高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学（文）讲义1-5第五讲选择题的解题方法

第五讲选择题的解题方法[题型概述]高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．技法攻略方法一直接法方法诠释直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.适用范围涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.【例1】(1)(2019·吉林长春二模)关于函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))＋1，下列叙述有误的是()A．其图象关于直线x＝－eq\f(π,4)对称B．其图象可由y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋1的图象上所有点的横坐标变为原来的eq\f(1,3)得到C．其图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))对称D．其值域是[－1,3](2)(2019·湖南永州二模)在等差数列{an}中，2a7＝a9＋7，则数列{an}的前9项和S9等于(A．21 B．35C．63 D．126[解题指导](1)eq\x(\a\al(由f?x?的解析式想到,正弦函数的性质))→eq\x(逐项进行判断)→eq\x(结论)(2)eq\x(\a\al(由等差数列{an}想到,首项a1和公差d))→eq\x(\a\al(确定a1与d,的关系))→eq\x(求出S9)[解析](1)关于函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))＋1，令x＝－eq\f(π,4)，求得y＝－1为函数的最小值，故A项正确；将y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋1的图象上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,3)倍，可得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))＋1的图象，故B项正确；令x＝eq\f(11π,12)，求得y＝1，可得函数的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，1))对称，故C项错误；函数的值域为[－1,3]，故D项正确．故选C.(2)∵在等差数列{an}中，2a7＝a9＋7∴2(a1＋6d)＝a1＋8d＋7.化简得a1＋4d＝a5＝7.∴数列{an}的前9项和S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝63.故选C.[答案](1)C(2)C本例中(1)涉及正弦函数的性质，(2)为数列的基本运算，两题直接法求解比较简单．在扎实掌握“三基”的基础上，准确把握题目特点，可快速地直接法求解．注意平时多记忆，多积累，快而准，避免快中出错．1．(2019·湖南长沙一模)在复平面内，复数eq\f(m＋i,m－i)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]因为复数eq\f(m＋i,m－i)＝eq\f(?m＋i?2,?m－i??m＋i?)＝eq\f(m2－1,m2＋1)＋eq\f(2m,m2＋1)i对应的点位于第一象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－1,m2＋1)>0,\f(2m,m2＋1)>0))，解得m>1，故选D.[答案]D2．(2019·贵州贵阳二模)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为(A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D．2[解析]设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，eq\r(2))，F2(0，－eq\r(2))，所以|F1F2|＝2eq\r(2)，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝0,x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝2))，得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故选C.[答案]C方法二特例法方法诠释从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.运用范围适用于题目中含有字母且具有一般性结论的选择题，如定性定值问题.【例2】(1)(2019·山东泰安质检)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为(A.eq\f(\r(7),7)B.eqB.\f(\r(7),8)C.eqC.\f(\r(7),14)D.eqD.\f(5\r(7),14)(2)(2019·浙江杭州模拟)已知函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则eq\f(f2?1?＋f?2?,f?1?)＋eq\f(f2?2?＋f?4?,f?3?)＋eq\f(f2?3?＋f?6?,f?5?)＋eq\f(f2?4?＋f?8?,f?7?)的值等于()A．36 B．24C．18 D．12[解析](1)因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以不妨设a＝(1,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(\r(3),2)))，所以a·(2a－b)＝eq\f(5,2)，故cos〈a,2a－b〉＝eq\f(a·?2a－b?,|a|·|2a－b|)＝eq\f(\f(5,2),1×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14).(2)取特殊函数，根据条件可设f(x)＝3x，则有eq\f(f2?x?＋f?2x?,f?2x－1?)＝eq\f(2·32x,32x－1)＝6，所以eq\f(f2?1?＋f?2?,f?1?)＋eq\f(f2?2?＋f?4?,f?3?)＋eq\f(f2?3?＋f?6?,f?5?)＋eq\f(f2?4?＋f?8?,f?7?)＝6×4＝24，故选B.[答案](1)D(2)B特例法解选择题应注意的2点第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．1．(2019·河南信阳一模)已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(1－λ,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在()A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部[解析]取λ＝1，则2eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，因为边AB的中点为D，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(CP,\s\up6(→))，所以A，C，P三点共线，因此点P一定在AC边所在的直线上，故选C.[答案]C2.(2019·江西南昌二中模拟)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(A．3∶1B．2∶1C．4∶1D.eq\r(3)∶1[解析]将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝eq\f(VABC－A1B1C1,3).故选B.[答案]B方法三排除法方法诠释排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论.适用范围适用于定性型或直接法解决问题很困难或计算较繁的情况.【例3】(1)(2019·安徽安庆二模)函数f(x)＝eq\f(|1－x2|,1－|x|)的图象是()(2)(2019·河北石家庄一模)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2[4?x－1?]，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1，x<2，))若f(x0)>3，则x0的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0,2)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)[解题指导](1)eq\x(\a\al(观察选项，结合解,析式特点))→eq\x(\a\al(利用|x|－1,≠0排除A))→eq\x(令x＝0排除D)→eq\x(令x＝\f(1,2)排除B)→eq\x(得结果)(2)eq\x(\a\al(观察选项可令,x＝1，排除B、D))→eq\x(\a\al(再令x0＝3或,x0＝－1排除A))→eq\x(得结果)[解析](1)因为x≠±1，所以排除A；因为f(0)＝1，所以函数f(x)的图象过点(0,1)，排除D，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)),1－\f(1,2))＝eq\f(3,2)，所以排除B，故选C.(2)取x0＝1，则f(1)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)<3，故x0≠1，排除B、D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A，故选C.[答案](1)C(2)C排除法的应用技巧当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．1．(2019·河南郑州质检)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－a?2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x>0.))若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A．[－1,2] B．[－1,0]C．[1,2] D．[0,2][解析]若a＝－1，则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x＋1?2，x≤0，,x＋\f(1,x)－1，x>0，))易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；若a＝0，则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))易知f(0)是f(x)的最小值，排除C.故D正确．[答案]D2．(2019·广东广州一模)函数y＝2x2－e|x|在区间[－2,2]上的图象大致为()[解析]f(2)＝8－e2>8－2.82>0，f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除A，B，当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，f′(x)<eq\f(1,4)×4－e0＝0，因为f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上单调递减，排除C.[答案]D方法四数形结合法(图解法)方法诠释数形结合法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，利用函数图象或数学表达式的几何意义，将数学问题(如解方程、解不等式、求最值范围等)某些图形结合起来，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫图解法.适用范围常用于函数、向量、解析几何或含有几何意义的命题等问题中.【例4】(1)(2019·哈尔滨4月模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln?x＋1?，x>0.))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[－2,0](2)(2019·河南洛阳一模)已知a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥e B．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)[解题指导](1)eq\x(\a\al(作出函数y＝|f?x?|,与y＝ax的图象))→eq\x(\a\al(由图象观察,得a的范围))(2)eq\x(\a\al(作出向,量e，a))→eq\x(\a\al(明确|a－te|与|a－e|,的几何意义作出图形))→eq\x(\a\al(观察图形,得出结论))[解析](1)函数y＝|f(x)|的图象如图所示．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．③当a<0时，只需x<0时，x2－2x≥ax成立，即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.(2)如图，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，则|eq\o(EA,\s\up6(→))|，|a－te|表示连接点A与直线OE上的点的线段的长度d，由题意，|eq\o(EA,\s\up6(→))|为d的最小值，此时eq\o(EA,\s\up6(→))⊥eq\o(OE,\s\up6(→))，即e⊥(a－e)，故选C.[答案](1)D(2)C图解法的应用技巧图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．1．(2019·湖北孝感一模)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[解析]由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.[答案]C2．(2019·湖北武汉调研)已知动点P在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1上，若点A的坐标为(3,0)，点M满足|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PM,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\r(2)B.eqB.\r(3)C．2eq\r(2) D．3[解析]由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1可知点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，∴要使|eq\o(PM,\s\up6(→))|取得最小值，需使|eq\o(PA,\s\up6(→))|取得最小值，而|eq\o(PA,\s\up6(→))|的最小值为6－3＝3，此时|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，故选C.[答案]C方法五估算法方法诠释由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量.适用范围在数据繁多、计算复杂、精度要求并不太高的情况下，进行粗略计算.【例5】(1)(2019·东北三校联考)若Ω为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域的面积为()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(7,4) D．2(2)(2019·江西八校联考)如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.eq\f(9,2) B．5C．6 D.eq\f(15,2)[解题指导](1)eq\x(作出可行域)→eq\x(\a\al(观察动直线,扫过的区域))→eq\x(\a\al(直接计算区,域Ω的面积))→eq\x(结合选项据估算值作出判断)(2)eq\x(多面体分割为易求体积的锥形)→eq\x(计算锥体体积)→eq\x(结合选项估算结果)[解析](1)如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2小．(2)可连接BE，CE，问题转化为四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，而VE－ABCD＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×9×2＝6.所以只有选项D符合题意．[答案](1)C(2)D估算法的应用技巧估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．1．(2019·福建福州4月质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,3)))恒成立，则φ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eqB.\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3)))D.eqD.\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))[解析]因为函数f(x)的最小值为－2＋1＝－1，由函数f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，所以eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2.故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由f(x)>1，可得sin(2x＋φ)>0.又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,3)))，所以2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3))).对于选项B，D，若取φ＝eq\f(π,2)，则2x＋eq\f(π,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(7π,6)))上，sin(2x＋φ)<0，不合题意；对于选项C，若取φ＝eq\f(π,12)，则2x＋eq\f(π,12)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(3π,4)))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))上，sin(2x＋φ)<0，不合题意．故选A.[答案]A2．(2019·豫西五校5月联考)已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是()A.eq\f(16,9)B.eqB.q\f(8,3)πC．D.eqD.eq\f(64,9)π[解析]球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝eq\f(2\r(3),3)，则S球＝4πR2≥4πr2＝eq\f(16π,3)>5π，只有D选项符合，故选D.[答案]D方法六概念辨析法方法诠释概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心.适用范围适用于考查数学定义、概念的内涵与外延相关的题目.【例6】(1)(2018·北京卷)在复平面内，复数eq\f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2019·陕西西安调研)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了着名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A．4－eq\f(π,2) B．8－eq\f(4π,3)C．8－π D．8－2π[解题指导](1)eq\x(\a\al(共轭复,数概念))→eq\x(\a\al(复数与复平面,内点的对应))→eq\x(得结果)(2)eq\x(\a\al(理解“幂”“势”及,祖暅原理的含义))→eq\x(\a\al(结合三视图,还原几何体))→eq\x(计算结果)[解析](1)∵eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,?1－i??1＋i?)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴其共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，又eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i在复平面内对应的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))在第四象限，故选D.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱．V正方体＝23＝8，V半圆柱＝eq\f(1,2)(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.[答案](1)D(2)C概念辨析法的应用技巧创新定义问题要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．1．(2019·山东菏泽模拟)下列命题是真命题的是()A．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数B．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβC．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b的方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1[解析]当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cos2x，其为偶函数，故A为假命题；令α＝eq\f(π,4)，β＝－eq\f(π,2)，则cos(α＋β)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，cosα＋cosβ＝eq\f(\r(2),2)＋0＝eq\f(\r(2),2)，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ成立，故B为真命题；设a与b的夹角为θ，则a在b的方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－2＋0,1)＝－2，故C为假命题；|x|≤1，－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D为假命题．[答案]B2．(2019·云南昆明质检)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0[解析]因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线为y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.[答案]C题型技法归纳1．解答选择题的策略充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．2．解答选择题的原则小题巧解，小题不能大做.专题强化训练(五)1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.[答案]B2．(2019·河北唐山一模)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100 B．99C．98 D．97[解析]设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选[答案]C3．(2019·山东潍坊模拟)计算eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))cos2α,2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝()A．－2 B．2C．－1 D．1[解析]取α＝eq\f(π,12)，则原式＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,12)))cos\f(π,6),2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,12))))＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),2),2×\f(3,4))＝1.故选D.[答案]D4．(2019·山西五校联考)已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(0，－2)，一条渐近线的斜率为eq\r(3)，则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(y2,3)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,3)＝1[解析]∵焦点F(0，－2)，∴焦点在y轴上，排除A，B；又选项C中渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，故排除D，选C.[答案]C5．(2019·河南郑州第二次质量预测)函数y＝sinx(1＋cos2x)在区间[－π，π]上的大致图象为()[解析]因为y＝sinx(1＋cos2x)＝sinx·2cos2x＝sin2xcosx，所以当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sin2x>0，cosx>0，故sin2xcosx>0，排除C，D；当x＝eq\f(π,2)时，sin2xcosx＝0，排除B.故选A.[答案]A6．(2019·陕西师大附中月考)为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象，只需把函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的图象()A．向左平移eq\f(7π,36)个单位长度B．向右平移eq\f(7π,36)个单位长度C．向左平移eq\f(7π,12)个单位长度D．向右平移eq\f(7π,12)个单位长度[解析]分别取两个函数图象上的一个最高点，令3x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，得x＝eq\f(π,4)，令3x－eq\f(π,6)＝0，得x＝eq\f(π,18).在函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象上取点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，在函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的图象上取点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，1))，则只需把点B平移到点A的位置，即要由y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的图象得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的图象，应向右平移eq\f(π,4)－eq\f(π,18)＝eq\f(7π,36)个单位长度．故选B.[答案]B7．(2019·辽宁抚顺模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是()A．a＋c>2b B．a＋c<2bC．a＋c≥2b D．a＋c≤2b[解析]不妨令A＝B＝C＝60°，则可排除A，B；再令A＝30°，B＝60°，C＝90°，可排除C，故选D.[答案]D8．(2019·海南海口调研)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小关系不可能是()A.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5) B.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5)C.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5) D.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)[解析]取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)，此时C正确．取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)，此时A正确．取x＝eq\r(2)，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝eq\r(3)，z＝eq\r(5)，此时易知eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)，此时D正确．综上，利用排除法可知本题应选B.[答案]B9．(2019·湖北武汉二模)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()A．60° B．90°C．120° D．150°[解析]如图，因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.[答案]B10．(2019·东北三校联考)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\