（）

A.12B.6

【答案】C

【解析】因为ACHOB',AC±BC',A'C'=1,O'S=2,

所以由斜二测画法的直观图知可。A=夜，

所以由斜二测画法的画法规则还原原图形QSC，如图:

B

所以ACV/08,OA±OB.AC=1,OB=2,AO=2AO'=2x&=2&，

所以梯形。4BC的面积为S=1(l+2)x2&=3&.故选：C.

4.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄

金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，已知

"=避且，贝IJ()

AP2

A

A.CT=^HcA^HcEB.卞=坛1,3+叵i!酝

W人/卜2+22

2

CD

C.CT=^!LcA+k^icED.cf=k2!LcA+^L±CE

4442

【答案】A

【解析】设AP=1,则P7=叵1=TS,CP=1+叵］=^^」=CS，

222

11__1

CT=CA+AT=CA+-^—TS=CA+-^(CS-CT)=CA+-^—(——

-CE-CT)

V5-1V5-1V5-12+避二1

+2

=CA+CE-JLtlcT,

2

所以叵2次=a+函，所以方=止叵目+上且3.故选：A

222

5.函数y=(sinx+cosx)2的最小正周期为()

37r_%

A.兀B.—C,2兀D.一

22

【答案】A

【解析】因为y=(sinx+cosx)~=sin2x+2sinxcosx+cos2x=l+sin2x,

所以函数的最小正周期为：=兀，故选：A6.设〃='coslO-立sinlO、b-2tan13/l-cos50°

c，C-J---------

2221+tan213°V2

则q,b,c大小关系正确的是()

A.a<b<cB.c<h<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】C

iG

【解析】«=—cos10-^-sin10°=cos(60°+10°)=cos70°=sin20°,

2sinl3°

b=2忸1113°=cos13。=2sin13°cos130=sin26°,

1+tan213°,sin-13°

1+y

cos213°

1-COS50=7sin225-=sin25°,因为函数V=sinx在(0,])上是增函数,

故sin20,<sin25*<sin26°,即acccb.故选:C.

7.甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,若采用三局二胜制,

则甲最终获胜的概率为（）

A.0.368B.0.468C.0.648D.0.848

【答案】C

【解析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.6x0.6=0.36二是前两

局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为C；0.6x0.4x0.6=0.288,而这两种情况是互斥的，所以甲最终

获胜的概率为0.36+0.288=0648,故选：C

8.如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3万，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,则该圆台的体积为

)

拽加B.拽万C.阻D,阻

361224

【答案】D

【解析】圆台的侧面展开图是一扇环,设该扇环的圆心角为a,

则其面积为，xax42-Lax2?=3万,

得a

222

所以扇环的两个圆弧长分别为灯和27，设圆介的上底半径，下底半径分别为4,4,圆介的高为力,

则2町=肛2万弓=2万所以｛,4=1，又圆台的母线长/=4-2=2

2而

所以圆台的高为“=』22=-----

2

出+/+%V15_7715c

-

所以圆台的体积为万Xy-=24式•故选：D.

二、多选题

9.在△ABC中，角A,民C所对的边分别为〃，4c,以下说法中正确的是（）

A.若A>3,则sin4>sinB

B.若a=8,6=10,A=1,则符合条件的三角形有两个

C.若a=4,b=5,c=6,贝lj△回（;为钝角三角形

a2+b2sin（A+B）

D.若一字=.二二,则dBC为直角三角形

a-bsin（A-B）

【答案】ABD

【解析】对于A,因为A>8,所以由大角对大边，得所以由正弦定理得2/?sinA>2/?sin8,因为2R>0,

所以sinA>sinB,所以A正确，

对于B,因为a=8,〃=10,A=%，所以A8边上的高为力=AinA=10sin工=5五,因为人<。<匕，所以符合

44

条件的三角形有两个，所以B正确，

对于C,因为。=41=5,c=6,所以角C最大，因为COSC="2+〃-C2=16笊-36=：>0,所以角c为锐

2ab2仓458

角，所以AABC为锐角三角形，所以C错误，

2222

,,n,,a+b_sin（A+B）a+hsinC

Xu于D,由2»2一•/An\，得-5--T=---------------------，

22

a-bsin（A-B）a-bsinAcosB-cosAsinB

a"+b~_c_c

所以工。2+。2_万万+。2_。2二滔丁,所以"+从=/,所以△ABC为宜角三角形，所以D

a------------b-

2ac2bc

正确，故选：ABD

10.全市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的

数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），

将数学成绩按如下方式分成八组：第一组［65,75）,第二组［75,85）,…，第八组［135,145］.按上述分组方法

得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是（）

A.第七组的频率为0.008

B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分

C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分

D.该班级数学成绩的标准差的估计值大于6

【答案】BCD

【解析】对于A,利用频率之和为1,可得第七组的频率为

1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)x10=0.08,选项A错误；

对于B,成绩在第一组到第八组的人数分别为2,6,8,15,10,3,4,2,所以中位数在第四组[95,105)内.设

中位数为X,0(0.004+0.012+0.016)x10=0.32<0.5,所以0.32+0.030x(x-95)=0.5,解得x=101,所以该

班级数学成绩的中位数的估计值为101分，选项B正确；对于C,该班级数学成绩的平均分的估计值为

70x0.04+80x0.12+90x0.16+100x0.3+110x0.2+120x0.06+130x0.08+140x0.04=102(:分)，选项C正

确；

对于D,*x[2x(70-102)2+6x(80-102)2+---]>^x2x(70-102)2=40.96>36,所以标准差的估计值大

于6,选项D正确.故选:BCD.

11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为"连

续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲

地：中位数为2,极差为5；乙地：平均数为2,众数为2；丙地：平均数为2,中位数为3；丁地：平均数

为2,方差为2,甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】ACD

【解析】•.•甲地的中位数为2,极差为5,所以，最大值不大于2+5=7,故A符合；

若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0、0、0、2、2、2、2,2、2、8,

则满足平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B不符合；假设丙地至少有一天

新增疑似病例人数超过7人,

0+0+0+0+3+3+3+3+3+8

111中位数为3可得平均数的最小值为=2.3>2

10

与题意矛盾，故c符合;

假设至少有一天新增疑似病例超过7人，则方差的最小值为］X(8-2)2=3.6,与题意矛盾，故D符合.故

选：ACD.

12.如图，平面四边形ABC。中，△BCD是等边三角形，且AB=8O=2,M是的中点.沿瓦)

将△BCD翻折，折成三棱锥C-A3D,翻折过程中下列结论正确的是()

存在某个位置，使得CM与B3所成

角为锐角

B.棱CD上息恰有一点N,使得MN//平面ABC

C.当三棱锥的体积最大时，ABLBC

D.当二面角A-8Z)-C为直角时;三棱锥C-ABO的外接球的表面积是詈

【答案】BCD

【解析】取8。中点E,连接C£,ME,如图，因△BCD是正三角形，有而M是AD的中点,

有ME//4?,而9_L,则ME工BD，CEcME=E,CE,MEu平面CME,

于是得BQ_L平面CME,CMu平面CME,所以CM_L8£>,A不正确；

取CD的中点N,连MN,因M是A。的中点，则MN//AC,ACu平面ABC,MNZ平面ABC,所以MN

//平面ABC,B正确；

因2g>=gAB-°B=2，要三棱锥C-树的体积最大，当且仅当点C到平面题距离最大，

由选项A知，点C到直线BD的距离CE=8,NCEM是二面角A-BD-C的平面角，当NCEM=90"时，CE1

平面说，即当C到平面池距离最大为CE="时，三棱锥C-ABO的体枳最大，此时CELME,有

CE1AB,

而AB_LBD，CEr\BD=E,CE,8£>u平面BCD,则有AB_L平面BC。，BCu平面BCD,所以A3_L3C,

C正确；

三棱锥C-ABD的外接球被平面BCD所截小圆圆心。|是正△BCO的中心，OtE=—,

3

被平面A3。所截小圆圆心为点M,设球心为0,连。Q,0M,则0QJ•平面88,O0_L平面AB/）,

当二面角A-必-C为直角时，由选项C知，。£_1_平面48。，平面8CO,有0M"O、E,OOJ/ME,

四边形。。£知为矩形，0M=0、E=昱,连A0,在RtZkAQM中，

22

AO=yjAM+OM=J（扬?+g）2=5,

所以三棱锥C-ABD的外接球的表面积S=4兀♦A0?=晋，D正确.故选：BCD

三、填空题

13.欧立公式e1"=cosO+isin。（i为虚数单位，e为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为"数学中的天桥"，若将其中。取作几

就得到了欧拉恒等式/+1=0,它将两个超越数一一自然底数e,圆周率兀，两个单位一虚数单位i,自然数

单位1,以及被称为人类伟大发现之一。联系起来，数学家评价它是"上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若

复数z=^-1i,则z3=__________.

22

【答案】-i

[解析]解法一：2=乎一则z2=(ggi]俘_gi]=g_争

22122人22J22

[22)[22)

解法二：0z=--—i=cos—K+sin—7C

2266

0z3=cos—71+isin—7T=-i故答案为：一i.

22

什(九)2sina-cosa

14.右cos|丁-a|=£,则rliI------——=______.

【4J3cos2a

【答案】一逑##-3夜

44

【解析】13cos[?-a)=¥(sina+cosa)=1',0sina+cosa=,0sina-cosa-130

----------------=-----------------=--------

cos2asina+cosa4

故答案为：-逑.

4

15."幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间［0,10］内的一

个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感

指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,乙得到十位市民的幸福感指数的

平均数为8.方差为2.2,则这20位市民幸福感指数的方差为

【答案】1.95

【解析】设乙得到的十位市民的幸福感指数分别为X-X”……，X10.

甲得到的十位市民的幸福感指数分别为X”，X12,……，X20,

由平均数为8,知X1+%+……+”80,

所以这20位市民的幸福感指数之和为XI+%+……+X2（）=150,平均数为辞=7.5.

110

由方差定义，乙所得数据的方差。*=总工（用-8）2=2.2,

1Ui=i

由于X1+X?+……+X。=80,解得X：+X；+……+X寄=662,

因为甲得到十位市民的幸福感指数为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,

所以X：+X1+……+X；（,=502,

所以这20位市民的幸福感指数的方差为

120120|

高£区-7.5）2=云£x；-7.52=/><（662+502）-7.52=1.95.故答案为：1.95

2U；=|2Ur=|2U

16.如图，棱长为1的正方体AB8-A46。中，P为线段A/上的动点（不含端点），则下列结论正确

①平面。平面AAP;②NAPR的取值范围是（0卷；

③三棱锥用-RPC的体积为定值；@DC}lDtP.

【答案】①③④【解析】回"4,平面AAP，12平面。⑶尸！•平面AAP,①正确;

若P是AB上靠近4的一个四等分点,”=可倒修此时

2222

AP=AA；+A,P-2AA.XA.PXCOS45=-,DXP+AP<AD',此时NRPA为钝角，②错；

8

由于BP〃CD-则3尸〃平面耳因此P一旦的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，③正

确；

而RC_LDC|,D.C/f^B,所以。q_LAB,且nq_L4R,ABflAR=4,所以。GJ.平面APR,RPu平

面APR，因此。G，RP,④正确.

PlCl

\/「'、故答案为：①③④

AB

四、解答题

17.在AABC中，角A8,C的对边分别为a,/?,c,cosA+八inA=2.

⑴求角A；

—3—

⑵若点。满足皿*3且叱=2,求△B8面积的取值范围.

【解析】

【分析】(1)因为cosA+6sinA=2所以2sin[A+%J=2,且440,万),,4=1.

bca4

⑵•.八一.小一•A一仄，

smnsinesinA，3

,1616.(21小16(百.h1.16(百11

/.be=—sinBsinC=—sinnsin------B\=———sinBcosn+—sinB=———sm2B+------

33I3)3^22)3^444

48.*

=—+—sin2B.

33I6)

,•・(*)日葛，

/.Z?CG(0,4].

・2板=夕入出4€(0,6].

-3—

因为点。满足：所以_1O.qB

4Q=4C,S/CD-,^^BCD54•

且|z「Z2|=半.

18.已知复数4=cosa+isina,z2=cos/?-isin民a,夕均为锐角,

⑴求cos(a+/7)的值;

4,.

(2)若cosa=w，求cos/7的值.

【解析】⑴因为复数4=cosa+isina,z2=cos/y-isin〃，所以马-z2=(cosa-cos⑶+i(sina+sin0.

所以[z]-Z21=J(cosa-cos/?)~+(sina+sin/7y

=j2—2(cosacos/?—sinasin0=j2—2cos(a+/7)因为忆=，所以j2-2cos(a+Q)=,解得:

cos(a+0=].

⑵因为。，尸均为锐角，所以。＜。+尸＜九，

所以sin(a+夕)=^1-COS2(6Z+/?)

4i----------------3

因为a为锐角，coscz=—,所以sina=J1—cos?a=

5

所以cos/7=cos[(a+/?)_a]

./小.433424

cocosa+sin(a+p)sina=-x-+-x—

25

19.如图，已知在平面四边形ABCP中，。为力的中点，PA^AB,CD//AB,且%=C£>=248=2.将此

平面四边形4BCP沿CD折起，使平面PCD0平面ABCO,连接以、

⑴求证：平面PBCI3平面尸8。；

(2)设Q为侧棱PC的中点，求直线PB与平面QB。所成角的余弦值.

【解析】⑴团平面PCD，底面ABC。，平面PC£)n底面ABC£>=8,PDu平面PCD,

且由抬_LAB，8//43知电)，8,I2PDL平面ABC。，

又BCu平面ABC。，0BC±PD.

取8中点E,连接BE,则且BE=A£>=1，

在RtA4B。中，BD=&.，在Rt/CE中，BC=^2.

^BD2+BC2=4=CD2,EBC±BD,1aBe_L平面尸80.

自BCu平面PBC,0平面PBC_L平面PSD.

-V

°⑵设点P至U面QBD的距离为h,因为心附)一VQ-PBD，

点Q到面P3。的距离为点。到面P3Q的距离的一半，即为93=#，S△"=gxlx及=孝，所以

17_142>/2_1

xx=

VO-PBD=7-y--y7-

3226

在三角形Q3。中，BD=M，QD=；PC=与=QB,

点Q到8。的距离为JQB?=聆_：=#,则%加,=；x及、手=乎,

由Vp_QBD=VQ_PBD,可得UX—h»所以力=.

6343

直线PB与平面QBD所成角的正弦值为7口=A=&.即cosa=巨

-J33

20.如图，在四棱锥尸一A8CD中，已知A3〃C。，ADSCD,A8=AZ)=1,DC=DP=2,P00平面

ABCD.

(1)求证：8C0平面PBD；

⑵设M,N分别为棱％,PC的中点，点T满足方=3万，求证：MT//BN.

【解析】(1)面A8C。，又BCu面ABC£>,.♦.8CJ_P£>,

取CD中点E,连接8E,则8EJ_C£>,且B£=l,

在RtZVlBO中，BD=6，在R/V3CE中，BC=6,

•.•BD2+BC2=(>/2)2+(V2)2=22=CD2,BCrBD,

•;PDcBD=D，BC_L平面尸B£>.

⑵取中点，，连接8N,HN,AH,MT，由丽=3万，所以知T为P/7中点,

又M是R4中点，所以MT〃AH,

乂N分别为棱尸C的中点，所以HN〃CD且HN=gCD,