备战2022年高考数学二轮复习培优专题 第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题

第四十四讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题一、选择题1．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2A．2+32B．2＋3C．1+2【答案】A【解析】根据题意，可知PF解得PF根据余弦定理，可知(2c)2整理得c2所以e12+故选A.2．已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上.在ΔEFP中，若sin∠EFP=μ⋅sinA．22B．32C．2【答案】C【解析】由题意得，准线l:x=−p2，E−p2,0，Fp2,0，过P作PH⊥l，垂足为H，则由抛物线定义可知PH=PF，于是μ=sin∠EFPsin∠FEP=PEPF=PEPH=3．过y2=4x上任一点作x−32+yA．142B．1C．73【答案】A【解析】根据题意，设Mm,n为抛物线y2=4x上任一点，圆x−32+y2=1设MC=t，则PM=又由SΔPMC变形可得PQ=2所以当t最小时，PQ最小，又由MC2则当M的坐标为1,4或1,−4时，MC=t取得的最小值8此时PQ最小，且PQ的最小值为2×1−184．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且PA．(-16,-10)B．(-10,-394]C．【答案】C【解析】因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列所以2a+2c=4b，即a+c=2bF(3,0)为椭圆C的右焦点，所以在椭圆中，a所以a2=所以椭圆方程为x设P(m,n)0<m<5则m225+OP⋅PF==3m−m=3m−=−=−因为0<m<5，所以当m=256时，OP⋅当m趋近于0时，OP⋅PF所以OP⋅PF所以选C5．P是双曲线x29−y216=1的右支上一点，M、N分别是圆A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】双曲线a=3,b=4,c=5，故焦点为F1−5,0,F25,0，圆心分别为−5,0,5,0，半径分别为1,2.画出图像如下图所示.要求PM−PN的最大值，也即是求PM的最大值减去PN的最小值.由图可知PM的最大值为PF6．已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线A．[1,+∞]B．[23,+∞)C．【答案】D【解析】椭圆C：x24+y23=1焦点在x轴上，a=2，b=3，c=1，右焦点F（1，0），

由P在圆x2+y设Q（2cosθ，3则kAP⋅kQF=3sinθ2cosθ+2⋅7．已知F1,F2是双曲线x2a2−y2bA．[2,+∞)B．(2,+∞)【答案】B【解析】设AF1:y=k(x+c),(|k|<b选B.8．已知直线y=kx−1与双曲线x2−y2A．0,52B．1,52【答案】D【解析】由x2−根据图象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=52或k=﹣5∴1＜k＜52时直线与双曲线的右支有2个交点故选：D．9．设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0)的左、右焦点分别为FA．(0，22)B．(2【答案】D【解析】∵点N(c,a2)在椭圆的外部，∴c2a2+a24b2＞1，b2a2＜12，

由椭圆的离心率e=ca=10．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，Ρ是它们的一个公共点，且∠F1ΡF2A．3B．433C．2【答案】D【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a则根据椭圆及双曲线的定义PF∴P设F1则在ΔPF4c∴化简a12+3a∴1∴1e1e2≤11．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆C2:x2+yA．36B．42C．49D．50【答案】B【解析】设抛物线方程为y由抛物线过定点2,4得2p=8，抛物线方程y2=8x，焦点为圆的标准方程为x−22+y2=1,∴圆心为由于直线过焦点，可设直线方程为y=kx−2，设y=kx−2y又PN=xx1∴PN+9QM的最小值为12．已知抛物线M:y2=2x，圆N:x−12+y2=r2

（r>0），过点1,0的直线l交圆N于C,A．r∈(0，32]B．【答案】B【解析】由题意，当l⊥x轴时，过x=1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,±r)，满足题设；当l与x轴不垂直时，设直线l:x=my+1,m≠0，代入抛物线的方程y2=2x，得y2−2my−2=0把直线l:x=my+1代入圆的方程(x−1)2+y设A(x因为AC=BD，所以y1可得2m2+2设t=m2>0，则r=所以r>2，即实数r的取值范围是(213．已知F1−c,0,F2c,0是椭圆C:A．33，53B．3【答案】B【解析】设Px0,y0,∴−c−x0,−y0整理得∴x∴0≤a2c2故选B.14．已知椭圆C1:x23+y22=1的左、右焦点为F1,F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点A．(−∞,−6)∪[10,+∞)B．[10,+∞)C．(−∞,−10]∪[6,+∞)D．[6,+∞)【答案】A【解析】∵椭圆C1：x23+y22=1的左右焦点为F∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），则y=t，且由|MP|=|MF2|，∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，∴曲线C2：y2=4x．∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，∴AB→=(x∵AB⊥BC，∴AB→⋅BC→=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y∵x1=1∴（y12﹣4）（y22﹣y∵y1≠2，y1≠y2，∴(y整理，得y1关于y1的方程有不为2的解，∴△=(2+y2)2−4(2∴y22−4y2−60≥解得y2＜﹣6，或y2≥10．故选：A．15．已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线A．13，+∞B．13，+∞【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为F1F2=2c∵      ∴       t=2a1−c,t=2a∴    1e∴   由e2>1可知0<1e2所以e2−16．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．(32,1)B．(2【答案】B【解析】∵∠APO=90°，∴点P在以AO为直径的圆上，∵O(0,0),A(a,0)，∴以AO为直径的圆方程为x−a22+y2=a24由x2a2+y2b2=1x2+y2−ax=0消去y,得(b2−设P(m,n)，∵P、A是椭圆x2a2+y2b2=1与∴m+a=−a3b∵由图形得0<m<a,∴0<a即b2<a2−b2,可得a2−c2<c2,得a2<2c2，∴a<2c,解得椭圆离心率又∵e∈(0,1)，∴椭圆的离心率e的取值范围为22本题选择B选项.17．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上一点A关于原点的对称点为B，FA．[22,1]B．[2【答案】B【解析】椭圆x2a2+y2b2椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e=2c2a=1sinα+cosα=12sin(α+π4)，α∴5π12≤α+π4≤则：2(3+1)4≤sin（α+∴22≤12sin(α+∴椭圆离心率e的取值范围：[2故答案为：B18．抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点A．118B．54C．3【答案】A【解析】由题意设Ax1,y1，Bx2,联立方程y=kx+by=2x∴Δ=k2+8b>0，x点M的纵坐标y0=∵弦AB的长度为3∴1+k∴(1+4y整理得(1+4y0根据基本不等式，(1+4y0−4b)+(4y0∴y0≥118，故选A.19．已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线CA．4B．6C．8D．16【答案】C【解析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长2a1，双曲线实轴长为2aPF1+PF2=2①2+②2将④代入③得a则9e故9e120．已知抛物线x2=4y的焦点为F，双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为A．32B．32C．3【答案】B【解析】∵抛物线x2=4y的焦点F为(0,1)，双曲线x∴过点F，F1的直线方程为∵抛物线在点M处的切线与直线y=−3∴抛物线在点M处的切线的斜率为3∵抛物线方程为y=∴y设点M的坐标为(x0,y0∴y∴M(∴13=−1∵c∴a2+b∴ab的最大值为3故选B.21．过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆x−12+y2=A．32,+∞B．2,+∞【答案】B【解析】由题意，（1）当l⊥x轴，过x=1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,±r)，满足题设；（2）当l不与x轴垂直时，设l:x=my+1，代入y2=4x联立得把直线l:x=my+1代入圆的方程(x−1)2+y设A(x因为AC=BD，所以y1所以r=2(m2+1)>2，当22．（2017·海口市调研）在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMNA．0,63B．0,32【答案】A【解析】因为OPMN是平行四边形，因此MN//OP且MN=OP，故yN=a2，代入椭圆方程可得因α∈π6,π4所以a<3b即a2<3a23．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了.已知直线l:kx−y−2k+1=0与椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A、BA．0,12B．12,1【答案】C【解析】直线l：kx−y−2k+1=0，即k∵直线l恒过定点2，1∴直线l过圆C2∵AC=∴C2的圆心为A、设Ax1x上下相减可得：x化简可得−−2∙be=故选C24．已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，且AF=3FB，抛物线的准线l与x轴交于C，AA1⊥l于点A1，且四边形AA1CF的面积为63，过K(−1,0)的直线l'交抛物线于M,N两点，且KMA．(3,134]B．(2,9【答案】A【解析】过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，设BD=m，BF=n，则BDAD=BB1AA即mm+4n=1∴m=2n．又BB1CF=BDDF，∴np=m∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=23p，CD=3p，∴A1C=3p，∴直角梯形AA1CF的面积为12（2p+p）•3p=63解得p=2，∴y2=4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），∵KM→=λKN∴y1=λy2，设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=4，∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，由①②可得4m2=(1+λ)2λ由1＜λ≤2可得y=λ+1λ+2递增，即有4m2∈（4，92]，即m2∈（1，又MN中点（2m2﹣1，2m），∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，134故选：A．25．已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线x2a2−y2b2=1A．(0 ，  π6)【答案】B【解析】：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以p=2c，因为AF与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为(p2,p)因为b2=c2化简得：c4−6c2a解得e2=3+22或3−2由e2=c2a所以区间可能是(π故选B.二、填空题26．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），圆M：(x−a)2+【答案】4【解析】设渐近线方程为y=bax，∵bx−ay=0与x−a2+所以圆心到直线的距离等于半径，∴abb2∴f'=12∵a>0,∴a>2时，f'a>0；a<2时，fa在0,2上递减，在2,+∞上递增∴a=2时，fa此时长轴2a=4，故答案为4.27．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为e，直线AB的斜率为k，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF、BF的中点分别为M、N，以线段MN【答案】[【解析】设F(c,0)，直线AB的方程为y=kx，联立椭圆方程b2x2+解得x=±ab设A(abb2可得M(c2+由线段MN为直径的圆过原点O，可得OM⊥ON，即OM⋅即有c2可得k2由0<k≤1可得0<1−2e2解得2−2故填：[28．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为22，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记【答案】(【解析】因为椭圆x2a2+y所以2b=2ca=22因为过右焦点的直线l过椭圆C交于不同的两点A,B，设直线的方程为y=k(x−1)，联立y=k(x−1)x22设A(x1,λ=AP+BQ=4−因为k≥3，所以当k=3时，当k→+∞时，λmin所以实数λ的取值范围是(229．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F【答案】4【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,∵∠F1PF2=π3，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cosπ3在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，所以1由柯西不等式得（1+13）（1e12所以故答案为：430．设F1,F2分别是双曲线x2a2−y【答案】e∈【解析】根据题意，不妨设P在第一象限，M,N,A分别为ΔPF1F2内切圆与ΔP∵2a=∴A在双曲线上，故ΔPF1F2∴圆心到渐近线bx−ay=0的距离是d=∴弦长BC=2依题得2a1−b−ac2∴b−a≥∴b∵b∴c2−43ac−8∴e≥2故答案为e∈31．已知O为坐标原点，过点Pa,−2作两条直线与抛物线C：x2=4y相切于A，B两点，则△AOB【答案】42【解析】设Ax1,∴以A为切点的切线方程为y−y即y−1同理B为切点的切线方程为y=12x可得−2=a∴过AB的直线方程为a2x−y+2=0，联立可得x2−2ax−8=0，∴又O到直线AB的距离为d1S=1当a=0时，等号成立，故答案为4232．已知O为坐标原点，过点Pa,−2作两条直线与抛物线C：x2=4y相切于A，B两点，则△AOB【答案】4【解析】设Ax1,∴以A为切点的切线方程为y−y即y−1同理B为切点的切线方程为y=12x可得−2=a∴过AB的直线方程为a2x−y+2=0，联立可得x2−2ax−8=0，∴又O到直线AB的距离为d1S=1当a=0时，等号成立，故答案为4233．设点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y【答案】6【解析】：因为圆M与x轴相切于焦点F，所以圆心与F的连线必垂直于x轴，不妨设M(c,y)，因为M(c,y)在椭圆上，则y=±b2a由题意y>c>22y，所以c值范围)．34．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1b>a>0的右焦点为F,O为坐标原点，若存在直线l过点【答案】5【解析】由OA⋅OB=0（1）当直线l与x轴垂直时，则有AB⊥OF，∴AF⊥OF，即b2∴b2∴e2−e−1=0，解得（2）当直线l与x轴不垂直时．若直线l平行于渐近线时，直线l的斜率为k=ba，直线方程为代入双曲线方程可得点A的坐标为(a∴OA的斜率为k'又此时有OA⊥l，∴kk整理得c2=3a但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．∴双曲线离心率的取值范围是5+135．已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，P【答案】(1,2)【解析】设PF1=m，则∴2c2=1625又QF即45m∴方程m2−2ma∴25得e<2，又∴e故答案为：(36．已知A,B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA,PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是______.【答案】[【解析】不妨设椭圆C的方程为x2a2+y2所以x2a2+y2b2=1，x12a2+y12b2=1，,故答案为：[37．已知抛物线C:x2=8y的焦点为F，准线为l1，直线l2与抛物线C相切于点P，记点P到直线l1的距离为d1，点F到直线l【答案】1【解析】依题意，得点F0,2，因为y=x28，所以则直线l2：y−y0=x0d2=−2−y0x0∴t=当且仅当2+y0=∴t的最大值为12故答案为：138．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则【答案】10【解析】设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为b1、b2，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为a1、a2，则b1=3b2故答案为：10339．已知抛物线：的焦点为，准线为，过点