高中数学123高阶导数教案新人教A版选修2-2

2013年高中数学1.23高阶导数教课设计新人教A版选修2-2教课内容：高阶导数的定义与计算。教课目标：认识高阶导数的定义，熟习高阶导数的计算。教课要点：高阶导数的定义与计算。教课难点：高阶导数的计算。教课方法：讲解与练习。教课学时：2学时。●前言：我们已经知道，一个可导函数的导（函）数仍旧是一个函数，这个函数我们又能够议论它的可导性与导（函）数，以此类推，就产生的函数的一系列导数的问题，这些就是本节课我们将要学习的高阶导数的内容。一、引例：先看一个物理问题：已知物体运动位移与时间关系为ss(t)，求它在某一时刻t0的加快度。速度是位移的变化率，即：v(t)limslims(tt)s(t)s'(t)；t0tt0t加速度是速度的变化率，即：a(t)limvlimv(tt)v(t)lims'(tt)s'(t)s''(t).t0tt0tt0t可见，加快度就是位移的导数的导数，也就是我们将要介绍的位移的二阶导数。同时也看到，研究高阶导数是有其实质价值的。二、高阶导数的定义：定义若函数f(x)的导函数f'()可导，则称函数f(x)在点x0二阶可导，并称x在点x0f'(x)在点x0的导数为f(x)在点x0的二阶导数，记作f''(x0)，d2y，，即：dx2xx0一般的，若函数f(x)的n1阶导函数f(n1)(x)在点x0可导，则称函数f(x)在点x0n阶可导，并称f(n1)(x)在点x0的导数为f(x)在点x0的n阶导数，记作f(n)(x0)，dny，，即：dxnxx0二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，从前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数f(x)在区间I上每一点都可导，即x0I，有f(x)在点x0的独一n阶导数与其对应，这样成立了一个函数，称为f(x)在I上的n阶导函数，简称为f(x)在I上的n阶导数，记作：f(n)(x),dyn,。dxn三、高阶导数的计算：函数n阶导数的计算一般思路就是依据定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法例n次即可。除此以外我们再介绍两个计算函数n阶导数的计算公式。1．[uv](n)u(n)v(n)。2．设yuv，则y'u'vuv'；y''u'vuv''u''v2u'v'uv''；y'''u''v2u''uv''''''v3u'''3u''''''；vuvvuv依此类推，我们可由数学概括法证得以下莱布尼茨公式（结果与二项式uvn睁开式极为相像）：NCnku(nk)v(k)，K0此中u(0)u，v(0)v。四、高阶导数求解举例：例1．求幂函数yxn(nN)的各阶导数。解：y'xn'nxn1；y''nxn1'n(n1)xn2；y'''n(n1)xn2'n(n1)(n2)xn3；；y(n1)nn1)(n2)2x；y(n)(n1)(n2)21!；(nny(n1)y(n2)0。例2．求指数函数yex的各阶导数。解：y(n)ex(n)ex,(nN)。例3．求函数yeax（a为常数）的各阶导数。解：y'eax'aeax；y''aeax'a2eax；y'''a2eax'a3eax；；y(n)an1ax'anax(nN)ee例4．求三角函数ysinx与ycosx的各阶导数。解：y'sinx'cosxsinx；2y''cosx'sinxsinxsinx2；2y'''sinx'cosxsinx3sinx3；22y(4)cosx'sinxsinx2sinx42；；一般地，sinx(n)sinxn2，近似可得，cosx(n)cosxn，nN2例5．求函数yexcos的5阶导数。解：ex(k)exx(k)xkkn,coscos(),0,1,2,,2由莱布尼茨公式得：例6．求函数yx2e2x的20阶导数。解：设2x'2x'2x''2x'22x(20)192x'202xue2eu2e2eu2e2e，则；，，，vx2，则v'x2'2x，v''2x'2，v'''v(4)v(20)0；由莱布尼茨公式得：y(20)u(20)vC201u(19)v'C202u(18)v''x2,x0例7．研究函数f(x)2,x的高阶导数。x0解：f

'

(x)

2xx00x02xx0f

f'(0)limx0'(0)limx0

f(x)f(0)limx0x0f(x)f(0)limx0x0x200x0；x200x02x0

f‘'(0)

lim

’‘f(x)f(0)

lim2x02f

''

(x)

不存在x02x0

x0x0f'’(0)limf‘(x)f’(0)x0x0x0x0；lim2x0－2x0x0f(k)(x)0x0k3。不存在x0注：本题的解法对分段函数是拥有一般性的，我们应当娴熟掌握。xa(tsint)yy(x)的二阶导数。例8．试求由摆线参量方程a(1所确立的函数ycost)解：yaa0x由含参量方程求导法例的