数学物理方法第一章复变函数

数学物理方法第一章复变函数第一页，共五十一页，2022年，8月28日课程内容复变函数论复变函数复变函数的积分幂级数展开留数定理傅立叶变换拉普拉斯变换数学物理方程数学物理定解问题分离变数法二阶常微分方法解法本征值问题球函数(柱函数)积分变换法第二页，共五十一页，2022年，8月28日课程考核作业，出勤20%期中20%期末60%第三页，共五十一页，2022年，8月28日学习要求保证出勤课后复习按时按量完成作业有问题及时问共同探讨，共同提高第四页，共五十一页，2022年，8月28日第一篇复变函数论第一章复变函数第五页，共五十一页，2022年，8月28日1、1复数与复数运算（一）复数的基本概念α=a+ib实部Reα虚部Imα复数平面内用矢量表示复数的极坐标表示：(r,θ)模辐角第六页，共五十一页，2022年，8月28日复数的三角式：α=r(cosθ+sinθ)复数的指数式：α=re

iθ注意：1、辐角值不能唯一确定，可以取无穷多值，彼此相差2π的整数倍。以argα表示其主值，也称为主辐角。θ=Argα=argα+2kπ第七页，共五十一页，2022年，8月28日2、复数零，即实部、虚部都等于零的复数，其辐角无意义。共轭复数α*=a-ib=r(cosθ-isinθ)=re–iθ互为共轭的复数关于实轴对称第八页，共五十一页，2022年，8月28日(二)无限远点在复变函数论中，将模为无限大的复数对应到复平面上的一点，称为无限远点。∞对应N极点模无限大辐角无明确意义第九页，共五十一页，2022年，8月28日（三）复数的运算交换律、结合律与分配律都成立第十页，共五十一页，2022年，8月28日采用三角式或指数式更有利于乘、除、乘方和开方第十一页，共五十一页，2022年，8月28日注意：1、|z|2与z2的区别。前者是模r的平方。zz*=|z|2后者是z的自乘。2、关于复数的研究可以转化为一对实数（实部、虚部）的研究。例如：z=x+iy逼近常数z0=x0+iy0,即z逼近z0。可归结为x逼近x0，y逼近y0。第十二页，共五十一页，2022年，8月28日1、2复变函数（一）复变函数的定义在复平面上存在一个点集E，对于E中每一点，按照一定规律，有一个或多个复数值ω与之对应，则称ω为z的函数----复变函数。z为ω的宗量，定义域为E。记作：ω=f(z),z∈E第十三页，共五十一页，2022年，8月28日（二）区域的概念满足一定条件的点集，称为区域，记作B。邻域：以复数z0为圆点，以任意小正实数ε作半径划一个圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。内点：若z0及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点。外点：若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点。第十四页，共五十一页，2022年，8月28日境界点（边界点）：若z0的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则z0称为E的境界点。既不是内点，也不是外点。境界点的全体成为境界线。直观地说，区域就是宗量z在复数平面的取值范围。严格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：（1）全由内点组成；（2）具有连通点，即点集中任意两点都可用一条折线连接起来，且折线上的点都属于该点集。第十五页，共五十一页，2022年，8月28日闭区域：区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域。注意：区域可以是各种各样的。比如，圆形域|z-z0|<r,z0为圆心，r为半径。环形域a<|z-z0|<b,a为内半径，z0为环心，b为外半径。≤表示闭圆域，闭环域圆形域|z|<rr闭圆域|z|≤r环形域a<|z|<bab闭环域a≤|z|≤b第十六页，共五十一页，2022年，8月28日（三）复变函数举例第十七页，共五十一页，2022年，8月28日初等函数定义式：第十八页，共五十一页，2022年，8月28日注意：1、sinz和cosz具有实周期2π，即：sin(z+2π)=sinz,cos(z+2π)=cosz在实数域内，|sinx|≤1，|cosx|≤1。第十九页，共五十一页，2022年，8月28日但在复数域内，第二十页，共五十一页，2022年，8月28日第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日2、ez,shz和chz具有纯虚数周期2πi，即3、由于Argz不能唯一确定，可以加减2kπ,则对于给定z，对数lnz=ln|z|+iArgz有无限多个值。实数域中，负数的对数无意义，但在复数域中，当z为负实数时，复变函数lnz仍有意义，即lnz=ln(|z|eiπ+i2πn)=ln|z|+i(2n+1)π第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日把复变函数f(z)的实部和虚部分别记为u(x,y)和v(x,y),即f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则复变函数可归结为一对二元实变函数。因此，实变函数中的许多公式、定理都可以移植到复变函数中。例如，f(z)在z0=x0+iy0的连续定义为：当z-〉z0时，f(z)->f(z0)可归结为一对二元实变函数u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)连续，即当x->x0,y->y0时，u(x,y)->u(x0,y0),v(x,y)->v(x0,y0)第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日1、3导数设函数ω=f(z)是在区域B上定义的单值函数，即对于B上每一个z值，有且只有一个ω与之对应。若在B上的某点z，极限则称函数ω=f(z)在z点可导，此极限称为f(z)在z点的导数，以f’(z)或df/dz表示。复变函数的导数定义，在形式上与实变函数的导数定义一样，因此，实变函数论中关于导数的规则和公式可以用于复变函数中。第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日必须指出的是，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，但是实质上却有很大不同。因为实变数Δx只能沿实轴逼近零，复变数Δz却可以沿复数平面上任一曲线逼近零。因此，复变函数的可导是更严格的要求。第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日Δz沿平行于实轴方向逼近零，则Δy=0,Δz=Δx->0，于是：Δz沿平行于虚轴方向逼近零，则Δx=0,Δz=Δy->0，于是：第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日如果f(z)在点z可导，则以上两个极限必须存在且彼此相等，即称为柯西-黎曼方程（条件），C-R条件，是复变函数可导的必要条件。注意：C-R条件只能保证Δz沿实轴逼近零或沿虚轴逼近零时，Δf

/Δz逼近同一极限，并不能保证Δz沿任意曲线逼近零时，Δf

/Δz逼近同一极限，因此，C-R条件不是复变函数可导的充分条件。第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日函数f(z)可导的充分必要条件：f(z)的偏导数存在且连续，并满足C-R条件。第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日这一极限与Δz-〉0的方式无关，且为有限值。第三十页，共五十一页，2022年，8月28日复变函数的可导比实变函数的可导更严格，具体表现之一就是，函数的实部和虚部通过柯西-黎曼条件约束。极坐标中的柯西-黎曼方程：作业：从直角坐标系中的C-R方程，推导极坐标中的C-R方程。第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日1、4解析函数若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则f(z)在z0点解析。若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域B上的解析函数。可见，函数在某一点解析，则必该点可导。反之不成立！例如，f(z)=|z|2仅在z=0点可导，而在其他各点均不可导。第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日表明函数在某一点可导与解析是不等价的。但是，函数若在某一区域B上解析，则在B上处处可导。即，函数在某一区域上可导与解析是等价的。第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日解析函数的主要性质：1、若f(z)=u+iv在B上解析，则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1,C2为常数)是B上两组正交曲线族。第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日例如：第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日2、若f(z)=u+iv在B上解析，则u，v均为B上的调和函数。调和函数是指，如果某函数H(x,y)在B上有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称H(x,y)为B上的调和函数。后面将证明，某区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，那么u，v的二阶导数均存在且连续。第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日假设给定的二元调和函数的实部为u(x,y)，试求相应的虚部v(x,y)。可分别利用三种方法计算：（1）曲线积分法；（2）凑全微分显式法；（3）不定积分法第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日yx0(x,0)(x,y)第四十页，共五十一页，2022年，8月28日第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日1、5平面标量场物理或工程技术上经常要研究各种场，如电磁场、温度场。通常，这些场可能会随时间、空间发生变化。若与时间无关，则称为恒定场，如静电场。若研究的场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直该方向的平面上进行研究，这样的场成为平面场。平面是指，x,y变化则场值变化，与z无关，从三维变为二维。标量，即不是矢量，无方向问题。第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日首先来看平面静电场，在没有电荷的区域内，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程。那么可以用某一个解析函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)的实部或虚部表示该区域上的静电场电势。解析函数f(z)称为该平面静电场的复势。因为它的实部或虚部就是电势。设u(x,y)表示电势，那么u(x,y)=常数为等势线族。因为v(x,y)=常