2022年中考数学真题汇编：全等三角形2(含解析)

2022年中考数学真题分类练习：全等三角形

1.（2022大庆）下列说法不比现的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

2.（2022云南）如图，OB平分/AOC,D、E、尸分别是射线OA、射线08、射线OC上的点，。、E、F

与。点都不重合，连接即、EF若添加下列条件中的某一个.就能使AOOEMAFOE,你认为要添加的那

个条件是（）

A.OD=OEB.OE=OFC.ZODE^ZOEDD.ZODE^ZOFE

3.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段A6剪成两个全等的图形，则N1的度数是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

4.（2022百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如

己知AABC中，ZA=30°,AC=3,N4所对的边为旧，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如

图的AA8C是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

C.2g或GD.2G或2百-3

5.（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图

中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是（）

A.4B.8C.12D.16

6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形ABC。中，Z4BC=60°,动点E在A3边上（与点A、B均不

重合），点F在对角线AC上，CE与所相交于点G,连接AG,OF,若AF=BE，则下列结论错误的

A.DF=CEB.=120°C.AF?=EGECD.AG最小值为述

3

7.（2022黔东南）如图，PA，P3分别与。。相切于点A、B,连接P。并延长与。。交于点C、D,若

C£>=12,24=8,则sin/ADB的值为（）

8.（2022海南）如图，正方形ABCD中，点反尸分别在边BC、8上，AE=AF,ZEAF=30°,则ZAEB=

°；若~4石户的面积等于1，则A3的值是.

9.（2022贵阳）如图，在四边形ABCO中，对角线AC,BO相交于点E，AC=BC=6cm,

ZACB=ZADB=90°.若3E=2AD,则△ABE的面积是cm2,ZAEB=度.

10.（2022北部湾）如图，在正方形A8CD中，AB=40，对角线AC相交于点O.点E是对角线

AC上一点，连接BE,过点E作EFLBE，分别交CD,3。于点尸、G,连接BF,交AC于点H,将△用“

沿所翻折，点H的对应点H,恰好落在BD上，得到^EFH'若点F为。的中点，则4EGH的周长是

11.（2022安徽）如图，平行四边形0A8C的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B,C在第一象限,

11^

反比例函数y，的图象经过点C,y=一（ZkO）的图象经过点艮若OC=AC,则4=

12.（2022铜仁）如图，四边形ABC。为菱形，NA8C=80。，延长BC到E,在NOCE内作射钱CM,使得

ZECM=30°,过点。作。凡LCM,垂足为F.若DF=«,则8。的长为（结果保留很号）.

13.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，NA4C=90°,点M,N分别为BC,AC上的动点,

且AN=CW,AB=0当AM+BN的值最小时，CM的长为

14.（2022大庆）如图，正方形ABC。中，点E,尸分别是边上的两个动点，且正方形4BC。的周

长是所周长的2倍，连接分别与对角线AC交于点M,N.给出如下几个结论：①若

AE=2,CV=3,则£F=4；②/EFN+4EMN=\80。；③若AM=2,C7V=3,则M?V=4；④若

MN

——=2,BE=3,则£E=4.其中正确结论的序号为.

AM

15.（2022铜仁）如图，点C在BDh,AB±BD,ED±BD,ACyCE,AB=CD.求证：AA5Cg△COE.

16.（2022福建）如图，点8,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,/B=NE.求证：NA=N

D.

17.（2022广东）如图，已知NAOC=NBOC,点P在OC上，PD±OA,PE1OB,垂足分别为。，E.求

证：XOPD^JOPE.

18.（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图

的四边形其中A8=CZ）=2米，4D=BC=3米，ZB=30°

（1）求证：AABC也△CD4；

（2）求草坪造型的面积.

19.（2022大庆）如图，在四边形中，点E,C为对角线叱上的两点,

AB=DF,AC=DE,EB=CF.连接AE,CO.

A

D

(1)求证：四边形他力「是平行四边形;

(2)若AE=AC，求证：AB=DB.

20.(2022云南)如图，在平行四边形ABCD中，连接8。E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线

交于点凡连接AF,ZB£>F=90°

(1)求证：四边形A8OF是矩形；

(2)若4)=5,DF=3,求四边形48c尸的面积S.

21.(2022北部湾)如图，在QABCD中，8。是它的一条对角线,

(1)求证：X烟汪：

(2)尺规作图：作8。的垂直平分线EF,分别交A。，BC于点E,尸(不写作法，保留作图痕迹);

(3)连接BE,若ZDBE=25°,求NAE3的度数.

22.(2022梧州)如图，在QABCD中，E,G,H,尸分别是A8,BC,CD,上的点，且

BE=DH,AF=CG.求证：EF=HG.

BGC

23.（2022福建）如图，8。是矩形ABC。的对角线.

（1）求作。A,使得。A与8。相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设8D与OA相切于点£,CF±BD,垂足为尸.若直线C尸与04相切于点G,求

tanZAD8的值.

24.（2022遵义）将正方形A8CD和菱形EFG”按照如图所示摆放，顶点。与顶点H重合，菱形EFGH

的对角线HE经过点B,点E,G分别在AB,8c上.

（1）求证：AADE'CDG；

（2）若AE=BE=2,求成的长.

25.（2022贵阳）如图，在正方形中，E为A£>上一点，连接BE,1组的垂直平分线交A3于点”,

交CD于点、N,垂足为。，点F在。C上，且"F〃A£>.

(1)求证：AABEmAFMN；

(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.

26.(2022北京)如图，A8是。。的直径，CD是。。的一条弦，AB，CD,连接AC,OD

(2)连接过点C作CE，QB,交的延长线于点E，延长。。交AC于点尸，若尸为AC的中点,

求证：直线CE为00的切线.

27.（2022福建）已知ZX/WC且△DEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如图1,C8平分NACO,求证：四边形ABOC是菱形：

(2)如图2,将(1)中的绕点C逆时针旋转(旋转角小于N8AC),BC,OE的延长线相交于点巳

用等式表示/ACE与/EFC之间的数量关系，并证明;

(3)如图3,将(1)中的ACOE绕点C顺时针旋转(旋转角小于/ABC),若NBAD=NBCD,求NADB

的度数.

28.(2022安徽)已知四边形ABC。中，BC=CD.连接8。，过点C作8。的垂线交A8于点E,连接DE.

图1图2

(1)如图1,若DE〃BC,求证：四边形3CDE是菱形;

(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.

(i)求的大小；

(ii)若AF=AE,求证：BE=CF.

29.(2022毕节)如图1,在四边形A8C0中，AC和相交于点O，AO=CO,?BCA?CAD.

(1)求证：四边形ABCO是平行四边形；

(2)如图2,E,尸,G分别是8O,CO,A£>的中点，连接若BD=2AB,8C=15,AC=16,

求AEEG的周长.

30.(2022玉林)问题情境：

在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB=AC②DB=DC③

NR4£>=NC4£>若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？

解决方案：探究△43。与△AC。全等.

问题解决：

⑴当选择①②作为已知条件时，△回£>与八4。。全等吗？(填“全等”或“不全等”)，理

由是：

(2)当任意选择两个等式作为己知条件时，请用画树状图法或列表法求△A5O名△AC/D的概率.

31.(2022梧州)如图，以AB为直径的半圆中，点。为圆心，点C在圆上，过点C作CD〃,且CO=.连

接A。，分别交OC,3C于点E,F,与。。交于点G,若NA8C=45°.

(1)求证：@AABF^ADCF；

②CO是0。的切线.

EF

(2)求"的值.

FG

32.(2022北京)在A4BC中，ZACB=90，。为△ABC内一点，连接30，。。延长。。到点E,使

得CE=DC.

图1图2

(1)如图1,延长BC到点尸，使得CF=BC,连接■，EF若AF上EF，求证：BDA.AF,

(2)连接AE,交BD的延长线于点〃，连接CH,依题意补全图2,若AB?=AE?+3。？，用等式表示

线段CO与CH的数量关系，并证明.

33.（2022北部湾）已知NMQV=2,点4,B分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

（1）如图①，若。=90°,取AB中点。，点A,B运动时，点。也随之运动，点A,B,。的对应点分别

为A',B\D',连接ODQD.判断OD与OD有什么数量关系?证明你的结论：

（2）如图②，若。=60°,以A8为斜边在其右侧作等腰直角三角形48C,求点。与点C的最大距离：

（3）如图③，若。=45°,当点A,B运动到什么位置时，AAOB的面积最大?请说明理由，并求出AAOB

面积的最大值.

34.（2022云南）如图，四边形ABC。的外接圆是以BD为直径的。。，P是。。的劣狐BC上的任意一点,

连接力、PC、PD,延长BC至E,使

（1）请判断直线OE与。。的位置关系，并证明你的结论;

（2）若四边形ABC。是正方形，连接AC,当P与C重合时，或当P与B重合时，把一而一转化为正

PA+pr厂

方形ABC。的有关线段长的比，可得------上=&是否成立？请证明你的结论.

PD

35.（2022海南）如图1,矩形ABCO中，AB=6,AZ>=8,点P在边8。上，且不与点5、C重合，直线

AP与0c的延长线交于点E.

(1)当点尸是BC的中点时，求证：AA5P名△ECP；

(2)将△柳沿直线”折叠得到AAPB'，点8'落在矩形ABCD的内部，延长P8'交直线AD于点?

①证明E4=F尸，并求出在(1)条件下心的值；

②连接B'C，求△PCB'周长的最小值：

③如图2,38'交AE于点H,点G是AE的中点，当NE45'=2NAEB'时，请判断A3与外的数量关

系，并说明理由.

36.(2022百色)已知抛物线经过A(-1,0)、B(0、3)、C(3,0)三点，。为坐标原点，抛物线交正

方形OBOC的边8。于点E,点M为射线80上一动点，连接OM,交BC于点、F

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：NBOF=NBDF：

(3)是否存在点何使AMDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长

37.(2022北京)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点尸给出如下定义：将点尸向右(a20)

或向左(a<0)平移同个单位长度，再向上S20)或向下3<。)平移例个单位长度，得到点P',点P'关

于点N的对称点为。，称点Q为点P的“对应点”.

(1)如图，点点N在线段OM的延长线上，若点打—2,0),点。为点P的“对应点”.

②连接P。,交线段ON于点T.求证：NT=-OM;

2

（2）。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段。0上，且=，若P为。。外一点，

2

点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。。上运动时直接写出尸。长的最大值与最小值的差（用含t的

式子表示）

38.（2022甘肃武威）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=，x+3）（x—a）与x轴交于A,B（4,0）两

点，点c在y轴上，且OC=OB,D,E分别是线段AC,AB上的动点（点。，E不与点A,B,C重

合）.

\小/\心/小/

人工Io7B*

图1图2图3

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接。E并延长交抛物线于点尸,当。E_Lx轴，且AE=1时，求DP的长；

（3）连接3。.

①如图2,将△BCD沿x轴翻折得到ABFG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

②如图3,连接CE,当C£>=AE时，求89+CE的最小值.

39.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:

如图，AABC和ABDE都是等边三角形，点A在。E上.

求证：以AE、A。、AC为边的三角形是钝角三角形.

（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接。C，根据已知条件，可以证明OC=A£,ZADC=\20°,从

而得出AAOC为钝角三角形，故以AE、AD，AC为边的三角形是钝角三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

（2）【拓展迁移】如图，四边形ABCO和四边形3GEE都是正方形，点A在EG上.

①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.

②若AE2+AG2=10,试求出正方形A8CO的面积.

40.（2022铜仁）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BO相交于点O,记△C8的面积为5,

的面积为S2.

5.OCOD

（1）问题解决：如图①，若AB//CO,求证：»门口

d2OA-Ot>

（2）探索推广：如图②，若AB与CO不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由.

（3）拓展应用：如图③，在。4上取一点E,使OE=OC,过点E作成〃CO交。。于点凡点”为A3

的中点，OH交EF于点、G,且0G=2GH,若匹=之,求今值.

41.（2022河南）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片ABC£>,使A。与重合，得到折痕E凡把纸片展平；

操作二：在A。上选一点P,沿8P折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接尸”，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30。的角：.

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片4BC。按照（1）中的方式操作，并延长PM交C。于点Q,连接8Q.

①如图2,当点M在EF上时，NMBQ=°,NCBQ=°；

②改变点P在AO上的位置（点尸不与点A,。重合），如图3,判断与NCBQ的数量关系，并说明

理由.

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当/。=1cm时，直接写出AP的长.

2022年中考数学真题分类练习：全等三角形参考答案

1.（2022大庆）下列说法不亚项的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

【答案】解：A、设Nl、Z2为锐角，

因为：Z1+Z2+Z3-18O0,

所以：/3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形,

故A选项不正确，符合题意；

B、如图，在AABC中，BELAC,COJ_A8,且BE=CO.

NCDB=/BEC=90°,

在Rt^BCD与Rt^CBE中，

CD=BE

BC=CB'

:.RMBCD^RtACBE（HL）,

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,即△ABC是等腰三角形.，

故B选项正确，不符合题意；

C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，，

故C选项正确，不符合题意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，

故D选项正确，不符合题意；

故选：A.

2.（2022云南）如图，OB平分NAOC,。、E、尸分别是射线。4、射线08、射线OC上的点，D、E、F

与。点都不重合，连接即、EF若添加下列条件中的某一个.就能使△OOE空△FOE,你认为要添加的那

个条件是（）

A.OD=OEB.OE=OFC.N0DE=40EDD.NODE=NOFE

【答案】解：平分NAOC

NAOB=NBOC

当AOOE也△尸OE时，可得以下结论：

OD=OF,DE=EF,NODE=NOFE,ZOED=ZOEF.

A答案中。。与OE不是ACOE四△FOE的对应边，A不正确；

B答案中OE与。尸不是△OOE丝△尸OE的对应边，B不正确；

C答案中，/OOE与NOEZ）不是△OOE且的对应角，C不正确；

D答案中，若/ODE=NOFE,

在△OOE和△尸OE中，

ZDOE=ZFOE

<OE=OE

/ODE=/OFE

：./\DOE^/\FOE（AAS）

，D答案正确.

故选：D.

3.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段A3剪成两个全等的图形，则N1的度数是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【答案】解：•••纸片是菱形

.•.对边平行且相等

AZl=80°（两直线平行，内错角相等）

故选：C.

4.（2022百色）活动探究：我们知道，己知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如

己知AABC中，NA=30。，AC=3,/A所对的边为6，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如

图的AABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（)

C.2#)或6D.2百或2百-3

【答案】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即NC=90。,

•.♦"=30。,5。=石，

AB=2BC=2G；

如图，当△A8C是一个钝角三角形时,

:.ZCDA=90°=ZCDB,

\-CB=CB「

BD=B[D,

­.•ZA=3O°,AC=3,

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=C，

21

：.BQ=^B[C-CD=#=8。，

BBl=V3,

AB】—AB—BB、—V3，

综上，满足已知条件的三角形的第三边长为20或G，

故选：C.

5.（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图

中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是4x（3-1）=8.

故选B.

6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形A8CO中，Z4JBC=60°,动点E在AB边上（与点A、B均不

重合），点F在对角线AC上，CE与所相交于点G,连接AG,DF,若AF=BE，则下列结论错误的

是（）

B

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF?=EGECD.AG最小值为逆

3

【答案】解：•••四边形ABC。是菱形，ZABC=O)°,

：.AB=AD=BC^CD,NBAC=NDAC=gNBAD=gx(l80°-ZASC)=60°=ZABC，

A/\BAF^/\DAF^CBE,△ABC是等边三角形，

:.DF=CE,故A项答案正确，

NABF=NBCE,

•：ZABC=ZABF+ZCBF=60°,

：.ZGCB+ZGBC=60°,

.*.ZBGC=180°-60°=180(ZGCB+ZGBC)=120",故B项答案正确，

,/NABF=ZBCE,ZBEG=ZCEB,

：.4BEGs^CEB,

.BECE

••一,

GEBE

：.BE2=GE・CE,

AF=BE，

，AF2=GE・CE,故C项答案正确，

VZBGC=12O°,BC=\,点G在以线段BC为弦的弧8c上,

当点G在等边AABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

「△ABC是等边三角形，BC=\,

ABF±AC,ZGAF=30°,

：.AG^2GF,4G2=GF2+A产，

AG2=；3AGJ+（g）,解得AG=*,故D项错误，

故应选：D

7.（2022黔东南）如图，PA，依分别与。。相切于点A、B,连接尸。并延长与OO交于点C、D,若

CD=\2,24=8,则sinNAOB的值为（）

【答案】解：连结04

PA.PB分别与。。相切于点A、B,

：.PA=PB,OP平分N4P8,OP_LAP,

,ZAPD=ZBPD,

在△"£>和△BPD中，

AP=BP

<ZAPD=NBPD,

AD=AD

:.△APDgBPD(SAS)

JZADP=ZBDPf

9

\OA=OD=6f

：.NOAD二/ADP二NBDP,

：.ZAOP=ZADP+ZOAD=ZADP+ZBDP=ZADB,

在放ZkAO尸中，OP=JOA2+「尸2=]0,

”84

sinZADB=—=—=-

OP105

故选A.

8.（2022海南）如图,正方形ABC。中，点E、F分别在边8C、CDh,AE=AF,ZEAF30。，贝|JNA£B=

°；若△/!£尸的面积等于1,则AB的值是.

【答案】•..正方形ABC。

NB=ZD=NMZ)=90°，AB=AD=DC=CB

'：AE=AF

：.Rt^ABE=Rt^ADF(HL)

AZBAE^ZDAF,BE=DF

VZE4F=30°,ZBAE+ZDAF+ZEAF=90°

/.ZBAE=NDAF=ZEAF=30°

，ZAEB=60°

设BE=x

AB=6X,DF=BE=X,CE=CF=(6-1)X

・q

••U.AEF=S正方形AASCO-S^ABE-SAADF-/

=AB2--ABBEX2--CECF

22

———y[?>X'x—(5/3—l)x,(,^3—l)x

2

=x2

V&4E/的面积等于1

X2=1,解得x=l,x=-\(舍去)

AB—y[^X=

故答案为：60；73.

9.(2022贵阳)如图，在四边形ABC。中，对角线AC,B。相交于点E，AC=BC=6cm,

ZACB=ZADB=90°.若BE=2AD，则/MBE的面积是cm2,ZAEB=_____度.

NACB=ZADB=90°,ZAED=NBEC,

s.^ADE~.BCE，

.ADAE

・・・BC=AC=6,BE=2AD,

设AD=m,BE=2m,

m_AE

62m9

2

:.CE=6--,

3

在RtVBCE中，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，

62+(6—y)2=(2m)2,

解得病=36—18正或加=36+18近，

,•・对角线AC,B。相交于点E，

M=36-18夜，

4E=12-6立，

CE=672-6-

S.ABE=gAEBC=gx(12-6&)x6=36-180cm:

过点E作EF_LAB,垂足为凡

ZACB=90°,AC=BC,

ABAC=ZABC=45°=ZAEF,

AE=AF=^AE=6g-6=CE，

2

•;BE=BE，

Rt^BCE=RtABFE(HL),

NEBF=ZEBC=-ZABC=22.5°,

2

ZAEB=ZACB+ZEBC=112.5°,

故答案为：36-18收，112.5.

10.(2022北部湾)如图，在正方形4BCO中，AB=4日对角线AC,8。相交于点。.点E是对角线

AC上一点，连接BE,过点E作EFLBE，分别交CD,BD于点F、G,连接BF,交AC于点H,将△EFH

沿EF翻折，点”的对应点”，恰好落在8。上，得到△£777,若点F为CD的中点，则△EGH'的周长是

【答案】解：过点E作PQ〃AD交AB于点P,交。C于点Q,

'：AD//PQ,

：.AP^DQ,/BPQ=/CQE,

:.BP=CQ,

'：ZACD=45°,

:.BP=CQ=EQ,

'：EF1BE,

：.NPEB+/FEQ=90。

-：ZPBE+ZPEB=90°

：.ZPBE=NFEQ,

在ABPE与AEQF中

NBPQ=NFQE

<PB=EQ

ZPBE=NFEQ

:.ABPE也AEQF,

：.BE=EF,

又,：BC=AB=A6.，/为中点,

:・CF=20

BF=ylBC2+CF2=2而,

••DE=Er=—f=—=275，

V2

4J2

又：BO=-p=4,

V2

EO=飞BE?-BO?=2,

：.AE=AO-EO=4-2=2,

■:ABHFC,

：.AABHSMFH，

.ABAH

••----=------，

CFCH

.4V2_AH_2

••■—-=-,

272CH1

AC=y/2AB=S'

，AH=2x85，

33

1Q

CW=-X8=-,

33

EH=AH-AE=--2=—,

33

•；ZBEO+ZFEO=90°,

NBEO+NEBO=90。,

NFEO=NEBO,

又,/NEOB=ZEOG=90°,

；•AEOBS^GOE

,EG_OGOE

"~BE~~OE~~OBJ

EG_OG_2

FT丁丁2

：.EG=yf5,OG=1,

过点/作FM±AC于点M,

FC-

：.FM-MC==-j=-=2,

o2

MH=CH-MC=--2=-,

33

作FNLOD于点、N,

DFc

FN=-y=r=2,,

在Rt△尸“TV与RJFM”中

FH'=FH

FN=FM

:.Rt/\FH'N乌RJFHM

：.H'N=MH=-,

3

：.0N=2,NGA

25

：.GH'=-+!=-,

33

C\”H，=EH'+EG+GH'=EH+EG+GH=—+5/5+-=5+75,

£SL（.jrj3<3

故答案为：5+亚.

11.（2022安徽）如图，平行四边形0ABe的顶点。是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B,C在第一象限,

反比例函数尸2•的图象经过点c,丁=一（女工0）的图象经过点B.若OC=AC,则）t=.

【答案】解：过点C作CO_LO4于。，过点8作轴于E,

:.CD〃BE,

四边形ABCO为平行四边形,

：.CB//OA9BPCB//DE9OC=AB,

・・・四边形CDEB为平行四边形，

'：CD.LOA,

・・・四边形CDEB为矩形，

:・CD=BE,

：.在Rt^COD和R出BAE中,

OC=AB

CD=EB'

RmCODQRmBAE（HL）,

S*oc【尸SAABE,

VOC=ACfCD1OA,

:.OD=AD9

•..反比例函数》=■!■的图象经过点c,

X

S^OCD-S^CAD=>

-'•S平行四边舷。CA4=4SAOCD=2,

S&OBA=—S平行四边形oc&»=1'

._13

••SAOBE=SAOBA+SAABE=!+--=—■，

22

Z:=2x—=3.

2

故答案为3.

12.（2022铜仁）如图，四边形ABCO为菱形，NABC=80。，延长8c到E,在NDCE内作射钱CM,使得

ZECM=30°,过点。作。尸，CM,垂足为F.若。尸="，则8。的长为（结果保留很号）.

【答案】解：如图，连接AC交B。于点H,

由菱形的性质得/AQC=NA8C=80。，ZDC£=80°,ZDHC=90°,

又：Z£CM=30°,

/.ZDCF=50°,

,：DFVCM,

：.NCF£>=90°,

ZC£)F=40°,

又：四边形ABC。是菱形，

.•.8。平分乙4。。，

Z//DC=40°,

4CHD=4CFD

在△CO”fflACDF中，，NHDC=ZFDC,

DC=DC

：./\CDH^/\CDF(AAS),

:.DH=DF=^,

DB=2DH=2y/6.

故答案为：2瓜•

13.(2022遵义)如图，在等腰直角三角形ABC中，44。=90°,点M,N分别为BC,AC上的动点,

且AN=CW,AB=O.当AM+BN的值最小时，CM的长为.

【答案】如图，过点A作AO〃8C,且AO=AC，连接DN,如图1所示,

：.ZDAN=ZACM,

又AN=CM,

:.&ANDmKMA,

:.AM=DN,

BN+AM=BN+DN>BD,

当民N,O三点共线时，3N+AM取得最小值，

此时如图2所示，

•••在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=g

BC=OAB=2，

AA/VD^ACMA.

：.ZADN=ZCAM,

,/AD=AC=AB,

：.ZADN^ZABN,

■：AD//BC,

:.ZADN=/MBN,

：.ZABN=ZMBN,

设ZMAC=a,

:.ABAM^ZBAC-a=90°-a,

ZABM=ZABN+ZNBM=2a=45°,

a-22.5°,

ZAMB=1800-ZBAM-ZABM=180°-90°+a-450=67.5°,ZBAM=90°-22.5°=67.5°,

:.AB=BM=6，

:.CM=BC-BM=2-应，

即BN+AM取得最小值为2-JL

故答案为：2—J^.

14.（2022大庆）如图，正方形ABC。中，点E,尸分别是边上的两个动点，且正方形A3CO的周

长是45所周长的2倍，连接。瓦。尸分别与对角线4C交于点M,N.给出如下几个结论：①若

AE=2,CF=3,则所=4；②/EFN+NEMN=180°；③若AM=2,OV=3,则儿W=4；④若

MN

——=2,BE=3,则所=4.其中正确结论的序号为.

AM

【答案】解：•••正方形ABCD的周长是△诋周长的2倍,

BE+BF+EF—AB+BC,

.<.EF=AE+FC，

①若A£=2,CR=3,则£尸=5,故①不正确；

如图，在84的延长线上取点〃，使得47=6,

•.•四边形ABC。是正方形，

/.ADAH=ADAE=ADCF=90°,AD=CD,

:.^ADH^CDF,

:.ZCDF=ZADH,HD=DF，AH=NDFC,

,/EF=AE+CF=AE+AH=EH,DE=DE-

:ADHEm力FE（SSS）,

:4DE=/FDE，ZH=NEFD，/HED=/FED，

•;NCDF+ZADF=ZADH+ZADF=ZHDF=90。,

:./EDF=NHDE=45°,

•••ZH=ZDFC=ADFE,

ZEMN=ZHED+ZEAM=45°+NDEF,

ZEFN+NEMN=ZDFC+45°+ZDEF=ZDFC+ZEDF+NDEF=180°

即NE/W+ZEMN=180。，故②正确；

如图，作。G_L£F于点G,连接GM,GN,

则NDGE=ND4E=90°,

•:ZAED=/GED,DE=DE，

.^AED^=^GED,

同理可得4GDF9KDF,

AG=DG=CF,ZADE=NGDE,NGDF=Z.CDF,

，A,G关于£>£对称轴，C,G关于DE对称，

:.GM=AM,GN=CN,

NEGM=ZEAM=45°,4NGF=ZNCF=45°,

ZMGN=180°-45°-45°=90°,

.•.△GMN是直角三角形，

③若AM=2,OV=3,

GM=2,GN=3,

MN=yjMG2+GN2=J后。4，故③不正确，

MG=AM,

MN

若=2,BE=3,

~AM

即sin/M?VG=——=-,

MN2

:"MNG=30。，

•••ZEFN+AEMN=180°,ZEMN+ZAME^\80°,

又NCFN=NEFN,

:.ZAME=ZCFN,

2ZAEM=2NCFN,

即ZAMG=NCFG,

：.ZGMN=ZBFE,

NBEF=ZMNG=30°,

RFn

/.cosZ.BEF=----=cosZ.GNM=cos30°=——»

EF2

•:BE=3,

...所=华£=2折

故④不正确.

故答案为：②.

15.(2022铜仁)如图，点C在3。上，ABJL6£>,J.8D,AC_LCE,AB=CD.求证：AAfiC咨ACDE.

【答案】解：'：AB_LBD,EDLBD,ACkCE,

：.ZB=ZD=ZACE=90°,

：.ZBAC+ZBCA^90°=ZBCA+ADCE,

：.NBAC=NDCE,

在AA8C和△(?£)£中，

NB=ND

<ZBAC=NDCE,

AC=CE

：.^ABC^/^CDE(AAS).

16.(2022福建)如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,NB=NE.求证：ZA=Z

D.

【答案】证明：

/.BF+CF=EC+CF,即BC=EF.

在AABC和△£>《尸中，

'AB=DE

<NB=NE,

BC=EF

：.^ABC^/XDEF,

：./A=ND

17.（2022广东）如图，已知Z4OC=4OC,点P在OC上，PDA.OA,PELOB,垂足分别为。，E.求

OC为NAOB的角平分线，

又•.•点尸在OC上，PD1OA,PE1OB,

：.PD=PE，ZPDO=APEO=90°，

又•：PO=PO（公共边），

△ooraoPE（HL）.

18.（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图

的四边形48CD,其中A8=CO=2米，AD=BC=3米，AB=30°

AD

BC

(1)求证：zkABC丝△CZM；

(2)求草坪造型的面积.

【答案】

(1)在AABC和ACZM中，

AB^CD

<AC=CA,

BC^AD

:.AABCMACDA(SSS)；

过点4作AE，8c于点E,

:.ZAEB=90°,

•.•NB=30°,A5=2m,

/.AE=—AB=Im,

2

BC=3m,

ii3

/.S=—BC•AE=—x3xl=—m?,

△A/tRoCe222

・.,AABC=ACDA,

SqBc=SKDA=耳m”，

•••草坪造型的面积=S“BC+SaCDA=3m2,

所以，草坪造型的面积为3mL

19.(2022大庆)如图，在四边形同方中，点E,C为对角线班'上的两点,

AB=DF,AC=DE,EB=CF.连接AE,CD.

A

D

(1)求证：四边形他力「是平行四边形；

(2)若AE=AC，求证：AB=DB.

【答案】

(1)证明：：BE=CF,

BE+EC=EC+CF,

BC=EF,

在△ABC和E中，

AB=DF

•：\AC^DE,

BC=EF

：.AABC%DFE(SSS),

ZABC=NDFE,

AB//DF,

又：AB=DF，

四边形ABDF是平行四边形.

(2)证明：由(1)知，AABCmADFEISSS),

：.ZACB=/DEF,

AE^AC,

；.ZAEC=ZACE=/DEF,AE=DE，

；•ZAEB=NDEB，

在^AEB和.DEB中，

EB=EB

\NAEB=NDEB,

AE=DE

：.AAEBQADEBISAS),

AB=DB.

20.（2022云南）如图，在平行四边形A8C£＞中，连接8。，E为线段的中点，延长BE与CO的延长线

交于点尸，连接AF,ZBDF=9Q°

F

(1)求证：四边形ABOF是矩形；

(2)若4>5,DF=3,求四边形ABC尸的面积S.

【答案】

(1)证明：•.•四边形ABCO是平行四边形，

J.AB//CD,即AB〃CF,

NBAE=NFDE,

为线段的中点，

：.AE=DE,

XVNAEB=NDEF,

：■/\ABE/XDFE(ASA),

：.AB=DF,

又，：AB//DF、

：.四边形AHDF是平行四边形，

NBDF=9Q0,

四边形48。尸是矩形；

(2)解：由(1)知，四边形ABQF是矩形，

：.AB=DF^3,ZAFD=90°,

...在R/AADF中，AF=y/AD2-DF2=752-32=4'

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD=3,

，C~=C£>+OF=3+3=6,

,S=；(AB+CR卜AF=；x(3+6)x4=18.

21.(2022北部湾)如图，在oABCO中，8。是它的一条对角线,

BC

(1)求证：△AB*MDB；

(2)尺规作图：作30的垂直平分线EF,分别交A。，BC于点E,F(不写作法，保留作图痕迹);

(3)连接若NDBE=25。,求NAEB的度数.

【答案】

(1):四边形48CD是平行四边形，

AB—CD,AD=BC,

;BD=BD，

△ABD^ACDB(SSS)

(2)如图，E/即为所求；

(3)VB£＞的垂直平分线为E尸,

:.BE=DE,

；./DBE=/BDE，

•;NDBE=25。,

：.NDBE=NBDE=25。,

：.ZAEB=ZBDE+ZDBE=50°.

22.(2022梧州)如图，在oABCD中，E,G,H,F分别是AB,BC,CD,D4上的点，且

BE=DH,AF=CG.求证：EF=HG.

AFD

BG

【答案】证明：•••四边形ABC。为平行四边形,

，/A=/C,AB=CD,

又已知BE=DH,

：.AB-BE=CD-DH,

：.AE=CH,

在AAEF和ACHG中

AF=CG

<NA=NC,

AE=CH

：.MEF^^CHG(SAS),

：.EF=HG.

23.(2022福建)如图，B。是矩形A8C£＞的对角线.

(1)求作使得04与B£＞相切(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，设与。A相切于点E,CFLBD,垂足为E若直线C尸与OA相切于点G,求

tanZADB