2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点十一对数、对数函数

对数、对数函数

基础落实练­3()分钟6()分

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.(2022•福州模拟)若只.3=1,求3"+=()

513103

A.-B.-C.-D.-

乙O。乙

【解析】选A.因为瓦=log32,

log23

115

所以3'+3r=31og32+31og35=2+-=-.

乙乙乙

2.若函数F(x)=loga(x+6)的图象如图所示，其中a,8为常数，则函数g(x)=a'+8的图

象大致是()

【解析】选D.由/'(x)的图象可知0〈a〈l,0〈伙1,所以g(x)的图象应为D.

【加练备选】

(2022•开封模拟)函数y=|lg(x+l)|的图象是()

【解析】选A.由于函数尸lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到,

函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,

0),即函数y=|lg(x+DI的图象与X轴的公共点是(0,0),考察四个选项中的图象只有A

选项符合题意.

3.已知x=logz5—log?#,y=log53,z=5「；，则下列关系正确的是（）

A.z<y<xB.z<x<y

C.x<y<zD.y<z<x

【解析】选A.因为%=log25—log2-75=logz贴>1,y=log53<l,z=51=太<1,因为

log53>log5"75,即y>z,所以z〈y<x.

(2022•桂林模拟)已知a=2"Z>=log23,c=log410,则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解析】选A.因为2一°"<2°,所以aVl,

因为log/0=log2、m>log23>l,

所以c>b>l,所以c>b>a.

4.已知f(x)=log2(V—ax+3a)在［2,+8)上是增函数，则实数a的取值范围是()

A.(—8,4)B.(—4,4］

C.(-8,-4)U［2,+°°)D.［-4,4)

【解题指南】根据题意得出函数尸*—ax+3a在［2,+8)上是增函数且大于零，由此列出

关于a的不等式组，求出它的解集即可.

【解析】选B.因为函数f(x)=log2(V—ax+3a)在［2,+8)上是增函数，

所以y=f—ax+3a在［2,+8)上是增函数且大于零，

所以卜<2,解得一4VaW4,

l22-2a+3a>0

所以实数a的取值范围是(-4,4L

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分)

5.(2022•株洲模拟)若正实数H,6满足公6且lna・ln力0，下列不等式恒成立的是()

A.log//2>log；2B.a*Ina>b•Inb

C.2„>2叶’D.log力>0

【解析】选CD.由InInb>0有0〈灰水1或a>b>l,对于A,当0<b<a<l或a>b>l都

有log,2Gog2A不符合题意；对于B,比如当,b=\时，有;In；=；In|||

2=2XjIn:=：InJ,故a•Ina>b•Inb不成立，B不符合题意；对于3因为ab+

TC乙乙Li

l—a—6=(a—l)(6—1)>0,所以ab+l>a+b,则2a4+1>2a+A,C符合题意；对于D,因为

Ina,Inb>Q,所以log>。，p正确.

Ina

6.(2022•南京模拟)已知函数/'(x)=logz(l+4')—x,则下列说法正确的是()

A.函数/'(x)是偶函数

B.函数f(x)是奇函数

C.函数/'(x)在(-8,0］上为增函数

D.函数f(x)的值域为［1,+°°)

【解析】选AD.f(—x)=log2(1+*)+%=log2(l+4')—x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,

5

A正确,B错误；/(-1)=log>1=/(0),故C错.综上选AD.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知log"=a,4"=6,则1。&228=

［解析］由4"=6,得，=log［6,

在I、I1oolog|28log4+logj1+a

所以10孔28=许="+"==•

1+方

答案:a+b

8.若函数f(x)=log"(V—x+2)在区间［0,2］上的最大值为2,则实数a=.

....7

【解析】令u(x)=/—x+2,则u(x)在［0,2］上的最大值u(x)11M=4,最小值u(x)111s=*.

当a>l时，y=log〃是增函数，/(^)max=log.,4=2,得a=2；

当0〈a〈l时，y=log.u是减函数，f(x)则=

7A(7

log-=2,得且=当(舍去).故a=2.

答案：2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.若不等式*—log"X〈0在(0,3内恒成立，求实数曲的取值范围.

【解析】由log,a<0,得/<log/,在同一坐标系中作和y=]og,j的草图，如图所

示.

要使VQogM在(0,内恒成立，只要y=logM在(0,3内的图象在图象的上方，于

是0W1.

因为x=J时，尸/=；,

乙JL

1111

所以只要牙=5时，y=log-24=log第,

111

所以5W勿，即/W凉

2416

又o<欣1,所以白〈欣1.

16

即实数加的取值范围是。1).

X-1

10.已知函数f(x)=lgFT-

(1)计算:f(2022)+A-2022)；

(2)对于xe[2,6],f(x)<lg[恒成立，求实数加的取值范围.

(才十1)(7—x)

x—1

【解析】⑴由书〉。，得X〉1或X<-L

所以函数的定义域为Wx>l或X-1).

又f(x)+f(—x)=l(1—gXE']—|—H=0，

所以/'(X)为奇函数.

故f(2022)+f(-2022)=0.

mv—1m

(2)当x£[2,6]时，/(A)<lg(x一+l)、(7——x)r恒成立可化为H1+x(mx十1)(7―—x)r恒

成立.

即加>(x—1)(7—x)在[2,6]上恒成立.

又当xG[2,6]时，(x—1)(7—x)=-f+8x—7=—(x—4)?+9.

所以当x=4时，[(x—1)(7—才)]a=9,所以%>9.

即实数加的取值范围是(9,+°°).

-•素养提升练20分钟40分

1.(2022•株洲模拟)为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废

气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)

与时间t(h)的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减

少19%需要花的时间为()

A.7小时B.10小时

C.15小时D.18小时

【解析】选B.因为前5个小时消除了10%的污染物，所以々(1-0.1)R=

In09

Re-*,解得,所以p=5,设污染物减少19%所用的时间为t,则(1

5Pue

-0.91_£

2ln9

-0.19)^)=0.81^=0.dP0=P0e~'=PU(e°)=/^(0.9),所以!=2,解得t=

0

10.

2.(能力挑战题)(2022•沈阳模拟)已知曲线G：y=-与曲线C：y=log,x(a>0且a#l)交

X

于点〃(吊，加，若的22,则a的取值范围是()

A.(1,+°°)B.[4,+0°)

C.(e,+°°)D.(2,+°o)

【解析】选B.当OVaVl时，由两曲线交点可知，OVx°Vl,不合题意;

当a>\时，由交点可知：—=logMo,可化为工=?1，得Ina=x()ln苟，

的XoIna

当x22时，函数f(x)=xInx显然是增函数，

所以f(x)2f(2)=21n2=ln4,

所以Inaeln4,所以a24.

3.(多选题)(2021彳弗山模拟)函数f(x)=ln(e'+l)—In(e”-l),下列说法正确的是()

A.f(x)的定义域为(0,+°°)

B.f(x)在定义域内单调递增

C.不等式，(加一1)>〃2加)的解集为(一1,+8)

D.函数/'(x)的图象关于直线y=x对称

fer+l>0

【解析】选AD.要使函数有意义，则，“=xe(O,+8),A符合题意；

le—1>0

f(x)=ln(eA+l)—In(e'—1)=ln=ln(1+,2)，令y=l+/1，易知其

在(0,+°°)上单调递减，所以f(x)在(0,+°°)上单调递减，B不正确；

jkl>0

由于f(x)在(0,+8)上单调递减，所以对于〃加一1)>『(2血，有<2卬>0=加£(1,

lz?—l<2zz?

+°°),C不正确；

2e‘‘+1"+1

令y=〃x)=ln(1+——),解得。三个Ox=ln(e"7),所以f(x)关于直线y

=x对称，D符合题意.

4.函数f(x)=logA〃•1。郎/(2x)的最小值为.

【解析】依题意得f(x)=glog2Jv•(2+21og2X)=

211

一

2--一

(log2^)+log2^=llog2jr+244

当10g21=一；，即A=时等号成立,

所以函数f(x)的最小值为一：.

答案：一:

5.设/1(才)=loga(l+x)+loga(3—才)(a>0,且a#l),且/'(1)=2.

(1)求实数a的值及F(x)的定义域；

-Q-

⑵求/'(X)在区间0,5上的最大值.

乙

【解析】(1)因为/'(1)=2,所以log“4=2(a>0,且aWl),所以a=2.

l+x>0,

由'得一l<x<3,

13—x>0,

所以函数/1(x)的定义域为(-1,3).

(2)f(x)=log2(l+x)+log2(3—x)

=log2[(l+%)(3—x)]=log2[—(x—1尸+4],

所以当xe(-l,1]时，/'(x)是增函数；

当*6(1,3)时,f(x)是减函数，

3

故函数f(x)在