星系若干重要基本概念

星系若干重要基本概念第一页，共九十三页，2022年，8月28日§2.1新旧银道坐标系

一.天体的空间位置和天球坐标系

天体的位置通常用距离和两个球面坐标来表示，称为天球坐标系，有地平坐标系、赤道坐标系、黄道坐标系、银道坐标系等多种。也可以用三维直角坐标或柱坐标表示。又因坐标原点的不同，可以有地心坐标、日心坐标、银心坐标等之区分。第二页，共九十三页，2022年，8月28日左图是以观测者O为球心的天球。在球面天文学中称大圆NDS为基圈,Z和Z´为基圈的几何极,大圆ZSZ´称为主圈,恒星在天球上的投影σ

的球面坐标可用大圆弧σD（第一坐标）和SD（第二坐标）唯一确定，图中S称为坐标系的主点（原点）。第三页，共九十三页，2022年，8月28日地平坐标系

根据天球坐标系的一般定义，在地平坐标系中基圈是观测者的地平圈，主圈是测站子午圈，而主点为地平圈上的南点。

第一坐标(地平)

高度,0－

90;或天顶距,0－180。

第二坐标方位角，由南点向西点顺时针量度0－360。由于因地球自转引起的天体的周日视运动，天体的地平坐标随时间而不断地变化。第四页，共九十三页，2022年，8月28日第一赤道坐标系

基圈：天赤道，主圈：子午圈,主点：天赤道南点。

第一坐标：赤纬,0－

90;

或极距，0－180。

第二坐标：时角，沿天赤道由南点M向西点W顺时针量度,取0－24h。

在这一坐标系中，天体的时角会因天体周日视运动而发生变化，但赤纬不会发生变化。5第五页，共九十三页，2022年，8月28日第二赤道坐标系

第二赤道坐标系与第一赤道坐标系的不同仅在于：

主圈：过春分点的赤经圈，

主点：春分点。

第二坐标：赤经，由春分点起逆时针量度，0－24h。

在第二赤道坐标系中，天体坐标（包括赤经和赤纬）不会因周日视运动而发生变化。如无特别说明，赤道坐标系通常即指第二赤道坐标系。第六页，共九十三页，2022年，8月28日黄道坐标系

黄道坐标系主要用于太阳系天体研究。天体黄道坐标（包括黄经和黄纬）不会因天体的周日视运动而发生变化。基圈：黄道主圈：过春分点黄经圈主点：春分点第一坐标：黄纬，0－

90。第二坐标：黄经，春分点起逆时针量度,0－360。第七页，共九十三页，2022年，8月28日二.银道坐标系的定义和演变

银河系主体银盘的对称面称为银道面，其与天球相交的大圆称为银道，是银道坐标系中的基圈。银道与天赤道在天球上相交两点，由北银极向银道面看去，按逆时针方向从赤道以南向北通过赤道的一点称为升交点，另一点称为降交点。银道的几何极称为银极，其中的北银极是银道坐标系的极。

天体在银道坐标系中的第一坐标称为银纬，银纬由银道起沿银经圈向南北银极分别量度，从0到90，南银纬取负值。

第八页，共九十三页，2022年，8月28日图2-1银道坐标系与赤道坐标系的关系。S为恒星,PNG和PEG分别为北银极和北天极,CE.表示天赤道,G.E.表示银道，G.C.为银心,Υ为春分点，Ω为银道升交点，恒星S的银道坐标为(l,b)

。第九页，共九十三页，2022年，8月28日

天体银道坐标不能直接加以测定，需通过赤道坐标进行换算。为此，需要知道银极的赤道坐标。1958年以前北银极的赤道坐标取(A,D)=(12h40m,+28º)（1900.0历元）。称为标准银极。所以1958年前采用的是以标准银极为极，银道升交点为银经起算点的银道坐标系，称为旧银道坐标系，这一系统内的银经、银纬常记为(lI,bI)。

1958年IAU第10届大会根据新观测资料,通过规定北银极赤道坐标的新值为(A,D)1950.0=(12h49m,+27º24')

,同时规定银经改为从银河系中心方向起算，称为新银道坐标系。这一系统内的银经、银纬用(lII,bII)表示以示区别。10第十页，共九十三页，2022年，8月28日

天体赤道坐标和银道坐标(lII,bII)间的换算关系为：

其中银道升交点的银经为。三.坐标系转换在讨论天体的空间位置时，根据研究问题的要求，经常需要进行各类坐标系之间的转换。第十一页，共九十三页，2022年，8月28日

有关的坐标系转换主要有：

1.不同天球坐标系坐标间的转换，如赤道坐标转换为银道坐标等。

2.球面坐标、直角坐标、柱坐标之间的互相转换。

3.因采用的坐标原点的不同而需要进行的坐标系转换，如日心坐标转换为银心坐标；以天球中心为坐标原点换算为以天球表面一点为坐标原点时发生的坐标转换。

4.二维情况下的直角坐标与极坐标之间的转换。

所有这些坐标转换的几何学原理都很简单，重要的是在具体实施时必须十分仔细，包括要注意到不同坐标可能会取不同的单位（量纲）。

第十二页，共九十三页，2022年，8月28日§2.2星等系统和色指数

一.星等的基本概念天文学上通常用星等来表示天体的相对亮度，星等数越大亮度越小。规定1等星和6等星的亮度差为100倍。如设两个天体的亮度分别为E1、E2，相应的星等为m1和m2，则有：星等相差1等的两个天体，亮度之比约为2.5倍。第十三页，共九十三页，2022年，8月28日

由上式可得

称为普森公式，可作为星等的定义,常数a是星等标度的零点。由此可把星等的概念推广。例如太阳的目视星等为－26m.74，天狼星的目视星等为－1m.6。

星等概念是相对的，也适用于其他天体和天体系统。第十四页，共九十三页，2022年，8月28日1.视星等和绝对星等直接测得的恒星亮度不能反映恒星的辐射强度。由亮度定义的星等称为视星等。为比较不同天体的实际发光强度，引入绝对星等——设想把天体放在10pc距离远地方时所测到的视星等。如以m和M表示某天体的视星等和绝对星等,r是天体的距离,以pc为单位，则有M=m+5–5lgr，而称

为距离模数，这里还没有考虑星际消光的影响。在许多工作中往往用距离模数来表征距离的远近——距离模数越大，距离越远。如能设法得到某天体的距离模数，便可以推算出它的距离。(2-1)m–M=5lgr–515第十五页，共九十三页，2022年，8月28日2.建立星等系统的必要性

(1)天体亮度需通过辐射探测器来测定,探测器可以是人眼、照相底片、光电接收设备、CCD等，还可配以不同的滤光器。同一探测器对不同波长辐射的接收灵敏度是不同的,这种光敏度随波长的变化关系用曲线来表示称为分光响应曲线，或光敏度曲线。

(2)不同探测器对同一波长辐射的光敏度是不相同的，因而有着不同的光敏度曲线。

(3)不同天体在不同波段的辐射强度是不同的，称为谱强度，原因是不同天体的物理性质各异。第十六页，共九十三页，2022年，8月28日图2-2不同探测器的分光响应曲线

1－普通照相底片，2－光电光度计；3－正色照相底片（对黄光敏感）配黄色滤光器；4－正常人眼。

不同探测器得出的同一天体的辐射强度（星等）是不同的,由此便可得到天体的不同星等,构成星等系统。同一天体的不同星等可用来研究天体的物理性质。

第十七页，共九十三页，2022年，8月28日

因为星等是相对的，测星等就是测定星等差。理论上说单一波长所测得的单色星等差与探测器的特性无关。但通常对星等的测定要涉及一定的波段宽度，这时测得的星等差就随探测器的选择性而不同。因而，对应不同探测器就有着各种星等系统。由人眼测定的星等称为目视星等mv。按照哈佛大学天文台的零点，目视星等为1等的星，在地面上的照度约等于8.3×10－9勒克司（米烛光）。第十八页，共九十三页，2022年，8月28日

用普通蓝敏照相底片测定的星等称为照相星等mp,国际照相星等零点的规定是：令目视星等介于5.5到6.5等之间A0型星的平均照相星等和目视星等相等。由正色照相底片加上黄色滤光片所测得的星等称为仿视星等，它实际上已取代了目视星等。最后，利用不同光电探测器所测得的星等称为光电星等。

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1953年，约翰逊和摩根提出一种从300～700nm的宽带光电测光系统——UBV系统，是目前国际通用的标准系统，其中U为紫外星等，B是蓝星等，V是黄星等。平均波长及半宽分别为(360，40)、(440，100)、(550，80)nm。1978年发表的光电UBV星表已列出了五万多颗恒星的测光数据。3.几种常用的星等系统由上面的内容可知：(i)星等的各种光度系统取决于探测器的分光敏度曲线；(ii)取决于接收来自天体哪一波段的辐射。如目视星等的测量是从380～700nm，极大值在540nm附近；照相星等测定范围360～540nm,极大值在420nm

附近。20第二十页，共九十三页，2022年，8月28日

后来UBV系统又延伸到长波段，称为RIJKLMNQ星等。表2-1给出了各种光电星等响应曲线的平均波长和半宽。表2-1宽带测光系统的特性UBVRIJKLMNQ0.360.440.550.700.881.252.203.55.010.420.00.040.100.080.210.220.300.600.91.16.0(λ0－平均波长，Δλ

－半宽，单位μ

)第二十一页，共九十三页，2022年，8月28日表2-2中带测光系统的特性

除了UBV标准测光系统外，还有其他的测光系统，如

uvby中等带宽系统等（表2-2)。第二十二页，共九十三页，2022年，8月28日4.热星等和热改正

热星等是表征天体在整个电磁波段内辐射总量的星等，通常用mbol表示。如果辐射探测器对所有波长的辐射都一样敏感（温差电偶、测辐射热计等有这种特性），则所获得的星等称为辐射星等。由于大气消光和仪器消光（指接收设备光学部分的选择吸收）的影响，辐射星等所反映的还不是到达地球的全部辐射，辐射星等经大气消光和仪器消光改正后才得到热星等,它是到达地球的恒星全部辐射的一种量度。热星等不能直接由观测加以确定，只能由多色测光的星等结合理论计算来求得。第二十三页，共九十三页，2022年，8月28日

为了把目视星等换算为热星等必须加上一项改正,称为热改正，常用BC表示:

BC=mbol-mv二.色指数和色余

同一天体在任意两个波段内的星等差（短波段星等减长波段星等）称为色指数。不同恒星表现出有很不相同的颜色，这是由于恒星在不同光学波段有着不同的辐射强度而引起的，因而恒星的颜色就同色指数和色温度密切相关。色温度又称分光光度温度，是表征天体在某一波段的连续谱能量分布的物理量。如在某一波段中，天体连续谱的能量分布与温度为Tc

的绝对黑体辐射谱相近，则定义Tc

为该天体在这一波段的色温度。第二十四页，共九十三页，2022年，8月28日

最常用的色指数是照相星等与目视星等之差，宽波段UBV三色测光系统则得出两个色指数U－B和B－V。现代天体物理工作中还用到其他一些形式的色指数，如V－R等。当色指数B－V是一较大的正值时，说明光谱的蓝光段光度与目视光度相比显得比较弱,恒星呈红色(如猎户

的B－V＝＋1m.84)。相反，蓝星的B－V就是负的，比如仙王

的B－V＝－0m.22。B－V的数值决定了表面温度的大小,对应关系如表2-3所示。25第二十五页，共九十三页，2022年，8月28日表2-3与色指数B－V相应的恒星表面温度B－V表面温度(K)－0.20.00.20.40.60.81.01.21.418800108008190682059205200453039203480第二十六页，共九十三页，2022年，8月28日

给定光谱型恒星所固有的色指数称为正常色（内禀色指数）。正常色可通过对近距星的测量求得。没有星际消光影响时A0型星的B星等与V星等是相同的，所以对近距A0型星有C＝B－V＝0。

由于星际消光物质存在，星光通过星际空间后会变红，称为星际红化。这是因为消光物质对星光的散射与波长有关,长波的散射小,短波的散射大,这种选择散射效应使观测到的颜色比没有散射时来得红。

1.内禀色指数和星际红化第二十七页，共九十三页，2022年，8月28日2.色余和星际消光(2-2)(2-3)(2-4)如以A表示消光量,

在UBV系统中对大部分天区有：

星际消光与波长有关，观测色指数与正常色指数不同。两者之差称为色余，对于不同色指数有不同色余。以(U-B)0和(B-V)0表示内禀色指数，则相应的色余为：第二十八页，共九十三页，2022年，8月28日

星际红化使天体显得偏红，色余为正，称为正色余,色余与光线穿过的距离成正比。某些情况下色余为负,称为紫外色余。利用色余可确定总消光量，由式(2-2)及(2-4)的第二式可得到

AV=3.1EB-V如由观测得到(B－V)，通过其他途径知道(B－V)0

,就可得出EB-V,再利用式(2-5),

消光Av也就知道了。(2-5)第二十九页，共九十三页，2022年，8月28日

1.光谱分类恒星光谱一般是连续谱背景上分布着一些吸收线，少数还兼有发射线。光谱在连续谱能量分布、谱线数目和强度以及特征谱线等方面有很大的差异。决定光谱形态的因素有恒星大气物质的物理性质、化学成分和运动状态以及光线行进途中的吸收等。绝大多数恒星光谱的差异不是由于化学成份的不同，而是由于不同温度和压力引起恒星大气§2.3赫罗图

一.光谱型和光度级

物质的激发和电离状态之差异而形成的。对元素成分相同的恒星来说，造成光谱差异的原因是恒星大气中温度和压力的不同；而温度相同的巨星和矮星间光谱的差异则是由压力不同引起的。30第三十页，共九十三页，2022年，8月28日

吸收线存在表明恒星大气外层温度较低，对温度较高内层部分的辐射进行选择吸收。发射线一般是由离恒星本体较远的稀薄气体（星周气体）产生的，所以观测到的光谱是恒星光谱和星周气体光谱的混合。

恒星光谱虽然形态众多，然而并不是没有规律可循，它们可以分为若干种类型，而同一类型恒星的光谱则相差很少。目前通常采用的是经过一些修正和补充的哈佛分类法。美国哈佛大学天文台于19世纪末提出的光谱分类系统，主要判据是光谱中谱线的相对强度和形状，同时也考虑到连续谱的能量分布。

第三十一页，共九十三页，2022年，8月28日哈佛分类序列第三十二页，共九十三页，2022年，8月28日

哈佛分类序列是一个连续的序列，它实际上反映了一个最重要的因素，即恒星表面层平均温度的变化。最热的O型星温度高达40000K，最冷的M型星只有3000K。在这一系统中，太阳属G2型；S和R、N两个分支可能反映了化学组成的差别。

在哈佛分类序列中，各个类型之间是逐渐过渡的，每一光谱型又分为10个次型，用拉丁字母后的阿拉伯数字0－9来表示，如O5、B8、G2等。并非每一个光谱型都有十个次型，次型由谱线相对强度所确定,有些次型是缺项的。第三十三页，共九十三页，2022年，8月28日2.不同光谱型恒星的主要特征O型：蓝白，电离He比中性He强，>30000KB型：蓝白，电离He比中性He弱，11000－30000KA型：白色，H强度最大，电离钙出现，7200－11000KF型：黄白，电离钙强，H减弱，中性金属出现，

6000－7200KG型：黄色，电离钙强，中性金属强，5200－6000KK型：橙色，中性金属强，电离钙减弱，3500－5200KM型：红色，中性金属强,出现分子吸收谱线,<3500K

由G型到K型、M型，H线不断减弱第三十四页，共九十三页，2022年，8月28日3.光度级1940年代摩根和基南提出了以温度和光度为参量的二元分类法，其中温度型沿用哈佛系统的符号,光度级分为7级,用罗马数字表示。这7级是I－超巨星，II－亮巨星，III－正常星，IV－亚巨星,V－主序星,VI－亚矮星,VII－白矮星。超巨星又可根据光度的大小细分为Ia、Iab、Ib三类。在这一系统中太阳的光谱型为G2V。35第三十五页，共九十三页，2022年，8月28日

另一种做法是在哈佛系统的光谱型记号的前、后加上一些符号，以把属于同一光谱型但有不同物理特性的恒星区分开。在光谱型记号之前加上小写字母d、g、c分别表示矮星、巨星和超巨星（称为威尔逊光度型系统，这时太阳为dG2）；在光谱型记号后加上小写字母p表示光谱特殊的恒星，e表示光谱中有发射线，s表示谱线又窄又锐，n表示谱线又宽又漫，以及v表示有变化的光谱等。如Be表示B型发射星。第三十六页，共九十三页，2022年，8月28日

以恒星光谱型为横坐标，绝对星等为纵坐标所作出的图称为光谱－光度图，又称赫罗图或HR图。图2-3a是据1954年为止用最可靠三角视差算出的绝对星等所画的HR图。图2-3b是10793颗已由依巴谷卫星测得距离的场星所作的HR图。除主序外，亚巨星支（SGB）从主序B-V≈0.7及M≈4处开始，沿水平方向延伸到B-V≈1处，从其右端起恒星密集区很陡地向上翘向到达红巨星支（RGB），之后向更亮但温度更低的方向伸展。在B-V≈1处,RGB比同光谱型的MS星约亮30倍（3.7等）。

二.赫罗图及其表现形式第三十七页，共九十三页，2022年，8月28日图2-3a1954年得出的恒星光谱－光度图图2-3b由10793恒星的依巴谷视差所得出的光谱－光度图第三十八页，共九十三页，2022年，8月28日

应注意的是，得出图2-3所示HR图的恒星大部分是较亮的恒星，它不能给出属于HR图上不同部分相对星数实际情况的客观估计，即图2-3有利于真正的亮星。如取某一距离范围（比如100pc）内全部恒星来给出相应的HR图，则图的样子就会有相当大的不同，其表现是图上不同区域恒星密度的改变。绝大多数是处于主星序下部的G、K、M型星，A、F型星比较少，白矮星并不会像图2-3这样少，而巨星和超巨星是极其稀少的。恒星演化理论已可对恒星的赫罗图作出较好的说明。第三十九页，共九十三页，2022年，8月28日图2-4不同光度级恒星在赫罗图上的分布40第四十页，共九十三页，2022年，8月28日

图2-3中的主序星有着不同的年龄，因此在同一颜色处绝对星等会有较大的弥散。如全部恒星的主序龄为零，即刚刚从分子云演化成恒星而到达MS，则它们构成的MS会变得更窄，这样的主序称为ZAMS。表2-4零龄主序

表2-4给出ZAMS上与不同(B－V)相应的(U－B)和Mv。要是有一个星数众多、离开我们又近的非常年轻的星团，构成ZAMS就很容易，可惜实际情况并非如此。第四十一页，共九十三页，2022年，8月28日

一种做法是利用近距离较年老星团

MS的暗端（这部分恒星演化很慢）以及较远年轻星团的亮端来合成ZAMS，其中还要应用恒星演化理论。尽管如此，仍然存在一定的误差。

表2-5及表2-6分别给出不同光谱型MS星和巨星、超巨星的绝对星等及若干种颜色。表列为该类恒星的平均值，包括已经历一定程度演化的恒星。故对早于G型恒星，表列数字必然比ZAMS星来得亮。注意，表2-6的误差比表2-5更大,因为超巨星很少,距离远就测得不准。第四十二页，共九十三页，2022年，8月28日表2-5矮星和巨星的光度和颜色第四十三页，共九十三页，2022年，8月28日表2-6超巨星的光度和颜色第四十四页，共九十三页，2022年，8月28日图2-5双色图三角：主序星（V）方块：超巨星（I）

利用以上两表还可以构成颜色－颜色图（双色图），如图2-5所示。双色图在有些问题的研究上是有用的。45第四十五页，共九十三页，2022年，8月28日

恒星计数结果常用A(m)

来表示，称为视星等的频数或微分亮度函数。A(m)表示m等星的星数，通常指单位球面积（也可用于全天），这时A(m)随天区位置(l,b)的不同而不同。亮度函数常以列表形式给出，表中每一行给出的是在m

m/2星等间隔内的恒星星数A(m)m，m是列表间隔。

§2.4几个重要的函数

一.亮度函数有时列表所给出的是亮于某一视星等m的恒星总数N(m)，称为累积亮度函数。第四十六页，共九十三页，2022年，8月28日在A(m)和N(m)间存在着以下的关系

利用亮度函数可确定恒星的密度函数D(r)。不同天区(l,b)的A(m)值反映了恒星在天球上的视分布情况，从这个角度来说又可以把A(m)∆m

称为在星等间隔m

m/2内的恒星的面密度。第四十七页，共九十三页，2022年，8月28日1.西利格定理

设空间为完全透明，即不存在星际消光效应，则可以推出

上式表明，如果空间完全透明，且各种亮度恒星在空间作均匀分布，则星等每增加一等，星数增加到3.98倍，这一结论称为西利格定理。西利格定理可用微分亮度函数的形式来表示，即

西利格定理也可用于河外星系或其他天体的计数,其中需假设星系际空间完全透明,星系在空间均匀分布。第四十八页，共九十三页，2022年，8月28日2.恒星计数的主要结果(i)|b|20天区中的星数占95.3%,银道带聚集了大量的暗星。(ii)对同一银纬b来说,不同银经l天区的计数结果，可以同平均结果有显著的偏离。(iii)对9m~13m.5的恒星来说，南银半球比北银半球在星数上约多10%；对于更暗的恒星这一差异不存在。(iv)通过亮星最大密集区所作的大圆与银道偏离较大；随着向暗星过渡，过恒星最大密集区的大圆逐渐靠近银道。就最明亮的星而言,这类大圆与银道面交角为15～17，这就是Gould带。第四十九页，共九十三页，2022年，8月28日

(v)在银经方面，9m.0~13m.5恒星的最大密集方向在l=292附近（大致在本星群的中心方向），而16m至18m恒星的最大密集方向在l=2附近，即接近银河系中心方向。(vi)任何方向的N(m+1)/N(m)均小于3.98，说明西利格定理的两个前提条件是不成立的，即恒星的空间分布并不均匀，星际空间也并不完全透明。50第五十页，共九十三页，2022年，8月28日二.光度函数光度函数是为研究恒星空间分布而引入的一个重要概念，它是恒星按绝对星等M（而不是按光度）的分布函数，通常以(M)表示。绝对星等在M和M＋dM之间的恒星的相对数目为(M)

dM。(M)满足下列归一化条件在每pc3内，绝对星等为M（即M-1/2与M+1/2之间）的恒星数目为D(M),D为恒星的空间密度。

第五十一页，共九十三页，2022年，8月28日

如用(M)表示绝对星等不大于M的恒星的相对数,则在(M)和

(M)之间存在以下关系(M)称为累积光度函数，而(M)则称为微分光度函数。注意亮度函数A(m)和N(m)指的是绝对数，而不是相对数。

光度函数的概念同样适用于星团以及河外天体等（下同）。第五十二页，共九十三页，2022年，8月28日

按照恒星的成份，光度函数可分为两种。一种是普遍的，即对所有恒星的光度函数。另一种则专指某一光谱型或光谱次型的恒星。按照问题所研究空间范围光度函数也可以分为两种。一种是对整个银河系，另一种则专对某一特定局部范围，如仅限于太阳附近，或者限于某个星团等。

确定恒星光度函数并不容易，尤其对场星来说更是困难。原因主要是由低光度恒星引起的。低光度恒星只有在近距离时才能观测到，而太阳邻域的高光度恒星甚少，由此定出的光度函数缺乏代表性。第五十三页，共九十三页，2022年，8月28日

如果把范围扩大,高光度恒星的数目是增多了，但低光度恒星的距离测不准，有的根本就观测不到，从而给光度函数的工作带来很大的不确定性。

对于星团来说困难在于正确地判断成员星。对远距离星团，可以认为全部成员有相同的距离，因而它们按视星等的分布和光度函数只在引数上差一个常数因子，一旦距离测定之后这个因子也就确定了。对于近距离星团则还存在测定各成员星距离的问题。另一方面，距离一远，星团中恒星的视密度增高，以至混在一起不易分开，对球状星团来说这一问题尤为严重。第五十四页，共九十三页，2022年，8月28日

对于各个不同光谱型的恒星来说，每一光谱型恒星的光度函数

(M,Sp)可表述为若干正态分布密度之和:

对A、F、G、K四个光谱型，有人得出了表2-7所列的参数值,其中每一种光谱型已包括了0－9各个光谱次型的恒星。

55第五十五页，共九十三页，2022年，8月28日对B型星，由于各次型的光度函数相差很多，不能合起来用一个式子表示。从表列数字可以看出，G型星明显地分为主序星、巨星和超巨星三类，平均绝对星等分别为6.0、2.0、-2.5，弥散度约在1m左右，星数比例大致为10000:200:1。K型星也大致分为主序星和巨星两类，平均绝对星等为9.0和2.0，星数比为20:1，主序星的星等弥散度1m.8比巨星（0m.7）大得多。表2-7不同光谱型恒星的光度函数参数第五十六页，共九十三页，2022年，8月28日三.Malmquist偏差

微分亮度函数给出按视星等m所计得的

恒星数，它取决于天体的空间分布和光度函数。A(m)计数到任意暗恒星是不可能的，总存在一极限星等m1，而A(m)只能计数到m<m1

。不难知道由此得到某一天区内样本的平均绝对星等<M>m

总是亮于母体的平均绝对星等，其原因是可以观测到的最亮的星所占的空间体积总要比最暗的星所占的空间体积来得大。因此，对一个星等限制的样本亮星会估计过高。这个观测效应称为Malmquist偏差，它在许多天体物理研究领域内有着重要的地位。现在要来估算一下这一偏差引起的改正。

第五十七页，共九十三页，2022年，8月28日

设母体的光度函数服从高斯分布，方差为2，而样本方差为：可以推出：这就是Malmquist偏差。因dA/dm>0，故观测样本的平均绝对星等<M>，总是小于母体的平均绝对星等M0,也就是偏亮。如设方差为0.5,则两者约相差0.15等。

Malmquist偏差对样本方差的影响为：第五十八页，共九十三页，2022年，8月28日四.质量函数

质量函数定义为恒星按质量大小的相对分布，或者说某一质量范围内恒星的数目占恒星总数的比例。它与光度函数的定义是类似的，只是把绝对星等代之以质量。星团的质量函数对于研究星团内恒星的演化具有重要意义。通常认为星团恒星具有大致相同的年龄和化学组成，主要区别在于质量不同。任何有关星团演化的理论，必须对目前观测到的星团内恒星的质量函数做出解释，或者说质量函数对演化理论给以观测约束。第五十九页，共九十三页，2022年，8月28日

星团内恒星诞生之时所具有的质量函数称为恒星的初始质量函数，因而也就是与赫罗图上零龄主序相对应的恒星质量函数。为得到质量函数，必须先求得恒星的质量，这时往往需要用到恒星的质光关系。在恒星的质量和内禀光度（绝对星等）之间存在着重要的关系，即质光关系，说明恒星在质量和能量之间存在某种联系。质量是恒星最重要的物理参量之一，目前可靠确定恒星质量只能利用少数特定的双星，而质光关系则开辟了另一条途径。60第六十页，共九十三页，2022年，8月28日

1920年代，爱丁顿从理论上导出以下质光关系

观测资料表明，90％的主序星都遵循相当确定的质光关系：Mb为恒星的绝对热星等。

表2-8给出了恒星质量、半径和光度之间的关系，前者又称为质径关系。第六十一页，共九十三页，2022年，8月28日表2-8恒星的质量－半径－光度关系第六十二页，共九十三页，2022年，8月28日§2.5

天体的空间运动

一.描述天体空间运动的几种方式

任何物体的空间运动都是三维的，包括恒星、星系在内的天体也不例外。因此，理论上说可以在三维直角坐标、球坐标或者柱坐标中来表述天体的空间运动。

在天文学中，由于引入了天球和天球坐标的概念，描述天体空间运动时最常用的是三维球坐标。其中，沿着观测者视线方向的运动分量称为天体的视向速度，与视线方向相垂直的2个运动分量称为天体的切向速度，它们都可以通过观测获取。第六十三页，共九十三页，2022年，8月28日

图2-6太阳空间运动在银道柱坐标中的3个分量，Σ1为径向分量，Σ2为周向分量，Σ3为垂向分量。

上述三维球坐标可以是赤道坐标，也可以是银道坐标，后者

在星系天文学中更为常用。在讨论与银河系运动学有关的问题中，往往还会用到银道柱坐标。这时，3个运动分量分别为径向分量、周向分量和与银道面相垂直的分量。第六十四页，共九十三页，2022年，8月28日二.自行和切向速度

恒星空间速度V可以分解为视向分量Vr和切向（横向）分量Vt

,

Vt

又可以沿赤经、赤纬方向进一步分解为Vα和Vδ，所以有

当然，根据工作需要也可以把Vt沿银经、银纬方向分解。需要注意的是在分解过程中，决定三个方向的坐标系原点位于被研究的那个恒星所在的位置上。对于不同的恒星，坐标系的原点和坐标轴空间取向都是不同的，称为局部坐标系，又可以有局部赤道坐标系或局部银道坐标系之分。65第六十五页，共九十三页，2022年，8月28日

切向速度并不是直接可观测量，只能通过测定恒星的自行和距离来求得。所谓恒星自行是指单位时间（通常取1年或100年）内恒星在天球上位置的变化，称为年自行或百年自行。因此，自行就是恒星在天球上的运动角速度。

为测定恒星的自行，至少需要在两个不同的时间来测量恒星的天球位置（赤经和赤纬）。除了观测和测量设备自身的精度外，这两个时间（天文学上称为观测历元）相隔越长，即历元差越大，年自行的测定精度就越高。

第六十六页，共九十三页，2022年，8月28日

尽管恒星的实际空间运动速度可达每秒几十公里或更高,但由于距离很远，表现为恒星的自行运动是很小的。就肉眼可见的恒星来说，自行大多小于每年0.″1，而暗星的自行往往比这更小。另一方面，河外天体因为距离非常远，通常可认为它们的自行为零。

天文学家凭借高精度的空间天文观测手段（依巴谷天体测量卫星），已经测得了几十万颗恒星的年自行，精度好于千分之一角秒。

恒星自行的确定对于天文实测工作来说是必不可少的，它们是星表的重要组成部分。第六十七页，共九十三页，2022年，8月28日三.视向速度不同恒星的空间运动速度和速度的3个分量各不相同，其中自行会改变不同恒星在天空中的相对位置。另一方面，恒星视向速度所产生的效应是使恒星远离或靠近观测者，但不会改变观测者所看到的不同恒星在天空中的相对位置。

恒星视向速度测定的基础是物理学上的多普勒效应，这一效应的数学表达式是：

第六十八页，共九十三页，2022年，8月28日其中光速c和静止波长λ0是已知的,λ

可以通过实测来加以确定,于是利用多普勒效应即可得出光源（天体）的视向速度v。大量的实测结果表明，约50%恒星的视向速度不超过每秒18公里，80%恒星的视向速度不超过每秒30公里。另一方面，星系的视向速度要大得多，可达每秒几千公里甚至更大。

图2-7多普勒效应使恒星光谱中的谱线发生位移第六十九页，共九十三页，2022年，8月28日

天体的视向运动有两种情况：如果天体在远离地球运动，就有λ>

λ0

，观测谱线与静止谱线相比较是向光谱的红端（长波）方向移动，v>0，称为谱线红移。反之，当天体在接近地球运动时，λ

<

λ0

，观测谱线向光谱的蓝端（短波）方向移动，v<0，称为谱线蓝移（亦称紫移）。由于多普勒效应，对包括光波在内的电磁波来说，辐射源（天体）的运动使天体观测谱线的位置发生变动，视向速度越大，谱线的多普勒位移越大。70第七十页，共九十三页，2022年，8月28日天体视向速度的多途径应用

天体（恒星、星系等）视向速度测定值可以用于多方面的天文物理研究课题，如：

1.最基本的应用是确定天体沿观测者视线方向的运动状态。

2.测定双星的轨道运动。双星中的2颗子星,除了整体上（双星系统质心）的视向运动外，同时还作互绕运动。因此，子星的观测视向速度会表现出周期性的变动，仔细分析这种变化可确定双星的轨道运动。第七十一页，共九十三页，2022年，8月28日

3.脉动变星和爆发变星（新星、超新星等）除自身的视向运动外，星体表面在膨胀（或收缩），观测视向速度是这2种运动的合成，因而可用于测定这类变星的径向运动。

4.同样的原理，也可以用于测定气体星云（如蟹状星云、行星状星云等）的径向膨胀运动。

5.确定远距离河外天体的宇宙学距离。第七十二页，共九十三页，2022年，8月28日四.成团天体的内部运动

除了需要测定和研究各类天体的空间运动外，在天体物理中经常会讨论到成团天体的内部运动状态，这里的成团天体可以是星团、星系或者星系团等。

成团天体的内部运动又可以分为两类。以星系为例，其一是各别恒星（或星团）在星系内的空间运动，其二是所有成员天体（恒星或星团）的总体运动状态。第七十三页，共九十三页，2022年，8月28日

研究各别天体在团内的空间运动较为困难。对于星系来说,通常仅限于银河系，即使是近距河外星系，也无法测出其中恒星的自行,更不用说星系团中星系的自行了。对于银河系内的星团,只有距离比较近的星团才能取得团内恒星较为可靠的自行。另一方面，对遥远的河外星系，唯一能测得的运动学资料是它们的视向速度。银河系内恒星能否测得其视向速度，取决于恒星的亮度。由于测定方法的不同，能测得自行的恒星，未必能测得它们的视向速度。第七十四页，共九十三页，2022年，8月28日

团内成员天体的总体运动学状态可用速度弥散度来表征，这里速度弥散度是用来描述成员天体运动速度间差异大小的一个特征量。如设第i个天体的运动速度（视向速度或自行）为vi，则速度弥散度σ

的定义为：其中是全部n个成员天体运动速度的平均值。

对于自行和视向速度可以由上式分别计算它们的自行弥散度和视向速度弥散度，其中自行弥散度又有赤经和赤纬（或者银经和银纬）方向的2个分量。(2-6)75第七十五页，共九十三页，2022年，8月28日

在有关σ

的计算中，有2个问题必须认真考虑。

1.vi为观测量，其中包含了观测误差。因此，由公式(2-6)算得的

σ

是观测弥散度，而不是能真实反映成员天体在团内运动速度之间差异之实际大小的“内禀弥散度”。如把后者记为σ0，则应该有σ

>σ0。

σ0的计算通常可采用两种方法。一是在σ

中扣除vi

观测误差的影响，另一种在确定成员天体的过程中直接求得σ0。前一种方法在实用上会有一定的困难。

2.

参与公式(2-6)计算的只能是成团天体的成员，不能混入非成员天体。这就涉及如何正确判定团成员的问题,而这一问题的彻底解决颇为不易，甚至无法做到。我们将在有关星团成员确定的内容中作较为详细的说明。第七十六页，共九十三页，2022年，8月28日间接计算内禀速度弥散度的困难

所谓“间接计算”是指先由速度观测值vi

得出观测弥散度σ

，然后在σ

中扣除vi

中观测误差εj

的影响以得出内禀弥散度σ0,计算公式为：并可进而设法估算σ0

的确定精度（中误差）；上式中

l为参与计算的天体的数目。现在的问题是，

对于一个星团来说在

l

个参与计算的样本恒星中，很可能会混入非星团成员的恒星，这就会影响到星团内禀弥散度σ0的最后结果，通常使σ0

估算值偏大。在具体工作中，必须考虑到这一点。第七十七页，共九十三页，2022年，8月28日§2.6视差和视差位移一.视差的定义

从两个不同位置观测同一目标两视线方向的差异称为视差，天文学上称天体对地球公转轨道半径的最大张角为周年视差，简称视差。显然，天体离太阳越远视差越小，如能设法测出天体的视差，就可以求得天体的距离r。如以角秒为单位，距离以秒差距为单位，则可以有简单关系：第七十八页，共九十三页，2022年，8月28日

正因为有上述简单关系，天文学上往往把视差看作是距离的同义语。太阳系范围内常用距离单位为AU，太阳系附近区域用光年或秒差距，银河系天文学中常用kpc，而宇宙大尺度结构则往往用Mpc为单位。二.周年视差对天体坐标的影响

由球面天文学可知，周年视差对恒星黄道坐标的影响公式为：第七十九页，共九十三页，2022年，8月28日式中和为恒星在日心坐标和地心坐标中的黄经、黄纬,a为日地平均距离,R为地球向径,L是太阳黄经。公式中的角度量均以角秒为单位。因R/a的范围在（1－1/60，1＋1/60）之间,故近似有R/a≈1,再令

(x,y)分别为恒星因视差存在而在黄纬圈和黄经圈上的位移量。80第八十页，共九十三页，2022年，8月28日于是不难得出：

由上式可见，因周年视差的影响恒星在一年内于天球上描绘出一个椭圆，称为视差椭圆，其中心位置即是恒星在日心坐标系中的位置。对于黄极上的恒星，＝90，椭圆变成半径为π

的一个圆；而对于黄道上的恒星，因为＝0，椭圆退化为一条长2π的线段。

第八十一页，共九十三页，2022年，8月28日

恒星周年视差对天体赤道坐标的影响是：

其中称为视差因子。前式给出把恒星地心位置化算为日心位置的改正数公式。表面上看，只要在不同日期（称为历元）对恒星位置进行2次观测,即可得出它的视差；实际上由于恒星还存在自行，故至少需要作3次观测。第八十二页，共九十三页，2022年，8月28日星系天文学发展简史一、星系天文学的研究对象

星系是宇宙的基本组成单元，其中包括银河系。星系是由大量恒星和星际物质组成的天体系统。星系天文学的内容是从总体上研究星系及其组成成份的物理化学性质、结构、运动学和动力学状态,及其演化规律，其中研究银河系的部分称为银河系天文学，其前身是恒星天文学。恒星天文学主要研究恒星、星际物质及各种恒星集团的空间分布和运动学、动力学特性,而银河系天文学还包括研究银河系总体结构和特性、大尺度运动和演化等问题。第八十三页，共九十三页，2022年，8月28日

恒星天文学和恒星物理学有密切的关系。第一，恒星天文研究需应用天体物理方法取得的各种观测资料，如星等、色指数、光谱型、光度级、视向速度等。这些数据的取得有时列入恒星物理学，有时列入实测天体物理学，但广义上说也可列为恒星天文学内容。第二，恒星天文学和恒星物理学有一些共同的研究目标,即认识恒星、恒星系统的结构与演化，为掌握银河系以至更大尺度上物质宇宙的发展规律提供重要资料。

这两门学科之间也有明显的区别。这主要表现在恒星天文学着重于对大批恒星进行综合研究，而恒星物理学则着眼于研究个别恒星。在恒星天文学研究中需要大量的天体物理观测资料，而在恒星物理学中则往往是对少数有代表性天体的物理化学性质进行细致分析。第八十四页，共九十三页，2022年，8月28日

此外，天体的温度、密度、磁场强度、化学组成的测定，以及对这些天体上出现的物理现象的解释通常归于恒星物理学，而不是恒星天文学。另一方面，恒星物理一般不研究恒星的运动及恒星系统的运动学和动力学演化。

恒星天文学和天体测量学的联系十分紧密，主要表现在恒星天文研究需要大批通过天体测量方法所取得的观测资料，如天体的球面位置、运动（自行）和距离（三角视差）。恒星天文研究对这些基本天体测量数据的要求越来越高，欧洲空间局的依巴谷卫星计划就是在这一背景下形成的。天体测量学长年累月的辛勤劳动，往往首先在恒星天文领域上开花结果，并进而为其他天文学分支学科所应用。85第八十五页，共九十三页，2022年，8月28日

银河系天文学是专门研究银河系及其组成部分的结构和演化的学科，同星系天文学有着密切的联系，后者实际上就是从银河系天文学发展而来的，但同时又有自身的一些特征。我们处于银河系之内，可以详细观测研究其许多细节,但对于银河系全貌的认识会因此受到限制。另一方面，尽管河外星系距离很远，难以窥见其细节，但却较容易看到它们的总体结构状态，从这个意义上来说，银河系天文学和星系天文学是相辅相成的。不仅如此，星系天文学的一些重要结论，应该经得起银河系相关