数学建模席位分配问题

数学建模席位分配问题第一页，共十八页，2022年，8月28日20个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064现象1

丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）Halmiton(1790)先按整数分配再按余数较大者分配第二页，共十八页，2022年，8月28日由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果（Halmiton方法）系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5701173现象2

总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法（Halmiton方法）

：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平的分配席位的方案？第三页，共十八页，2022年，8月28日2建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系别人数席位数每席位代表的人数甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10第四页，共十八页，2022年，8月28日系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，单位人数席位数每席位代表的人数AB当席位分配公平第五页，共十八页，2022年，8月28日但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大为改善！第六页，共十八页，2022年，8月28日2）相对不公平表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。则A吃亏,或对A是不公平的。定义“相对不公平度”对A的相对不公平值；对B的相对不公平值；第七页，共十八页，2022年，8月28日建立了衡量分配不公平程度的数量指标制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3模型构成若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失一般性，有下面三种情形。第八页，共十八页，2022年，8月28日情形1说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形2说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B的相对不公平值情形3说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A的相对不公平值第九页，共十八页，2022年，8月28日则这一席位给A单位，否则给B单位。结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。第十页，共十八页，2022年，8月28日记则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值法。若A、B两方已占有席位数为第十一页，共十八页，2022年，8月28日4推广有m方分配席位的情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1席时，计算则1席应分给Q值最大的一方。开始，即每方至少应得到1席，（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）从第十二页，共十八页，2022年，8月28日5举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按Q值法：第十三页，共十八页，2022年，8月28日甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4第十四页，共十八页，2022年，8月28日模型分析存在公平的分配方法么？1）比例加惯例法（H法）——悖论2）Q值法——存在不合理3）其它方法：D’hondt方法理想化原则——不存在完全“合理”的分配方法第十五页，共十八页，2022年，8月28日练习系人数Pi比例分配参照惯例分配Q值法A921592.159292B1591.5922C1581.5822D1571.5722E1561.5611F1551.5511总和10000100100100第十六页，共十八页，2022年，8月28日d’Hondt方法有k个单位，每单位的人数为pi，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前n个，（这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。第十七页，共十八页，2022年，8月28日/1/2/3/4/5/6/7/8/9/