高三数学二轮复习-第四讲 主干考点 函数与导数

第四讲第42页─共42页第四讲主干考点函数与导数对于函数部分的备考，应先掌握基本概念和基本运算，牢记基本初等函数的图象与性质，重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法在解题中的应用，导数是高中数学知识的一个重要知识点，主要考查与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值、最值等常规问题求解的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明等．有关导数问题的求解过程又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，这些对培养考生的应用能力和创新意识都大有益处．【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、函数1．函数及其表示(1)概念：非空数集非空数集的对应（中有唯一与中的对应）．(2)三要素：定义域、值域()、对应关系．(3)表示方法：解析法、图象法、列表法．◆求函数定义域的主要依据①分式的分母不为零；②偶次方根被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于l；④由有限个基本初等函数运算合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数定义域的交集；⑤由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．【注意】对于复合函数的定义域，应遵循先内后外的原则，①若已知的定义域为，则的定义域由求出，②若已知的定义域为，则的定义域为在上的值域．◆求函数值域的常用方法①直接法：利用常见函数的值域来求，如：()的定义域为，值域为．()的定义域为，当时，值域为；当时，值域为；②配方法：利用二次函数的特征来求值域，常化为，的形式；③换元法：利用化归思想通过变量代换转化为容易求值域的函数；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数的有界性来求值域；⑤基本不等式法：转化成的形式，利用基本不等式来求值域．不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；⑥单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性，进而求其最值和值域．要特别注意定义域对值域的制约作用；⑦数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围；⑧分离常数法：即将有理分式转化为“反比典例函数类”的形式，便于求值域．2．函数的性质(1)单调性注意：先求出定义域，单调区间是定义域的子集．(2)判断方法：①定义法：设，且，作差，确定差值的符号．若为负，；若为正，．②导数法：若在区间内可导，则．【提醒】复合函数的单调性遵循“同增异减”法则．◆一些有用的结论①在公共定义域内：增+增=增；减+减=减；增−减=增；减−增=增．②函数在，上单调递增；在，上单调递减．③单调函数的等价定义：，且，．．(2)奇偶性对于先判定函数的定义域是否关于原点对称★①奇偶性定义：对于函数的定义域内任意一个都有．图象特征：关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同．【注意】若的定义域中有0，则必有，但是为奇函数的必要不充分条件．②偶函数定义：对于函数的定义域内任意一个都有．图象特征：关于轴对称，且在对称区间上的单调性相反．◆判定函数奇偶性的常用方法及思路①定义法②图象法③性质法在公共定义域内：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．【提醒】判断分段函数的奇偶性，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象判断．(3)周期性周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现，注意从代数变换角度分析．抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：①若，则的一个周期是．②若，则的一个周期是．③若或，则的一个周期是．(4)函数图象的对称性①一个函数图象的对称性a．若满足，即,则的图象关于直线对称．b．若满足，则的图象关于直线对称．c．若满足，则的图象关于点成中心对称．②两个函数图象的对称性a．函数与的图象的对称轴为，并非直线．b．函数与的图象的对称轴为．c．函数与的图象关于点对称．(5)图象变换①平移变换；．②对称变换；；；．③伸缩变换；．④翻折变换a．左右翻折变换：．b．上下翻折变换：．二、函数的图象和性质1．二次函数的图象和性质图象定义域值域单调性在上递减在上递增在上递增在上递减奇偶性时为偶函数，时非奇非偶函数图象特点①对称轴：；②顶点2．指数函数、对数函数的图象和性质指数函数对数函数值域图象不变性恒过定点恒过定点增减性时为增函数，时为减函数时为减函数，时为增函数3．幂函数的图象和性质(1)所有的幂函数在上都有定义，且都过点．(2)时，图象通过原点，并且在上是增函数，特别地，当时，图象下凸；当时，图象上凸．(3)时，图象在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．4．对数的运算性质；；；．（且，，）换底公式：（,均大于零且不等于1，）．三、函数与方程1．函数的零点方程有实数根①的图象与轴有交点有零点②．【注】①有根，函数才有零点，②一个实数，即的图象与轴交点的横坐标．函数的零点问题与的图象交点问题．2．二次函数()的图象与零点的关系二次函数()的图象与轴的交点，无交点零点个数2103．判断函数零点的主要方法①零点定理法：根据连续函数满足，判断函数在内存在零点．②数形结合法：函数的零点是函数的图象与轴交点的横坐标，【注意】利用零点定理法求解时，①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．四、导数1．导数的几何意义(1)在处的导数就是在点处的切线的斜率，即．(2)在点处的切线方程为．【提醒】求曲线的切线时要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点．2．导数的正负与函数单调性的关系(l)是为增函数的充分不必要条件，即为增函数，反之不成立．如函数在上单调递增，但．(2)是为增函数的必要不充分条件，即在内单调递增，反之不成立．当函数在某个区间内恒有时，则为常数，不具有单调性．3．导数的运算法则①.②.③．④()．⑤()．复合函数求导：设，，则．4．导数的应用(1)利用导数研究函数单调性的思维导图(2)利用导数研究函数极值的思维导图(3)利用导数研究函数最值的思维导图①求在闭区间上的最值求导数求内所有使的根求出根所对应的函数值与端点处的函数值比较大小得结论．②求在非闭区间上的最值求导数判断的单调性下结论【注意】(1)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(2)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．5．生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，利用导数解决生活中优化问题的基本思路为：五、定积分与微积分基本定理1．定积分的性质(1)(2)(为常数)(3)2．微积分基本定理一般地，如果函数在区间上是连续函数，并且，那么．3．定积分在几何中的应用由曲线与直线，和所围成的曲边梯形的面积为．(1)当时，．(2)当时，．(3)当时，；当时，，则．【注意】平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．【方法技巧突破】必考点1有关函数图象问题的求解【典例1】(2019年全国Ⅰ卷)函数在的图像大致为 AB CD【解析】∵，∴为奇函数，排除A；∵，∴排除C；∵，且，，∴排除B．故选D．【方法探究】利用特殊值和函数的奇偶性判断．【典例2】(2018全国卷Ⅲ)函数的图像大致为【解题思路】由函数的奇偶性判断函数的图象关于轴对称，然后利用导数判断函数的单调性即可确定该函数的图象．【解析】当时，，排除A，B．由，得或，结合三次函数的图象特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D．【方法总结】判断高次函数图象题目，注意运用导数的极值点．【典例3】(2017全国卷Ⅰ)函数的部分图像大致为【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，因为，所以，，故，排除A．故选C．【思路点拨】破解此类由函数的解析式判断函数的图象问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点，排除不适合的选项，从而得出合适的选项．【典例4】(2016全国卷Ⅰ)函数在[–2,2]的图像大致为A．B．C．D．【解析】当时，令函数，则，易知在[0，）上单调递增，在[，2]上单调递减，又，，，，所以存在是函数的极小值点，即函数在上单调递减，在上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D．【思路点拨】破解已知函数的解析式判断函数的图象题时，不仅要会用特殊点法排除，而且要会利用导数法，判断图象的单调性或利用导数的几何意义去识别．【典例5】若函数且的图象如图所示，则下列函数图象正确的是A．B．C．D．【解析】因为函数的图象过点，所以，解得，所以函数的图象不可能过点，排除A；函数的图象不可能过点，排除C；函数的图象不可能过点，排除D．故选B．【方法探究】求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，求出参数的值；二是利用特殊点法或函数的单调性来判断函数图象．总之，有关函数图象的判断题常利用“特殊点”与“函数的性质”来求解．【典例6】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为．将点到直线的距离表示成的函数，则在的图象大致为A．B．C．D．【解析】由题意知,，当时,；当时，，故选B．【典例7】已知函数，则的图象大致为【解析】解法一（函数性质法）函数满足，且，即且．设，则．由于，显然当时，，当时，，所以函数在处取得极大值，也是最大值，故，当且仅当时，，所以函数的定义域是，且函数在上的值域为，故函数的值域也是，且在附近函数值无限小，观察各选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求，解法二（特殊值检验法）当时，函数无意义，排除选项D中的图象，当时，，除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象．【方法探究】研究函数的图象要从研究函数的性质入手，即研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点等，通过函数的性质判断函数图象的大致形状，以选择题形式出现的函数图象问题，宜采用排除法，排除的依据主要是函数的定义域、单调性、奇偶性、函数图象的变换、特殊值等．必考点2有关函数性质问题的求解【典例1】(2019年北京)设函数(为常数)．若为奇函数，则=___；若是上的增函数，则的取值范围是______．【解析】∵为奇函数，∴，，∴，∴；∵单调递增，∴，∴，，故的取值范围是．【方法探究】利用奇偶性的定义和导数的运用．【典例2】(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A． B．0 C．2 D．50【解析】解法一∵是定义域为的奇函数，．且．∵，∴，∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，，，∴，故选C．解法二由题意可设，作出的部分图象如图所示．由图可知，的一个周期为4，所以，所以，故选C．【思路点拨】寻找特殊函数可以快速解决与函数性质有关的题目．【典例3】(2017天津)已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【解析】通解由为奇函数，知为偶函数．因为在上单调递增，，所以当时，>0，所以在(0，+∞)上单调递增，且>0．又，，，，所以，选项C符合．优解取，则为偶函数且在(0，+∞)上单调递增，然后进行判断可知，故选C．【思路点拨】特值法在处理选择题时不仅简化了运算，还大大地提高了正确率，解题时要学会运用．【典例4】(2017全国卷Ⅰ)已知函数，则A．在单调递增B．在单调递减C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称【解析】解法一由题易知，的定义域为(0，2)，，由复合函数的单调性知，函数在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A，B；又，，所以，所以排除D，故选C．解法二由题易知，的定义域为(0，2)，，由，得；由，得，所以函数在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A，B；又，，所以，所以排除D，故选C．【方法探究】破解此类问题需注意：一是定义域优先意识，有关函数的单调性、奇偶性的研究，需先考虑函数的定义域；二是判断复合函数的单调性，注意“同增异减”在解题中的应用；三是不要混淆函数中的中心对称与轴对称．【典例5】(1)(2019年全国Ⅲ)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．(2)(2016天津)已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是______．【解析】(1)根据函数为偶函数可知，，因为，且函数在单调递减，所以．故选C．(2)由是偶函数可知，单调递增；单调递减，又，，可得，，即，∴．【典例6】函数的定义域为A．B．C．D．【解析】，即或，解得或，故所求的定义域是．选C．【方法探究】已知函数的解析式求解函数定义域的具体步骤：①写出使函数式有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出定义域（即不等式（组）的解集）．如本题，按照此步骤即可轻松解题．常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子：分式、根式、对数式，本题中这三类式子都含有．【典例7】函数的单调递减区间为．【解析】复合法：根据对数函数的单调性求解．由得或，即函数的定义域为．令，因为在上为增函数，在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．【方法探究】解答此类试题可采用复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数，如本题的求解．【答题提醒】1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题．2．函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接，【典例8】设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【解析】因为奇函数，为偶函数，故为奇函数，为偶函数，为奇函数，为偶函数，故选C．【典例9】(1)偶函数的图象关于直线对称，，则=．(2)已知偶函数在上单调递减，．若，则的取值范围是．【解析】(1)因为的图象关于直线对称，所以，，又，所以，则．(2)因为为偶函数，所以，故不等式可化为．因为在上单调递减，且，所以，即，解得．所以的取值范围是．【方法探究】函数性质的综合应用主要包括求值与解不等式两个方面：①求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值，如本题的第(1)题；②解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解，如本题的第(2)题．【典例10】已知，，，则A．B．C．D．【解析】，，，所以．选C．【方法探究】比较指数函数、对数函数、幂函数值的大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较，本题利用指数函数、对数函数的单调性及特殊点的函数值来解答．必考点3函数零点问题的求解【典例1】(2019年浙江卷)已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．， B．，C．， D．，【解析】由题意可得，当时，．令，则．因为对任意的，有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当时，必须有2个零点，所以，解得．所以．故选C．【方法探究】利用函数与方程的思想解决零点问题．【典例2】(2018天津)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是．【解析】当时，由，得；当时，由，得．令，作出直线，，函数的图象如图所示，的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得．【方法探究】含参数的零点类题目，学会借助函数的图象直观的分析．【典例3】(2017全国卷Ⅲ)已知函数有唯一零点，则=A．B．C．D．1【解析】解法一由，得=，所以，即为图象的对称轴．由题意，有唯一零点，所以的零点只能为，即，解得．故选C．解法二令，则方程有唯一解，设，，则与有唯一交点，又，当且仅当时取得最小值2．而，此时时取得最大值1，有唯一的交点，则．选C．

【典例4】函数的零点个数是．【解析】①当时，令，解得．②（函数单调性法）当时，，因为，所以函数在上单调递增，因为，，所以函数在上有且只有一个零点．综上，函数的零点个数为2．（数形结合法）当时，由，得=0，即．如图，分别作出函数和的图象，显然，由图可知两函数的图象只有一个交点，且在轴的右侧，故当时，只有一个解，综上，函数共有2个零点．【方法探究】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【技巧点拨】解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数单调性和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【典例5】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是．【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数，与的图象有10个不同交点，在同一平面直角坐标系中作出函数在一个周期内的图象如图，可知当时满足题意，【典例6】(2019年全国Ⅱ卷)已知函数．(1)讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；(2)设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．【解析】(1)的定义域为．因为，所以在，单调递增．因为，，所以在有唯一零点，即．又，，故在有唯一零点．综上，有且仅有两个零点．(2)因为，故点在曲线上．由题设知，即，连接，故直线的斜率．曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．【方法探究】用导数判断函数的单调性，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调性．【典例7】(2016全国卷Ⅰ)已知函数QUOTE有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设，是的两个零点，证明：．【解析】(1)．（i）设，则，只有一个零点．（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．（iii）设，由得或．若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在上单调递减，在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．(2)不妨设，由(1)知，，又在上单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．【思路点拨】本题主要考查导数的应用，意在考查考生的运算求解能力以及逻辑思维能力．(1)由函数有两个零点，得关于的不等式求解；(2)构造函数证明不等式．【方法探究】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（如本题）必考点4利用导数研究函数的性质问题【典例1】设曲线在点处的切线方程为，则=A．0B．1C．2D．3【解析】，由题意得，即，所以．【误区警示】本题求导中涉及“复合求导”，若将题中函数换为，则容易忽视“复合求导”步骤而导致出错，【突破策略】解决函数切线的相关问题，要抓住两个关键点：其一，切点是交点，其二，在切点处的导数是切线的斜率，因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程（组）．【典例2】(2018全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．【解析】通解因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．优解一因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．优解二易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．【方法探究】利用函数的性质求出是解题的关键，进而运用导数求出切线的斜率．【典例3】(2019年浙江卷)已知实数，设函数，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)对任意均有求的取值范围．注：e=2．71828…为自然对数的底数．【解析】(1)当时，．，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)由，得．当时，等价于．令，则．设，则．(i)当时，，则．记，则．故10+单调递减极小值单调递增所以，．因此，．(ii)当时，．令，则，故在上单调递增，所以．由(i)得，．所以，．因此．由(i)(ii)知对任意，，即对任意，均有．综上所述，所求的取值范围是．【方法探究】本题关键是得到实数的取值范围，将不等式进行等价转化，换元，构造函数，然后根据自变量的取值，进行分段讨论．【典例4】(2016北京)设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)求的单调区间．【解析】(1)因为，所以.依题设，即解得.(2)由(1)知.由即知，与同号.令，则.所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，，故的单调递增区间为.【思路点拨】用导函数判断函数的单调性的一般步骤：首先，确定函数的定义域；其次，求导函数；最后，解不等式>0，得函数f(x)的单调递增区间，解不等式<0，得函数的单调递减区间．【典例5】设函数，其中．(1)讨论在其定义域上的单调性；(2)当时，求取得最大值和最小值时的的值．【解析】(1)的定义域为，令，得，，．所以．当或时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增．(2)因为，所以,.①当时，，由(1)知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值．②当时，，由(1)知，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，又，，所以当时，在处取得最小值；当时,在和处同时取得最小值：当时，在处取得最小值．【思路点拨】(1)求出导函数，令，求出，即可写出单调区间；(2)利用(1)中的结果，分两类，确定函数在上的单调性，即可分别求出两种情况下取得最大值和最小值时的的值．【方法探究】1．利用导数判断函数单调性的关键在于准确判断导函数的符号，对于求已知函数在给定区间上的单调性，可利用导数的知识，将其转化为其导函数在给定区间内的零点，从而构造不等式进行求解．2．由函数的最值逆求参数的值（或取值范围）问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数。的符号能够确定为正或为负．【方法总结】利用导数求函数单调性应该注意的问题：(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，首先要求函数的定义域，因为函数求导之后，自变量的取值范围会发生变化，如的定义域为，而其导函数为，其定义域为．(2)求可导函数的单调区间，可以直接转化为与这两个不等式的解集问题来处理．(3)若可导函数在指定区间D上单调递增（减），则应将其转化为(）来处理．【典例6】已知函数(1)当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求的取值范围．【解析】(1)当时，，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.(2)因为当时,依题意当时，有，从而所以的取值范围为【思路点拨】(1)根据求函数极值的步骤：①求在函数定义域内的所有根；②依据方程的根将定义域分成若干小区间，列表；③由在各个小区间内的符号，判断函数的极值情况，问题可解．(2)由于函数在上单调递增，将问题转化为在上恒成立可获解．【方法探究】求解此类问题的关键在于正确理解极值的概念和求解、判断的方法，使其转化为函数的单调性问题求解．必考点5利用导数研究与不等式有关的函数问题【典例1】(2018全国卷Ⅰ)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．【解析】(1)的定义域为，．（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．（ii）若，令得，或．当时，；当时，．所以在，单调递减，在单调递增．(2)由(1)知，存在两个极值点当且仅当．由于的两个极值点，满足，所以，不妨设，则．由于，所以等价于．设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，．所以，即．【思路点拨】(1)求的定义域，对函数求导，对参数进行分类讨论，即可判断的单调性；(2)结合(1)，求出的存在两个极值点，时的取值范围，以及，的关系式，并将进行转化，利用分析法，构造函数，判断所构造函数的单调性，即可证得结果．【典例2】(2017全国卷Ⅲ)已知函数．(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．【解析】(1)的定义域为．①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当a=1时，．故a=1．(2)由(1)知当时，令得，从而故而，所以m的最小值为3．【方法总结】(1)在函数的所有问题中，函数的单调性是最基础的问题，若含有参数，一般需对参数进行讨论，从而确定函数的单调性，再根据所求进行相应的判断与证明；(2)数列不等式的证明主要有两种思路：①通过函数的单调性得到数列的单调性，从而解决问题；②对数列的不等关系进行放缩，直接证明．【典例3】设函数，曲线在点处的切线为．(1)求；(2)证明：．【解析】(1)函数的定义域为，．由题意可得．故，．(2)由(1)知，从而等价于．设函数，则．所以当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增，从而在的最小值为．设函数，则．所以当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为．综上，当时，，即．【思路点拨】(1)对函数求导，再利用导数的几何意义进行求解．(2)分类讨论，将问题转化为利用导数解决函数的单调性、极值问题．【典例4】已知函数．(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；(2)设,若对恒成立，求的取值范围．【解析】(1)因为，所以，由于，（=1\*romani）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，（=2\*romanii）当时，若，，在上是增函数，若，，在上是减函数，所以，，由于，因此，当时，，当时，，（=3\*romaniii）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；(2)令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由(1)知，（=1\*romani）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；（=2\*romanii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，（=3\*romaniii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，（=4\*romaniv）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围.【方法探究】利用导数方法证明不等式在区间D上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要技巧就是找到函数什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，【题型总结】常见的题型及基本解题思路(1)不等式恒成立问题，基本思路是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．(2)比较两个函数值的大小，这类问题开始时并不知道两个函数值之间的大小关系，一般思路是用作差比较的方法解决，两个函数作差后还是一个函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数值的大小．(3)证明不等式，对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．必考点6导数在生活优化中的应用【典例1】（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【思路点拨】(1)利用三角函数的概念建立目标函数；(2)利用导数与函数的单调性和最值求解．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．过作⊥于，则∥，所以，故，，则矩形的面积为，的面积为．过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．令，则，．当时，才能作出满足条件的矩形，所以的取值范围是．答：矩形的面积为平方米，的面积为，的取值范围是．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为，．设，，则．令，得，当时，，所以为增函数；当时，，所以为减函数，因此，当时，取到最大值．答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【典例2】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米，假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160元／平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．(1)