2022一遍过高考数学 第2章　函数的概念与基本初等函数

第二章函数的概念与基本初等函数一遍过·高考数学考点3函数及其表示1.[2015重庆卷·3,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)题组1函数的概念及表示答案1.D

【解析】

由题意,得x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞),故选D.

题组1函数的概念及表示答案

题组1函数的概念及表示答案

4.[2012安徽卷·2,5分,难度★☆☆☆☆]下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是A.f(x)=|x|

B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x题组1函数的概念及表示答案

题组1函数的概念及表示答案5.D

【解析】

通解

函数y=10lgx的定义域为(0,+∞),当x>0时,y=10lgx=x,故函数的值域为(0,+∞).只有D选项符合.光速解

易知函数y=10lgx中x>0,排除选项A、C,因为10lgx必为正值,所以排除选项B.故选D.6.[2014江西卷·3,5分,难度★☆☆☆☆]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=A.1 B.2 C.3 D.-1题组1函数的概念及表示答案6.A

【解析】

因为f[g(1)]=1,且f(x)=5|x|,所以g(1)=0,即a·12-1=0,解得a=1.

【方法技巧】

函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值,因此由函数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值代入计算即可.若涉及计算f[f(a)]时,一般要遵循由里到外、逐层计算的原则.

题组1函数的概念及表示答案

题组1函数的概念及表示答案8.[2,+∞)

【解析】

要使函数f(x)有意义,则log2x-1≥0,即x≥2,则函数f(x)的定义域是[2,+∞).

题组2分段函数及其应用答案9.B

【解析】

由题意,得g(π)=0,f(0)=0,故选B.

题组2分段函数及其应用答案

题组2分段函数及其应用答案

题组2分段函数及其应用答案

题组2分段函数及其应用答案

题组2分段函数及其应用答案

答案1.D

【解析】

当x>0时,|x|=x,sgnx=1,则|x|=xsgnx;当x<0时,|x|=-x,sgnx=-1,则|x|=xsgnx;当x=0时,|x|=x=0,sgnx=0,则|x|=xsgnx.故选D.

答案

答案

4.[2011福建卷·9,5分,难度★★☆☆☆]对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2答案

答案5.B

【解析】

因为t2=(a+1)2=a2+2a+1(t≥0),所以t与a2+2a具有一一对应关系.

【方法技巧】

解决本题的关键是检查函数是否具有一一对应关系,对于B项,要注意参数t≥0这一限制条件,这样才能快速解题.6.[2015浙江卷·7,5分,难度★★☆☆☆]存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|答案

答案

答案

9.[2014上海卷·3,4分,难度★☆☆☆☆]设常数a∈R,函数f(x)=|x-1|+|x2-a|.若f(2)=1,则f(1)=

.

答案9.3

【解析】

由题意,f(2)=1+|4-a|=1,得a=4,所以f(1)=|1-1|+|1-4|=3.10.[2016浙江卷·12,6分,难度★☆☆☆☆]设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=

,b=

.

答案

答案

12.[2013安徽卷·14,5分,难度★★☆☆☆]定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=

.

答案

答案

答案

考点4函数的基本性质

题组1函数的单调性与最值答案

2.[2017全国Ⅱ卷·8,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)题组1函数的单调性与最值答案2.D

【解析】

由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),选D.

【规律总结】

复合函数(只限由两个函数复合而成的)单调性的判断方法:(1)找出复合函数是由哪两个函数复合而成的;(2)当外函数为对数函数时,找出内函数的定义域;(3)分别求出两函数的单调区间;(4)按照“同增异减”确定复合函数的单调区间.3.[2012安徽卷·13,5分,难度★☆☆☆☆]若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=

.

题组1函数的单调性与最值答案

题组1函数的单调性与最值答案

5.[2013广东卷·2,5分,难度★☆☆☆☆]定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是A.4 B.3 C.2 D.1题组2函数的奇偶性答案5.C

【解析】

由奇函数的概念可知,y=x3,y=2sinx是奇函数.

【梳理总结】

函数奇偶性的判断步骤(1)先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.(2)若函数的定义域关于原点对称,则可借助以下方法判断:①定义法,即判断f(-x)与f(x)的关系;②利用定义的等价命题,即f(x)是奇函数⇔f(x)+f(-x)=0,f(x)是偶函数⇔f(x)-f(-x)=0,与对数函数有关的函数奇偶性的判断常用定义的等价命题;③利用函数图象的对称性.

题组2函数的奇偶性答案

题组2函数的奇偶性答案

8.[2012山东卷·8,5分,难度★☆☆☆☆]定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=A.335 B.338 C.1678 D.2012题组3函数的周期性答案8.B

【解析】

由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有f(1)+f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338,故选B.9.[2013大纲全国卷·13,5分,难度★☆☆☆☆]设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)=

.

题组3函数的周期性答案9.-1

【解析】

因为f(x)是以2为周期的函数,所以f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.

题组3函数的周期性答案

题组3函数的周期性答案

题组4

函数性质的综合应用答案

题组4

函数性质的综合应用答案13.C

【解析】

若x为无理数,则x+1也是无理数,故有D(x+1)=0=D(x);若x为有理数,则x+1也是有理数,故有D(x+1)=1=D(x).综上,1是D(x)的周期,故D(x)不是周期函数的结论是错误的,应选C.14.[2017天津卷·6,5分,难度★☆☆☆☆]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为A.a<b<c

B.c<b<aC.b<a<c

D.b<c<a题组4

函数性质的综合应用答案14.C

【解析】

通解

由f(x)为奇函数,知g(x)=xf(x)为偶函数.因为f(x)在R上单调递增,f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)>0.又a=g(-log25.1)=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),20.8<2=log24<log25.1<log28=3,所以b<a<c,选项C符合.优解

取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,然后进行判断可知b<a<c,故选C.

【方法总结】

特值法在处理选择题时不仅简化了运算,还大大地提高了正确率,解题时要学会运用.15.[2017山东卷·14,5分,难度★☆☆☆☆]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=

.

题组4

函数性质的综合应用答案15.6

【解析】

∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x)的周期为6.∵919=153×6+1,∴f(919)=f(1).∵f(x)为偶函数,∴f(919)=f(1)=f(-1)=6.1.[2014全国Ⅰ卷·3,5分,难度★☆☆☆☆]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案1.B

【解析】

f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选B.【归纳总结】

若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则函数f(x)+g(x),f(x)·g(x)的奇偶性在该定义域内可按如下法则确定:奇+奇=奇;奇×奇=偶;偶+偶=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇.

答案

3.[2013天津卷·8,5分,难度★★☆☆☆]设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0答案3.A

【解析】

因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时a∈(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln2+1>0,g(b)=0得b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,且f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0<f(b).

答案

答案

6.[2018全国Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=A.-50 B.0 C.2 D.50答案

答案

8.[2020新高考Ⅰ卷·8,5分,难度★★☆☆☆]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]答案8.D

【解析】

通解

由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.光速解

当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除选项A,C.故选D.

答案

答案

答案

答案

答案

答案

答案

考点5二次函数与幂函数

题组1二次函数的图象与性质的应用答案

2.[2013浙江卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0题组1二次函数的图象与性质的应用答案

题组2幂函数的图象与性质的应用答案

题组2幂函数的图象与性质的应用答案

题组2幂函数的图象与性质的应用答案

1.[2014浙江卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是答案1.D

【解析】

当a>1时,函数f(x)=xa(x>0)单调递增,函数g(x)=logax单调递增,且g(x)的图象过点(1,0),由幂函数的图象可知C错;当0<a<1时,函数f(x)=xa(x>0)单调递增,函数g(x)=logax单调递减,且g(x)的图象过点(1,0),由幂函数的图象可知B错D对,因此选D.ABCD2.[2017浙江卷·5,4分,难度★★☆☆☆]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-mA.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案

答案

4.[2011重庆卷·10,5分,难度★★★☆☆]设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为A.-8 B.8 C.12 D.13答案

答案

6.[2012江苏卷·13,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为

.

答案

答案

答案

考点6指数函数与对数函数

题组1指数与指数函数答案

2.[2015山东卷·3,5分,难度★☆☆☆☆]设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a题组1指数与指数函数答案2.C

【解析】

由指数函数y=0.6x在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函数y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6,所以b<a<c,故选C.

【方法技巧】

0.61.5与0.60.6的底数一样,指数不同,故可以考虑利用指数函数y=0.6x的单调性来比较大小;0.60.6与1.50.6的指数一样,底数不同,故可以考虑利用幂函数y=x0.6的单调性来比较大小.3.[2014山东卷·6,5分,难度★☆☆☆☆]已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如右图,则下列结论成立的是A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1题组2对数与对数函数答案3.D

【解析】

由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y=loga(x+c)的图象在c>0时是由函数y=logax的图象向左平移c个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.

【方法技巧】

本题也可以根据函数在x=0,x=1处的函数值与0的大小关系确定c的取值范围,即logac>0且loga(1+c)<0,因为0<a<1,所以c<1且1+c>1,即0<c<1.4.[2013陕西卷·3,5分,难度★☆☆☆☆]设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是A.logab·logcb=logca

B.logab·logca=logcbC.loga(bc)=logab·logac

D.loga(b+c)=logab+logac题组2对数与对数函数答案

题组2对数与对数函数答案

6.[2015湖南卷·8,5分,难度★★☆☆☆]设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数题组2对数与对数函数答案

题组2对数与对数函数答案

8.[2013全国Ⅱ卷·8,5分,难度★★☆☆☆]设a=log36,b=log510,c=log714,则A.c>b>a

B.b>c>aC.a>c>b

D.a>b>c题组2对数与对数函数答案8.D

【解析】

ɑ=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象,由三个图象的相对位置关系,可知a>b>c,故选D.

【方法技巧】

对于不同底不同真数大小的比较问题,人们常习惯于寻找中间量,而本题三个值都大于1,因而中间量不易确定.当比较log32,log52,log72的大小时,也可以先比较三者倒数的大小,即log23,log25,log27的大小,进而得到a,b,c之间的大小关系.9.[2013重庆卷·9,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=A.-5 B.-1 C.3 D.4题组2对数与对数函数答案

10.[2015四川卷·12,5分,难度★☆☆☆☆]lg0.01+log216的值是

.

题组2对数与对数函数答案10.2

【解析】

lg0.01+log216=-2+4=2.11.[2014陕西卷·12,5分,难度★☆☆☆☆]已知4a=2,lgx=a,则x=

.

题组2对数与对数函数答案

12.[2012北京卷·12,5分,难度★☆☆☆☆]已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=

.

题组2对数与对数函数答案12.2

【解析】

由f(ab)=1得ab=10,因此f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2lg10=2.

题组2对数与对数函数答案

14.[2014天津卷·12,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)=lgx2的单调递减区间是

.

题组2对数与对数函数答案

题组2对数与对数函数答案

1.[2014福建卷·4,5分,难度★☆☆☆☆]若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是答案1.B

【解析】

因为函数y=logax的图象过点(3,1),所以1=loga3,解得a=3,所以y=3-x的图象不可能过点(1,3),排除A;y=(-x)3=-x3的图象不可能过点(1,1),排除C;y=log3(-x)的图象不可能过点(-3,-1),排除D.故选B.

【方法技巧】

求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.ABCD

答案

答案3.B

【解析】

把握和的函数值等于函数值的积的特征,其典型代表函数为指数函数,又所求函数为单调递增函数,故选B.4.[2019天津卷·6,5分,难度★★☆☆☆]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案

5.[2014四川卷·7,5分,难度★★☆☆☆]已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是A.d=ac B.a=cdC.c=ad D.d=a+c答案5.B

【解析】

由已知得5a=b,10c=b,∴5a=10c,∵5d=10,∴5dc=10c,则5dc=5a,∴dc=a,故选B.

答案

7.[2015北京卷·7,5分,难度★★☆☆☆]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}答案7.C

【解析】

在平面直角坐标系中作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示.所以f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|-1<x≤1},所以选C.

【易错指导】

做该题时,如果用代数方法,需求出函数f(x)的解析式,并分成两个不等式求解,最后求并集,这样容易出错.

答案

答案

10.[2020北京卷·6,4分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案10.D

【解析】

函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集即2x>x+1的解集,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x+1的图象(图略),结合图象易得2x>x+1的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.11.[2016全国Ⅰ卷·8,5分,难度★★☆☆☆]若a>b>0,0<c<1,则A.logac<logbc B.log

ca<logcbC.ac<bc

D.ca>cb答案

12.[2015天津卷·7,5分,难度★★☆☆☆]已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为A.a<b<c

B.a<c<bC.c<a<b

D.c<b<a答案12.C

【解析】

由f(x)=2|x-m|-1是偶函数得m=0,则f(x)=2|x|-1.当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-1递增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0<log23<log25,则f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.

【梳理总结】

偶函数f(x)有重要性质f(x)=f(|x|),灵活应用这一性质,可以避免分类讨论.13.[2017全国Ⅰ卷·9,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案

答案

答案

答案

答案

18.[2018全国Ⅲ卷·12,5分,难度★★☆☆☆]设a=log0.20.3,b=log20.3,则A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b答案

19.[2020全国Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]若2x-2y<3-x-3-y,则A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0答案

20.[2020全国Ⅲ卷·12,5分,难度★★☆☆☆]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则A.a<b<c

B.b<a<cC.b<c<a

D.c<a<b答案

21.[2020全国Ⅰ卷·12,5分,难度★★☆☆☆]若2a+log2a=4b+2log4b,则A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2答案21.B

【思维导图】解法一

构造函数f(x)=2x+log2x→判断其单调性→比较2a+log2a与22b+log2(2b)的大小→结果解法二

取b=1得2a+log2a=4→令f(x)=2x+log2x-4→f(1)f(2)<0→1<a<2→排除A,D→取b=2得2a+log2a=17→令g(x)=2x+log2x-17→g(3)g(4)<0→3<a<4→排除C,选B【解析】

解法一

令f(x)=2x+log2x,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),所以f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B.解法二

(取特值法)由2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,取b=1,得2a+log2a=4,令f(x)=2x+log2x-4,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f(x)=2x+log2x-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以1<a<2,故a>2b=2,a<b2都不成立,排除A,D;取b=2,得2a+log2a=17,令g(x)=2x+log2x-17,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2x+log2x-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以3<a<4,故a>b2=4不成立,排除C.故选B.

【解题关键】

破解此类题的关键:一是细审题,盯题眼,如本题的题眼为“2a+log2a=4b+2log4b”;二是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行判断;三是会放缩,即会利用放缩法比较大小.22.[2017全国Ⅰ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案

答案

24.[2015福建卷·15,4分,难度★★☆☆☆]若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于

.

答案24.1

【解析】

因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f(x)=2|x-1|的图象如图所示,因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.

【易错指导】

本题易错点有两处:一是由函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)得函数f(x)的对称轴时,易与函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称搞混,应注意前者是一个函数图象自身的对称,后者是两个函数图象的对称;二是求参数的最小值时,因不画草图,想当然导致出错.25.[2015上海卷·8,4分,难度★★☆☆☆]方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为

.

答案25.2

【解析】

依题意得log2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)],9x-1-5=4(3x-1-2)>0,(3x-1-1)(3x-1-3)=0(3x-1>2),由此得到3x-1=3,x-1=1,x=2.26.[2015山东卷·14,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=

.

答案

答案

考点7函数的图象

题组1函数图象的识别答案1.C

【解析】

因为函数的定义域是非零实数集,所以A错;当x<0时,y>0,所以B错;当x→+∞时,y→0,所以D错,故选C.ABCD

题组1函数图象的识别答案

ABCD3.[2020浙江卷·4,4分,难度★☆☆☆☆]函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图象可能是题组1函数图象的识别答案3.A

【解析】

令f(x)=xcosx+sinx,所以f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-xcosx-sinx=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除C,D,又f(π)=-π<0,排除B,故选A.【规律总结】

函数图象的识别可从以下方面入手:(1)由函数的定义域判断图象的左右位置,由函数的值域判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)由函数的周期性判断图象的循环往复;(5)由特殊点排除不符合要求的图象.

题组1函数图象的识别答案

ABCD

题组1函数图象的识别答案

6.[2015安徽卷·14,5分,难度★☆☆☆☆]在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为

.

题组2函数图象的应用答案

题组2函数图象的应用答案

答案

ABCD2.[2013北京卷·5,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1答案2.D

【解析】

与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.3.[2012湖北卷·6,5分,难度★☆☆☆☆]已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为答案3.B

【解析】

将函数y=f(x)向左平移两个单位得到y=f(x+2)的图象,再由关于原点对称即可得y=-f(2-x)的图象,故选择B.

【易错点拨】

由函数y=f(x+2)关于原点对称得y=-f(2-x),不是y=f(-2-x).

答案

答案5.B

【解析】

当0<m≤1时,需满足1+m≥(m-1)2,解得0≤m≤3,故这时0<m≤1;当m>1时,需满足(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0,故这时m≥3.综上可知,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).6.[2015全国Ⅰ卷·12,5分,难度★★☆☆☆]设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=

A.-1 B.1 C.2 D.4答案

7.[2013江西卷·10,5分,难度★★☆☆☆]如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为答案

ABCD

答案

答案

10.[2014天津卷·14,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为

.

答案

考点8函数与方程

题组1函数零点所在区间的判断答案

题组1函数零点所在区间的判断答案

3.[2013重庆卷·6,5分,难度★☆☆☆☆]若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内题组1函数零点所在区间的判断答案3.A

【解析】

解法一

令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函数y1,y2的图象(图略),由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.解法二

因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.由函数零点存在性定理知,在区间(a,b)和(b,c)内分别至少存在一个零点.因为f(x)是二次函数,所以f(x)最多有两个零点,所以f(x)有两个零点,且两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.4.[2012天津卷·4,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是A.0 B.1 C.2 D.3题组2函数零点个数的判断答案4.B

【解析】

函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y=2x,y=2-x3在区间(0,1)内的图象的交点个数,作出图象即可知两个函数图象在区间(0,1)内有1个交点,故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.5.[2012湖北卷·9,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为A.4 B.5 C.6 D.7题组2函数零点个数的判断答案

题组2函数零点个数的判断答案

7.[2013天津卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为A.1 B.2 C.3 D.4题组2函数零点个数的判断答案

题组2函数零点个数的判断答案

题组2函数零点个数的判断答案9.2

【解析】

f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,则函数的零点即为函数y=sin2x与函数y=x2图象的交点,作图知(图略),两图象有2个交点,则函数有2个零点.

题组3零点与参数的综合问题答案

题组3零点与参数的综合问题题组3零点与参数的综合问题答案11.C

【解析】

函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.

【方法总结】

破解此类题的关键:一是会转化,先把函数的零点问题转化为方程的根的问题,再转化为两个函数图象的交点问题;二是会借形解题,即作出两函数的图象,数形结合可快速找到参数所满足的不等式,解不等式即可求出参数的取值范围.

题组3零点与参数的综合问题答案

13.[2015湖南卷·14,5分,难度★☆☆☆☆]若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是

.

题组3零点与参数的综合问题答案13.(0,2)

【解析】

令|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个交点,结合函数图象(图略)可知,0<b<2.

题组3零点与参数的综合问题答案14.(0,1)

【解析】

作出函数f(x)的图象,如图,由图象可知,当0<k<1时,函数f(x)与y=k的图象有两个不同的交点,所以所求实数k的取值范围是(0,1).

题组3零点与参数的综合问题答案

答案

答案

答案

答案

答案

答案

答案7.D

【思维导图】g(x)的零点个数→方程f(x)=|kx2-2x|的根的个数→y=f(x)与y=|kx2-2x|图象的公共点个数

分别作出y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象

y=f(x)与y=|kx2-2x|图象的公共点情况→k的取值范围答案

答案

8.[2011陕西卷·12,5分,难度★★☆☆☆]设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=

.

答案8.3或4

【解析】

由于方程都是正整数解,由判别式Δ=16-4n≥0得“1≤n≤4”.逐个分析,当n=1、2时,方程没有整数解;而当n=3时,方程有正整数解1、3;当n=4时,方程有正整数解2.

答案

答案10.(1,2)

【解析】

由题意,函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,得函数y1=f(x)与y2=a|x|的图象有4个不同的交点.在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a显然大于0).由图可知,当y2=-ax(x<0)与y1=-x2-5x-4(-4<x<-1)相切时,x2+(5-a)x+4=0有两个相等的实数根,则(5-a)2-16=0,得a=1(a=9舍去),所以当x<0时,y1与y2的图象恰有3个不同的交点.显然,当1<a<2时,两个函数的图象恰有4个不同的交点,即函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点.

答案

图1图2

答案

考点9函数模型及其应用

题组函数模型的实际应用答案

题组函数模型的实际应用答案

3.[2013湖北卷·5,5分,难度★☆☆☆☆]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是题组函数模型的实际应用答案3.C

【解析】

出发时距学校最远,先排除A;中途堵塞停留,距离没变,再排除D;堵塞停留后比原来骑得快,因此排除B.故选C.ABCD

题组函数模型的实际应用答案

题组函数模型的实际应用答案

题组函数模型的实际应用答案

题组函数模型的实际应用答案

1.[2014北京卷·8,5分,难度★☆☆☆☆]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟答案

答案

答案

4.[2015四川卷·8,5分,难度★★☆☆☆]某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是A.16小时

B.20小时

C.24小时

D.28小时答案

5.[2020新高考Ⅰ卷·6,5分,难度★★☆☆☆]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天答案

6.[2011湖北卷·15,5分,难度★☆☆☆☆]里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为

级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的

倍.

答案6.6

10000

【解析】

由lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lgA9-lg0.001=9,解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级的10000倍.易错疑难集训

易错点1

对复合函数的定义域理解不透致误答案

易错点1

对复合函数的定义域理解不透致误答案

易错点1

对复合函数的定义域理解不透致误答案

易错点1

对复合函数的定义域理解不透致误答案4.[-1,7]

【解析】

要使函数有意义,则7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,则函数的定义域是[-1,7].

易错点2

忽略对底数的分类讨论致误答案

6.[2016浙江卷·5,5分,难度★★☆☆☆]已知a,b>0,且a≠1,b≠1.若logab>1,则A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0易错点2

忽略对底数的分类讨论致误答案

7.[2015北京卷·3,5分,难度★☆☆☆☆]下列函数中为偶函数的是A.y=x2sinx B.y=x2cosxC.y=|lnx|

D.y=2-x易错点3

对函数性质理解不透致误答案

8.[2014大纲全国卷·12,5分,难度★★☆☆☆]奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=A.-2 B.-1C.0 D.1易错点3

对函数性质理解不透致误易错点3

对函数性质理解不透致误答案8.D

【解析】

由函数f(x+2)为偶函数可得,f(2+x)=f(2-x).又f(-x)=-f(x),所以f(2-x)=-f(x-2),所以f(2+x)=-f(x-2),即f(x+4)=-f(x).所以f(x+8)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),所以该函数是周期为8的周期函数.又函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0.所以f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=0+1=1,故选D.

【易错警示】

(1)求解本题时,若不能挖掘出试题中隐藏的函数性质,则会导致解题思路受阻.解此类求函数值的问题需过三关:一是定义关,即会利用函数奇偶性、周期性的定义,判断出函数的奇偶性、周期性;二是转化关,即会利用函数的周期性,把所求的函数值向已知条件转化;三是代入关,即会利用已知的函数解析式,把自变量的值代入,求得函数值.(2)对于一些易混结论要学会辨别,如:若f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a);若f(x)是偶函数,则f(-x+a)=f(x-a).若f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)=-f(x+a);若f(x)是奇函数,则f(-x+a)=-f(x-a).

易错点3

对函数性质理解不透致误答案

10.[2014全国Ⅱ卷·15,5分,难度★★☆☆☆]已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是

.

易错点3

对函数性质理解不透致误答案10.(-1,3)

【解析】

由题可知,当-2<x<2时,f(x)>0.f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,若f(x-1)>0,则-1<x<3.

疑难点1与函数有关的参数问题疑难点1与函数有关的参数问题答案

疑难点1与函数有关的参数问题答案

疑难点1与函数有关的参数问题疑难点1与函数有关的参数问题答案

疑难点1与函数有关的参数问题答案

图1图2

疑难点2与函数有关的不等式问题答案

疑难点2与函数有关的不等式问题答案

6.[2016浙江卷·7,5分,难度★★★☆☆]已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b疑难点2与函数有关的不等式问题疑难点2与函数有关的不等式问题答案6.B

【解析】

根据题意,∀x∈R,f(