2023届高三物理复习专题26 带电粒子在复合场中的运动（解析版）

专题26带电粒子在复合场中的运动

目录

题型一带电粒子在组合场中的运动................................................1

类型1磁场与磁场的组合.....................................................2

类型2先磁场后电场.........................................................5

类型3先电加速后磁偏转....................................................11

类型4先电偏转后磁偏转....................................................14

题型二带电粒子在叠加场中的运动..............................................19

题型三带电粒子在交变电、磁场中的运动........................................29

题型四洛伦兹力与现代科技......................................................33

类型1质谱仪的原理及应用.................................................33

类型2回旋加速器的原理和应用.............................................36

类型3电场与磁场叠加的应用实例分析......................................39

题型一带电粒子在组合场中的运动

1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现.

2.分析思路

(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.

(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.

(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题.

3.常见粒子的运动及解题方法

电

场

中

带电

粒子

在分

离的

电场、

磁场磁

中运场

中

动

圆周运动公式、

匀速圆周求法牛顿第二定律

运动以及几何知识

类型1磁场与磁场的组合

磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同,

但轨迹半径和运动周期往往不同.解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步

寻找边角关系.

【例1】（多选）如图所示，在X。），平面内存在着磁感应强度大小为8的匀强磁场，第一、二、四象限内的

磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，P（一6L,0）、Q（0,一小L）为坐标轴上的

两点.现有一质量为，"、电荷量为e的电子从尸点沿尸。方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确

的是（）

XXXX&X

XX

XX

XX

XX

乂X”

XXx

XX

XX

XX

XX

A.若电子从P点出发恰好第一次经原点。，运动时间可能为裁

LCD

B.若电子从P点出发恰好第一次经原点。，运动路程可能为竽

C.若电子从尸点出发经原点。到达。点，运动时间一定为誓

D.若电子从P点出发恰好第一次经原点0到达。点，运动路程可能为"或27tL

【答案】ABD

【解析】电子在磁场中做圆周运动，从尸点到。点运动轨迹可能如图甲或图乙所示，电子在磁场中的运

动周期为7=誓

XXXX

XXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXX4XXX

P

XXXXXXXr

)xXXX%

••XXXX

・••X

nXXXX

•••VXXXX

♦・・•

XXXX

甲乙

设电子在尸0段完成〃个圆弧，则电子从尸点出发恰好经原点。点的时间为

90°——?,-c

,=喷7=五天〃=1、2、3

所以若电子从尸点出发恰好第一次经原点O,运动时间可能为蒜，则A正确；电子在磁场中做圆周运动

的半径为r,由几何关系可得,让r=让乙

电子从P点出发恰好经原点0,运动路程为S=74

当〃=1时5=苧

所以若电子从P点出发恰好第一次经原点O,运动路程可能为竽，则B正确；电子从尸点出发经原点O

到达Q点，运动时间为f="T=等，〃=1、2、3...,所以若电子从尸点出发经原点。到达。点，运动

时间可能为繁，则C错误；若电子从P点出发经原点。到。点，运动轨迹可能如图甲、乙所示，若电

子在段完成〃个圆弧，那么关于电子的运动路程，〃为奇数时为2兀心〃为偶数时为兀心故D正确.

【例2].如图所示，空间均匀分布的磁场，其方向都垂直于纸面向外，y轴是两磁场的分界面.在x>0区

域内，磁感应强度大小为Bi=2T,在x<0的区域内，磁感应强度大小为&=1T.在坐标原点。处有一个

中性粒子(质量为M=3.2xl()-25kg)分裂为两个带等量异号的带电粒子a和6,其中粒子a的质量m=yM(y

可以取。〜1的任意值)，电荷量q=+3.2xl()r9c,分裂时释放的总能量E=1.Ox10“eV.释放的总能量全部

转化为两个粒子的动能.设a粒子的速度沿x轴正方向.不计粒子重力和粒子之间的相互作用；不计中性

粒子分裂时间.求：

⑴若尸0.25,粒子a在右边磁场运动的半径R”；

(2»取多大时，粒子。在右边磁场运动的半径最大；

(3)y取多大时，两粒子会在以后的运动过程中相遇？

【答案】(1需m(2)1⑶强]

【解析】(1)分裂过程动量守恒，则有处似,=(1~7)加%

22

由能量守恒定律得，£=|yA/vfl+1(|—y)Mv*,解得力=-

I22

vi,-y/,T；T；

y(1-

粒子“轨迹满足/，〃5=喏

yMvay[3

&l型=80m

⑵由⑴问可知&产翳=恒产

可知当时R«i最大;

（3）一个中性粒子分裂为两个带电粒子。和从根据电荷守恒，。粒子带正电，则。粒子带负电.由于两个

粒子的质量和速度的乘积相等，所以两个粒子在同一磁场中的运动半径也相等

嵋=瓦=5

。、。两粒子的运动轨迹如图所示，它们相遇的位置只有两个，分别为c点和。点

①若在c点相遇鬻,兀（］—7）何L兀（［一/用

qBiqB?

3

则『

②若在。点相遇，由于△ocn为正三角形，所以哨+翳=四品网

Qti\JQD23qs

则y=|.

［例3］宇宙中的暗物质湮灭会产生大量的高能正电子，正电子的质量为m,电荷量为e,通过寻找宇宙

中暗物质湮灭产生的正电子是探测暗物质的一种方法（称为“间接探测”）.如图所示是某科研攻关小组为空

间站设计的探测器截面图，粒子入口的宽度为d,以粒子入口处的上沿为坐标原点建立xOy平面直角坐标

系，以虚线A8、CD、EF为边界，区域有垂直纸面向外的匀强磁场，"<x<2d区域有垂直纸面向里

的匀强磁场，0令<2"区域内磁感应强度的大小均为B；2d<x<3"区域有沿y轴负方向的匀强电场，电场强

度大小为爷；x=5"处放置一块与y轴平行的足够长的探测板PQ.在某次探测中，仅考虑沿x轴正方向射

入的大量速度不等的正电子，正电子的重力以及相互作用不计，其中一些正电子到达边界AB时，速度与

x轴正方向的最小夹角为60。，对此次探测，求：

（1）初速度多大的正电子能到达探测板PQ；

（2）正电子自入口到探测板PQ的最短时间；

（3）正电子经过边界CD时的）■轴坐标范围？

【答案】（1）8等（2）（号+乎（3）—3店）士—5d

【解析】（1）正电子只要能经过边界A8就能到达探测板尸°,正电子能到达探测板尸。时，正电子做圆周

运动的轨道半径r>d

由牛顿第二定律得evB=nr^

解得v>~

■B'D'FQ

（2）在边界48速度方向与x轴夹角为60。的正电子到PQ的时间最短，正电子在磁场中做匀速圆周运动，洛

2

伦兹力提供向心力，设正电子的轨道半径为r”由牛顿第二定律得改由=〃玲

jr

由几何知识得d=nsin3

rr

在入口和AB间、A8和CO间的运动时间相同，设为小则9仔加

/.rt/pt7T〃Z

解得”=而

自CD至PQ,t2=^

r=2ri+/2=(y4-

（3）速度最大的正电子在每一磁场区域沿y轴负方向偏移的距离yi=ri-ricosf

速度最小的正电子在每一磁场区域沿y轴负方向偏移的距离yi=d

正电子经过边界CD时的y轴坐标范围是一2”一店乃一2），|

即一3店）£一指

类型2先磁场后电场

1.进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反（如图甲所示）.

2.进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直（如图乙所示）.

Ay=]ar",qE'=ma

联立解得£=肃，5=气团。

(3)设粒子做类平抛运动过程水平位移为Ar,则AX-=PO/.设粒子在y轴下方磁场区域运动的轨道半径为»

d+Ax

则万

粒子运动速度丫=悬^，qvB^nr-

40

解得8=五反。

【例2].如图所示的X。)•坐标系中，第一象限存在与X。)，平面平行的匀强电场E,且与y轴负方向的夹角

。=30。,第二象限存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为注一带正电粒子自。点射入第二象限，

速度。与x轴负方向的夹角6=30。，粒子经磁场偏转后从y轴上的尸点进入第一象限，并由x轴上的M点

7)

(未画出)离开电场.已知OM距离为3L粒子的比荷为瓦，不计粒子重力.

(1)求OP两点的距离；

(2)求粒子在磁场中运动的时间；

(3)当该粒子经过P点的同时，在电场中的N点由静止释放另一个完全相同的带电粒子，若两粒子在离开

电场前相遇且所需时间最长，求N点的坐标.

【解析】(1)带电粒子在第二象限内做匀速圆周运动，轨迹如图，圆心为C

由牛顿第二定律，得的8=哈

解得R=L

由几何关系得/OCP=120。

则OP=y^L

(2)粒子在磁场中的运动周期T=平

粒子偏转120。，即在磁场中运动时间

解得

⑶带电粒子进入第一象限时速度与y轴正方向成60。角，与电场方向垂直，故粒子在第一象限内做类平抛

运动，轨迹如图.由于两粒子完全相同，所以只需在带电粒子进入电场时速度方向的直线上PN范围内任

一点释放粒子，均可保证两粒子在电场中相遇，且两粒子在M点相遇所需时间最长，即在图中N点由静

止释放粒子即可.设N点的横坐标为为纵坐标为y,根据几何知识可得

又x=PNcos30°

y=OP+PNsin30°

解得X=|Ly=上乎乙

【例3】.(2022•天津南开中学高三月考)如图所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为8,方向垂直

纸面向里，在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向上，一个质量为〃八电荷量为外重力不计的带正电粒

子从y轴上的“(0,外点沿y轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成

45。角进入电场，经过y轴上的匕点时速度方向恰好与y轴垂直.求：

\y

XXXXXX

XXXXXX

XXX|XXX

~~PH~~

\b

(1)粒子的初速度大小。I，进入电场前在磁场中的运动时间r；

(2加点的坐标，匀强电场的电场强度大小E.

【答案】⑴呼曹涕⑵(。，-誓41小-产

【解析】(1)根据题意可大体画出粒子在组合场中的运动轨迹如图所示,

由几何关系有rcos45。=/?

可得r=y[2h

_mV]2

又qviB=[-

可得『噜=型

粒子在磁场中的周期为片华

粒子进入电场前在磁场中的运动时间字当

oQqts

(2)设粒子第一次经过x轴的位置为jq,到达8点时速度大小为结合类平抛运动规律，有办=0cos45。

产型

得a一m

设粒子进入电场经过时间f运动到b点，方点的纵坐标为一以

结合类平抛运动规律得r+rsin45°处=\(msin45。+0»=也广〃

则〃点坐标为(0,一立)1h)

由动能定理得一qEyb=!”1加—1加12

解得£=^---从—.

m

【例4】如图所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为8,方向垂直于纸面向外；在x轴下方

存在匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45。夹角.一质量为〃?、电荷量为q(g>0)的粒子以

初速度。。从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相

反；又经过一段时间公，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变.不计重力.

(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需时间;

(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值.

【解析】(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示.

设运动半径为R,运动周期为T,根据洛伦兹力提供向心力，有家，科="蕾

.2兀/?

T=­

vo

联立解得7=需

依题意，粒子第一次到达X轴时，转过的角度为支

所需时间为八

解得广涕.

(2)粒子进入电场后，先做匀减速直线运动，直到速度减小为0,然后沿原路返回做匀加速直线运动，到达

x轴时速度大小仍为W，设粒子在电场中运动的总时间为打，加速度大小为。，有qE=ma

tl

也)一〃»

根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足

t2>To

解得电场强度最大值Emax=27F.

qlo

【例5].如图所示，xOy平面内，OP与x轴夹角为，=53。，在xOP范围内(含边界)存在垂直于坐标平面

向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8=0.1T.第二象限有平行于y轴向下的匀强电场，场强大小为E=

||xi05v/m.一带电微粒以速度vQ=5X106m/s从x轴上a(L0)点平行于OP射入磁场，并从OP上的人

点垂直于OP离开磁场，与y轴交于c点，最后回到x轴上的点"，图中点氏d未标出.已知m,sin

⑴微粒的比荷A；

(2)d点与。点的距离I;

(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度4大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限.

【答案】(l)5xlO7C/kg(2)4m(3)B20.2T

【解析】(1)微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得：

r=Lsin53°

由牛顿第二定律得qv()B=iTTy-

解得券=5x107c/kg

(2)粒子进入电场后做类斜抛运动.由几何关系得

Leos53°+r

丫支=sin53°

在y轴方向yo(=—vo/cos53。尸

在x轴方向I=Voisin530

解得1—4m

(3)微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界OP相切时，恰好能到达第四象限.

由几何关系知R=；Lsin53°

2

由牛顿第二定律得qw)Bi=〃命

解得S=0.2T

故当磁感应强度8.20.2T时，微粒能到达第四象限.

类型3先电加速后磁偏转

带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲.

甲

【例1】(2020•全国n卷，17)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情

的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N

之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示

的方向前进，打到靶上,产生X射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到靶上的点记为P点。则()

A.M处的电势高于N处的电势

B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移

C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外

D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移

【答案】D

【解析】电子带负电，故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速，故选项A错误；由左

手定则可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故选项C错误；对加速过程应用动能定理有eU=^mv2,

2

设电子在磁场中运动半径为r,由洛伦兹力提供向心力有则/=黄，电子运动轨迹如图所示，

由几何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角。满足sin，=§(其中d为磁场宽度)，联立

可得$汨。=曲＜端，可见增大U会使9减小，电子在靶上的落点P右移，增大8可使6增大，电子在

靶上的落点P左移，故选项B错误，D正确。

【例2】如图所示，M、N板间存在电压为Uo的加速电场，半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的

匀强磁场，光屏放置于圆形磁场区域右侧，光屏中心P到圆形磁场区域圆心O的距离为2R带电粒子从

S点由静止飘入M、N板间，经电场加速后进入圆形磁场区域，在磁场力作用下轨迹发生偏转，最终打在

光屏上的某点，测量该点到尸点的距离，便能推算出带电粒子的比荷，不计带电粒子的重力。

(1)若带电粒子为电子，已知电子的电荷量为e,质量为〃m，求电子经过电场加速后的速度大小v及电子在

磁场中运动的轨迹半径r：

(2)若某种带电粒子通过电场加速和磁场偏转后，打在光屏上的。点，已知P点到。点的距离为2小R,求

该带电粒子的比喘及其在磁场中运动的时间人

I答案…零尸⑵繇舞

【解析】(1)电子在电场中加速，根据动能定理，

有0

解得片糜

电子在磁场中做匀速圆周运动

平行于y轴)的匀强电场，在X轴下方和〉=一^3^旬存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，一质量为加、电荷

量为q的带正电粒子，经过)，轴上的点尸1(0,L)时的速率为加，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上的点

34

--

尸2d心,0)进入磁场，经磁场偏转后垂直y=一%＞虚线进入下方电场,55

求：

(1)粒子到达七点时的速度大小和方向;

(2)电场强度E和磁感应强度B的大小:

(3)粒子从Pi点出发后至第5次经过x轴所经历的时间及此时经过x轴的位置坐标.

【答案】(l)|vo方向与x轴正方向的夹角为53°⑵嗯;之3⑶"弟产"(果,0)

【解析】(1)如图所示，粒子从Q到P2做类平抛运动，设到达尸2时沿y轴方向的分速度为b

由运动学规律有方=加

Vy

Lf=»h

可得「洋

2Vo

4

31~

1

故粒子在P-L的速度大小V—y]vo+vf--va

设v与x轴正方向的夹角为£,贝Ijtan/?=V=：

即夕=53。

(2)粒子从P\到Pi，据动能定理有c/EL^mv^—^mvti1

可得”鬻

作出粒子轨迹如图所示，

设在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,

2s

则由几何关系可得『=而彳=%

供

由qvB=my

门mv2mvo

8=不=麻

3/

(3)粒子运动一个周期的轨迹如图所示，粒子从外运动到P2,“=荒

又因为T破=平=替

粒子从2运动到“，/2=襦7微=需；

粒子从M运动到M"=普=空

则粒子笫5次经过x轴经历了2个周期加I个类平抛的时间，

nnd,,(450+37兀乂

即为1=4(八+，2+办)+。=30^

.355

每个周期内粒子会沿x轴正方向移动的距离为Ax=2x^L+2x(/L-/cos37°)=4L

则粒子笫5次经过x轴距坐标原点的距离为x=2Av+]=?

19

则坐标为(5乙,0)

【例2].如图所示，同一竖直平面内的a、b、c,三条水平虚线间的距离分别为"、2d,在虚线“上方有竖

直向下的匀强电场，虚线b.c之间有水平向里的匀强磁场，其磁感应强度大小可调.一质量为加、电荷

量为式q>0)的带电粒子从到虚线a的距离为d的。点水平向右射入电场，射入的初速度大小为优，并从虚

线。上的P点离开电场，。、P两点间的水平距离为2d当磁感应强度大小为S(未知州寸，粒子恰好不能从

虚线c射出磁场，并从虚线。上的。点(图中未标出)第一次返回电场.不计粒子受到的重力，虚线a、b

之间既无电场也无磁场.

(1)求匀强电场的电场强度大小E；

(2)求磁感应强度大小助及P、Q两点间的距离；

(3)改变匀强磁场的磁感应强度大小，使粒子第一次从磁场中返回到电场后能直接从Q点离开电场，求此磁

感应强度大小Bi.

【答案…震⑵鸣沪(6+4内冷

【解析】(1)如图甲所示，粒子在电场中做类平抛运动，沿初速度方向有2d=wr

沿电场方向有4=去/尸

其中加速度大小。=隼

解得"黑

(2)如图乙所示，粒子从电场中射出时有tan»=F=l

vo

乙

粒子从电场中射出时的速度大小V=^=^PO

2

粒子在磁场中运动时有小，5=*

粒子恰好不从虚线c射出时有2d=R-Rcos0

则R=(4+26)4

联立解得B尸地步

粒子从电场中射出时到进入磁场前沿虚线方向的位移大小制=磊=1

粒子在磁场中沿虚线方向的位移大小X2=2Rsin。=4(正+l)d

由对称性可得P、。间的距离X?Q=2XI+x2=(6+4_\「)d

(3)如图丙所示，当粒子再次进入电场中时沿虚线方向的位移大小X3=2xop=4d

粒子从电场射出时经过。点，则有2ri+x2，+x3=xp°

解得X2'=4啦d

由几何关系可得R'=44

2

粒子在磁场中运动时有0，&=簧

解得比=幅・

【例3】(2021•全国甲卷25)如图，长度均为/的两块挡板竖直相对放置，间距也为/，两挡板上边缘尸和M

处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E：两挡板间有

垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场.一质量为〃3电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大

小为如的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘。和N之间射出磁场，运动过程

中粒子未与挡板碰撞.已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°,不计重力.

P••M

li••

Q••N

、、」

⑴求粒子发射位置到P点的距离;

(2)求磁感应强度大小的取值范围;

(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离.

1总安、V13/nvo2.1、,(3一小)呵<百<2〃叫心39—1s/5/

［答案］⑵3^/ql(3)44v/

【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知x=vo/0

粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60。，有

tan30。=匕=唉)

VoVo

粒子发射位置到P点的距离5=47行④

由①②③④式得$=玛噢⑤

(2)带电粒子在磁场中的运动速度丫=；^既不=呼⑥

VzOJKJ，

带电粒子在磁场中运动的两个临界轨迹(分别从Q、N点射出)如图所示

由几何关系可知，最小半径乎/⑦

当

最大半径「max=c0s75。=+1)/⑧

带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知以2=%)

由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围为

(3—y［3)mvo__2mvo

--WB&F

(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子的运动轨迹如图所示.

由几何关系可知sin。=意=乎⑩

当

带电粒子的运动半径为〃=嬴E®

粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离

dmin=(小sin300+/)一门⑫

由⑩色颜解得d=394；%

题型二带电粒子在叠加场中的运动

1.叠加场

电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

2.洛伦兹力、重力并存

(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。

(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。

3.电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)

(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。

(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。

4.电场力、洛伦兹力、重力并存

(1)若三力平衡，带电粒子一定做匀速直线运动。

(2)若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。

(3)若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动

能定理求解。

［例1］如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，

一质量为机、带电荷量为+q的小球从A点以速度均沿直线运动，A。与x轴负方向成37。角。在)，轴

与之间的区域I内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到MN上的C点，MN

直线达国J。

/祖

q

3?九二

//

'mg

由图知Icos37。-吟

mg

4mg

侍E?-

方向句jx轴正方向成53。角向上。

⑶小五R在区域n内做匀速圆周运动，所以”一如3,得当一拳，因小球恰好不从右边界穿出，小球运动

轨迹如」图所示。

M'•P

7

NlIQ

『关系得「=等，

由几但

O

由洛傕:兹力提供向心力知

⑵。)」

9-2voB2—mr，

%%=黯。

联立存

【例2】(2022•云南保山市调研)如图所示，质量为,〃，带电荷量为+q(q>0)的液滴，以速度v沿与水平方向

成0—45。角斜向上进入正交的范围足够大的匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场

方向理E直纸面向里，液滴在场区做直线运动.重力加速度为g,试求：

XXX/X

/E

X，/XX

XXXBX

(1)电勾力强度E和磁感应强度B各多大？

(2)当以反滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场

的影瓯J.此时液滴加速度为多大？

(3)在司育足(2)的前提下，液滴从A点到达与A点位于同一水平线上的P点(图中未画出)所用的时间.

:】(嘴鬻(2极(3噜

【解析】（1）液滴带正电，受力情况如图所示:

有qE=，〃gtan9=mg,qvB=^『巾mg

可得E=臂，

“皿

q、

⑵电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，故电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆

周运动，根据牛顿第二定律，有：a=^=y[2g.

（3）电场变为竖直向上后，gE=〃?g,故液滴做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得以B=〃5

可得「幸

则T书

3

由几何知识得，

可得尸噜.

【例3】（2022•山东济南市模拟）如图所示，两竖直虚线间的距离为L,其间的区域存在方向水平向右的匀

强电场。自该区域左方的A点将质量为,〃、电荷量为q的带电小球以初速度吻=4阻沿平行于电场的方向

抛出。已知抛出点到电场左边界的距离为2L小球到达电场右边界时速度方向恰好变为竖直向下。不计空

气阻力，重力加速度大小为g。

----2L~*；*；

AI——►!

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：E：

⑴求小球进入电场时速度大小；

⑵求小球到达电场右边界时的位置到抛出点的距离；

（3）在匀强电场区域再施加一个匀强磁场，使小球进入此区域后能够沿直线运动，求所加磁场的方向以及磁

感应强度大小。

【答案】（1）2屈（2）5乙（3）垂直纸面向外，会J手

【解析】(1)设小球从抛出经时间h恰好进入电场，则根据平抛运动规律有

2A=Wi①

根据速度的合成可知，小球进入电场时的速度大小为E速+(勖)2②

联立①②解得v=2病③

(2)设小球进入电场后经时间t2到达电场右边界，根据运动学公式得④

小球从抛出到到达电场右边界的过程中下落的高度为6=%⑺+切2⑤

由几何关系可知何+(3L)2⑥

联立①④⑤⑥解得s=5L⑦

(3)由前面分析可知小球带负电，小球在电场、磁场和重力场的复合场中做匀速直线运动，小球所受重力和

电场力的合力方向斜向左下方，根据平衡条件可知小球所受洛伦兹力的方向一定斜向右上方，又因为小球

进入复合场区时的速度方向斜向右下方，故根据左手定则可知匀强磁场的方向为垂直纸面向外。

设小球刚进入复合场时速度方向与水平方向的夹角为a,则tana=^®

根据平衡条件可得/Mgtana=qE@

qvB=7(qE)2+(〃吆)2⑩

联立①③⑧⑨⑩解得磁感应强度的大小为

【例4】(2022•福建龙岩市质量检测)如图所示，在竖直的xOy平面内，在水平x轴上方存在场强大小后=

警、方向平行于x轴向右的匀强电场，在第二象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴下方存在方

q

向垂直纸面向外的匀强磁场，大小与方向都未知的匀强电场E2。一质量为机、带电荷量为4的小球从)，轴

上的P(0,L)位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y

轴相切。

⑴求匀强电场田的大小与方向；

(2)求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离；

(3)若让小球从)，轴上的。点(图中未标出)无初速度释放，小球第二次穿过x轴后进入第二象限做直线运动,

恰好又回到Q点。求第二象限中匀强磁场的磁感应强度B的大小。

【答案】(1拳方向竖直向上(2)8L(3)口嚼上遮

【解析】(1)小球无初速度释放后进入第一象限，故小球带正电，做匀加速直线运动

因为小球在2翳四象限做匀速圆周运动，所以9员=7

则milECi—-inJs.,方向竖直向上

(2)设小球进入第四象限的速度方向与水平方向夹角为仇如图所示

r_______.

xBxxxP,gq

XXXX

XXXX拿

::::

由运动学公」求得

,-2%in淤)

,『"。a一皿西-1④

由②③④得丫=2%,8=45。

小球再次回乡前第一象限做类平抛运动，有

竖直方向t=

水平方向qE\=niax©

卜共产⑦

x=(vcos0)t-

由⑤⑥⑦得x=8Lo

(3)假设x轴下方匀强磁场磁感应强度大小为氏，从尸点释放的小球进入磁场，有

y

xBxxxP“n、qEi

XXXX

Xx\M.

::「

R+Rcos3=L⑧

qvBo=，般⑨

假设。点离坐标原点的距离为％,对从Q点释放的小球，进入第一象限的速度为环，同理可得也=2病

⑩

从Q点释放的小球进入X轴下方，做匀速圆周运动，有

qv\Bo=ni^\

5)

从。点释放的小球在第二象限做宜线运动，电场力和重力的合力与洛伦兹力大小相等，叫与X轴夹角3=

45°,有饮出=&，砥⑫

电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，则与必然垂直，由几何关系，得

8=也此?⑬

由⑧⑨⑩08⑥下代入心得

(2+72)nr^gL

*2qL0

【例5】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系X。)，，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，

电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里.一带电荷量为+小质量为m的微粒从原点

出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45。的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到

A(/,/)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y

轴穿出复合场.不计一切阻力，重力加速度为g,求：

(1)电场强度E的大小；

(2)磁感应强度8的大小；

(3)微粒在复合场中的运动时间.

【答案】(噂吟6(3)弓+1,

【解析】(1)微粒到达4(/,/)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲:

口J知Eq=mg,得：E—.

q

(2)由平衡条件得:qvB=j/ng

电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙：/8

由几何知识可得：，=啦/

联立解得：v=国,

B=~'g

(3)微粒做匀速直线运动的时间：八=率

g

微粒做匀速圆周运动的时间：

木63兀口

/2=^~

微粒在复合场中的运动时间:

r=/i+/2=(y+iy^|.

【例6】如图所示，直角坐标系xQy所在竖直平面内分布着场强大小相等的匀强电场，第一、二象限中场

强方向沿)，轴正方向，第三、四象限中场强方向沿x轴正方向；第一、四象限还分布着垂直于平面向里的

匀强磁场.一质量为0.02kg、带正电的微粒自坐标为(0,-0.4m)的4点出发，与y轴成45。角以2m/s的

速度射入第四象限，并能在第四象限内做匀速直线运动，已知重力加速度g取10m/s2.求：

Alx-x_x.

(1)微粒第一次通过y轴正半轴时的纵坐标：

(2)微粒运动轨迹与初速度方向所在的直线第一次相交时，所需要的时间(结果可用根式表示);

(3)微粒从射出到第(2)问所说的时刻，动能的增加量.

【答案】(1)0.4m(2)卷(6+?r)s⑶0.16J

【解析】(1)微粒受力及运动过程分析如图所示:

微粒在第四象限内沿与y轴成45。角做匀速直线运动，

有qE=mg

qvB=巾mg

微粒在第一象限内，重力与静电力二力平衡，微粒做匀速圆周运动，

由qvB=~^~

联立解得厂=坐m

由几何关系得，微粒在第一象限恰好做了半个周期的圆周运动，故微粒第一次通过y轴正半轴时的纵坐标

为0.4m.

(2)由A到B微粒做匀速直线运动：

位移为内=乎m

时间”=放

解得h共s

由8到C微粒做匀速圆周运动：

nr

力=一v~

解得打=喑S

由C到。微粒做匀速直线运动：

位移为X2="^m

时间，3=彳

解得/3=坐s

由。到E微粒做类平抛运动，轨迹交BA延长线于G点

加速度方向沿。指向4，大小为

沿DA方向位移大小为*3=苧m

由

解得，4=乎S

啦

故t&=t\+f2+h+〃=JQ(6+TI)S

(3)只有在第三象限运动的过程，微粒动能有变化.

从D到G,合外力做的功W=yl2mg-x3

由动能定理知，W=AEk.

解得动能的增加量为△Ek=0.16J.

【例7】(2022•江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系，中，第四象限内有垂直坐标平面

向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B,电场强度大小为E.第一象限中有沿y

轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)且某未知矩形区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强

度大小也为B).一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成。=45。角斜向上做匀速直线运动，由x

轴上的N点进入第一象限并立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y轴上

的P点(图中未标出)，已知O、N点间的距离为L重力加速度大小为g(取sin22.5°=0.4,cos22.5。=0.9).求：

⑴小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的场强大小；

(2)矩形匀强磁场区域面积S的最小值：

(3)小球从M点运动到P点所用的时间.

【n条】(1)E£⑵记J54⑶石(1十2)十且84兀2

【解析】(1)设小球质量为〃7,电荷量为夕，速度为〃小球在MN段受力如图

因为在MN段做匀速直线运动，所以小球受力平衡，由平衡条件得

mgtan450=qE

qvBsin45°=qE

解得“

选规律联立不同阶段的方程求解

【例1】（2022•山东日照市高三模拟）如图甲所示，水平放置的平行金属板尸和Q,间距为4,两板间存在

周期性变化的电场或磁场.P、。间的电势差随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度8随时间变

化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向.r=0时刻，一质量为，小电荷量为+g的粒子（不

计重力），以初速度由由尸板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，外相、d、血、t/o

为已知量.

_________Q.U”B

III<«.

\r\27

~p,_j____i--j____l

⑴若仅存在交变电场，要使粒子飞到。板时，速度方向恰好与。板相切，求交变电场周期7;

（2）若仅存在匀强磁场，且满足B°=智，粒子经一段时间恰能垂直打在。板上（不考虑粒子反弹），求击中

点到出发点的水平距离.

【答案】

【解析】（1）设经时间r粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为m则。=鬻

半个周期内，粒子向上运动的距离为

联立得7=符（〃=1，2,3……）

（2）仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为〃的匀速圆周运动，则有

解得r=^d

要使粒子能垂直打到。板上，在交变磁场的半个周期内，粒子轨迹的圆心角设为90。+以如图所示，由几

何关系得

r+2rsin0=d

解得sin0=0.5

则粒子打到Q板的位置距出发点的水平距离为

八