数学建模指派问题

数学建模指派问题第一页，共二十页，2022年，8月28日设置变量:z………总成本数学模型:每项任务由一人完成

每人只承担一项任务

总成本最小第二页，共二十页，2022年，8月28日解矩阵的特征全部元素仅取0或1每行有且仅有一个1每列有且仅有一个1第三页，共二十页，2022年，8月28日性质

从原成本矩阵C的任一行(列)中各元素加(减)一个常数,得到新的成本矩阵,则此两成本矩阵的指派问题的最优解是相同的.证明：设矩阵C的第i行对应的常数为di，

即f与z仅差一个常数,所以两目标在相同的约束条件下，最优解是相同的.第四页，共二十页，2022年，8月28日求解的思想方法

若利用以上性质，能把成本矩阵变换到存在n个独立的0元素(在不同行不同列),且保持每个Cij非负.这时让这n个0元素的位置对应的xij=1,其余位置的xij=0，就得最优解.因为它是目标值为0的可行解，且总有

第五页，共二十页，2022年，8月28日匈牙利数学家

康尼格(D.Konig)的定理若在成本矩阵C中最多能找到k个独立0，则必可画k条直线把C的全部0覆盖.第六页，共二十页，2022年，8月28日匈牙利法步骤(1)把成本矩阵的各行每一元素分别减去该行中的最小元素,再检查每列中是否都有0,若不是，则把没有0的列的每一元素分别减去该列中的最小元素.(2)如果能在矩阵中找到n个独立的0元素,就可以进行指派,即对应于这n个0元素的位置的xij=1,其余位置的xij=0.结束.第七页，共二十页，2022年，8月28日(3)当独立的0个数k<n时,可用k条直线覆盖全部0.然后从未被覆盖的各元素中,选出最小的元素a,把未被覆盖的各元素减去这个最小元素,而两直线交叉处的元素加上这个最小元素.（这种操作相当于：未被覆盖的行都减a，被覆盖的列都加a.）(4)重复第(3)步,直做到能在矩阵中找到n个独立的0为止,这样就可以进行指派.第八页，共二十页，2022年，8月28日第九页，共二十页，2022年，8月28日第十页，共二十页，2022年，8月28日最大化指派问题第十一页，共二十页，2022年，8月28日第十二页，共二十页，2022年，8月28日不平衡时的处理办法—虚拟法前面讲的方法只适用于人数与任务数相等当人数与任务数不相等时n----人数,m----任务数若n>m,则虚拟n-m个任务，相应Cij=0若n<m,则虚拟m-n个人，相应Cij=0这样就化为人数与任务数相等的情况第十三页，共二十页，2022年，8月28日第十四页，共二十页，2022年，8月28日第十五页，共二十页，2022年，8月28日第十六页，共二十页，2022年，8月28日在C中找出最多独立0的步骤设Wi表示第i行0的数目,Lj表示第j列0的数目.1.统计Wi和Lj（i,j=1,2,…n）.2.按W1，W2，…,Wn,L1,L2,…,Ln顺序找出第一个最小正数，选中该行（列）首个0.3.删除该0所在的行与列,对应的Wi=0,Lj=0.4.重复步骤1~3，直到全部Wi=0为止.第十七页，共二十页，2022年，8月28日这样就找到4个独立0第十八页，共二十页，2022年，8月28日如果按自上而下从左到右顺序找这样只找到3个独立0第十九页，共二十页，2022年