2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点四十三用空间向量研究直线、平面的位置关系

四十三用空间向量研究直线、平面的位置关系

基础落实练30分钟60分

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.若直线1的一个方向向量为a=⑵5,7),平面a的一个法向量为u=(1,1,—1),则()

A.1//a或7caB.7±a-

C.7caD./与a斜交

【解析】选A.由条件知a•u=2X1+5X1+7X(—1)=0,所以aJ_u,故/〃。或/ua.

2.设平面。的法向量为(1,2,-2),平面6的法向量为(-2,-4,公，若。工。,则A等

于()

A.2B.-4C.-5D.—2

【解析】选C.因为所以1X(—2)+2X(—4)+(—2)XA=0,所以"=—5.

21

3.在正方体力比245G〃中，E,6分别在4〃4。上，且鼻AF=-AQ贝|()

OO

A.EF至多与AR业?之一垂直

B.EFLADEFLAC

C.EF与B以相交

D.跖与劭异面

【解析】选B.以〃点为坐标原点，以加，DC,〃〃所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角

坐标系，

设正方体棱长为1,则4(1,0,1),〃(0,0,0),1(1,0,0),C(0,1,0),

1[2]____

£■(7,0,-),F(-,-,0),B(l,1,0),〃(0,0,1),AD=(-1,0,-1),AC={-

OOoo1

一111------►

LL0),EF=%,~,--),BD[=(—1,-1,1),

ooo

EF=-1AJD•EF=AC•EF=0,

0

仄而EF〃BD、,EFL^D,EFLAC.

4.(2021•南昌模拟)如图，正方体力比34AG〃中，M,E,F,G,〃分别为防，A岛BC，

AA},8C的中点，则()

A."〃平面力◎/B.加〃平面〃¥

C.〃G〃平面4C"D.如〃平面力CV

【解析】选C.如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则/(0,0,2),

。(2,2,2)，虱2,0,1),Mb0,0),6(2,1,0),G(0,0,1),〃(2,1,2),

〃(0,2,2),则建'=(1»~2,—2),DF=(2,—1,—2),~DG=(0,—2,—1),

DH=(2,-1,0),AC=(2,2,0),AM=(2,0,-1),

设平面/CV的法向量为z?=(x，必z),

n•~AC=2x+2y=Q/、

则T,令x=l,则y=-1,z=2,所以〃=(1,—L2),

n•^=2x—z=0

因为刀•无=1X1+(—2)X(—1)+2X(—2)=—1,

n•DF=1X2+(-1)X(-1)+2X(—2)=-l,n-DG=0X1+(-2)X(-1)+2

X(-1)=0,n-DH=1X2+(-1)X(—1)+2X0=3,所以AJ_走，

又颇平面所以龙〃平面/CM,故C正确，A,B,D错误.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分)

5.(2021•重庆模拟)给出下列命题，其中为假命题的是()

A.已知〃为平面。的一个法向量，0为直线/的一个方向向量，若A_LR,则/〃a

2IT

B.已知/2为平面。的一个法向量，勿为直线/的一个方向向量，若〈，勿〉=不-，则/与

o

JI

。所成角为三0

C.若两个不同的平面a,£的法向量分别为〃，v,且〃=(1,2,—2),v=(—2,—4,4),

则。〃£

D.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得

p=xa+yb+zc

【解析】选AD.对于A：由题意可得/〃。或/ua,所以A错误；对于B,由图得，4cA0=

2n,n

,则/加,

oo

JIJI

所以/加6=至，根据线面角的定义得，/与。所成角为不，所以B正确；对于3因为u

=—1r=—(—2,—4,4)=(1,2,—2),所以u〃v,所以a〃£,所以C正确；对于D,

乙乙

当空间的三个向量a,b,c不共面时，对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使

得p—xa+yb+zc,所以D错误.

6.(2022•枣庄模拟)如图所示，若长方体4a24AG〃的底面是边长为2的正方形，高为4.£

是。〃的中点，则()

A.B小AB

B.平面A四〃平面4劭

C.三棱锥C-5"的体积为J

o

D.三棱锥G-AM的外接球的表面积为24n

【解析】选CD.长方体ABC)ABC。的底面是边长为2的正方形，高为4,E是DD、的中点,

在A中，以/为原点，相为x轴，为y轴，9为z轴，建立空间直角坐标系，

则5⑵0,4),£(0,2,2),4(0,0,4),8(2,0,0)

，B]E=(—2,2,—2),A]B=(2,0,—4),

因为BE•A|E=-4+O+8=4WO,所以8下与48不垂直，所以A错误;

在B中，5(2,0,4),。(2,2,0),在0,2,2),

4(0,0,4),3(2,0,0),〃(0,2,0),CB,=(0,-2,4),CE=(-2,0,2),BA^=

(-2,0,4),RD=(-2,2,0),

设平面3四的法向量为A=(x,y,z),

n・CB|=—2y+4z=0

则《，取X=1,得A=(l,2,1),

n・CE=-2x+2z=0

设平面4初的法向量为m=(a,b,c),

m・BA|=-2a+4c=0(A

则＜_.，取a=l,得必=|1,1,,

m.BD=-2a+2b=01句

因为出A不共线，所以平面区"与平面48〃相交，所以B错误；在C中，三棱锥的

118

x

体积为VcBCE=VBCCE=W9X4X2X2=-,所以C正确；在D中，三棱锥G-A/

的外接球就是长方体48⑦-43G〃的外接球，所以三棱锥G-3刃的外接球半径R=

虫+：+4=76,所以三棱锥如5内的外接球的表面积为S=4nX(小尸=24n,所以

D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.在空间直角坐标系中，已知点尸（1,小，小）,过点P作平面yOz的垂线P。，则垂足。

的坐标为.

【解析】由题意知，点0即为点尸在平面yOz内的射影，所以垂足0的坐标为（0,啦，木）.

答案：（0,巾，木）

[2

8.己知，为矩形48（力所在平面外一点，且窗=份=力=切，VP=~VC,VM=~VB,VN

OO

2

=Tvb.则必与平面刃邠的位置关系是

O

【解析】如图，

设声I=a,~VB=b,Vc=c,则劭=a+c~b,

由题意知沏b—\c,而'VD-J讫=|a—|b+/c.

JJoJJJJ

33

因此为=jPM+jPN,所以为,PM,PN共面.

又因为见a平面4城，所以由〃平面得烈

答案：平行

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.（2022•武汉模拟）如图，在长方体力优？464〃中，AB=BC=2,肌=6，点、E,尸分别

是4G，阳的中点.

⑴求证：龙〃平面〃力G

(2)求证：AFLBE；

(3)求异面直线4c'与8〃所成角的余弦值.

【解析】⑴连接以.

由已知，D.E//BO,D\E=BO,

所以四边形6M石是平行四边形，BE"0D\,

因为0〃u平面D、AC,龙不在平面内，

所以庞〃平面D、AC；

(2)以点〃为坐标原点，以物，DC,/必所在直线分别为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，则

力(2,0,0),《1,2,阴，6(2,2,0),6(1,1,/)，

<7(0,2,0),。(0,0,0),

所以游=(―1,2,乎),BE=(—1,—1,y[2),

所以9•BE=1-2+1=0,所以"LL班1；

(3)由(2)得，AF=(-1,2,乎)，BD=(-2,-2,0),

乙

|1个1VT1

所以异面直线46与曲所成角的余弦值为

2^2XA/1+4+111

所以异面直线"'与劭所成角的余弦值为什.

10.(2022•襄阳模拟)如图，在三棱柱48G45C中，缈」平面/宛，ABLBC,AA.=AB=BC

=2.

A\

B

(1)求证：平面44。；

(2)点"在线段RC上,且黑=1，点/V在线段43上，若砌V〃平面44CG,求岩的值.

D\C6A\D

【解析】⑴因为在三棱柱/跖48《中，83」平面48。，因为比t平面/8C,

所以BR_LBC,同理微_LA5.

因为羽=CG=6C=2,

所以四边形5a'C为菱形，BC、1BC

因为46,优；所以48」6G,

又因为防n身G=A,

所以45_L平面比'G3,又因为因u平面所以43_L8G,

因为4AA8C=A,所以如，平面48c

(2)以6为原点，a'为x轴，胡为y轴，阳为z轴，

建立空间直角坐标系，4（0,2,0）,<7（2,0,0）,G（2,0,2）,8（0,0,0）,

5（0,0,2）,4（0,2,2）,襦=（一2,2,0）,CC；=（0,0,2）,

设平面4CG4的法向量A=（不，加Z）,

n*CA=—2x.+2y.=0/、

则｛____,取为=1,得〃=（1,L0）,

n・CC]=2Z]=0

点〃在线段8c上，且葬=［，点在线段48上.

设M(a,b,c),N(x,y,z)，*=4，

A\D

则BQ=3^KLA^N=AAjB,0W4W1,

即(2,0,—2)=3(H,b,c—2),(x,y-2,z—2)=A(0,—2,—2),

解得/姬，0,,7V(0,2—24,2—2A),施=卜|,2-21,24),

2

因为助“〃平面447G,所以刀•薪V=一5+2—24=0,

O

所以4=1,所以等的值为I.

6A\D6

素养提升练20分钟4。分

1.如图，6是正方体力a248仁〃的棱切的中点.后是8区上一点，若DFLDE,则有()

A.B、E=EBB.B、E=2EB

C.B\E=gEBD.E与6重合

乙

【解析】选A.以点。为坐标原点，分别以物，DC,如所在直线为x,y,z轴建立空间直角

坐标系，设正方体的棱长为2,

则。(0,0,0),尸(0,1,0),〃(0,0,2),

设£(2,2,z),则印=(0,1,-2),DE=(2,2,z),

因为t)iF•应'=0X2+lX2—2z=0,所以z=l,所以RE=EB.

2.(2022•乳山模拟)给出以下说法，其中正确的是()

A.直线/的方向向量为a=(0，1，—1),平面。的法向量为〃=(1，—1，—1),则/_1_

a

B.平面a,£的法向量分别为功=(0,1,3),功=(1，0,2),则。〃£

C.平面a经过三个点力(1,0,-1),8(0,-1,0),。(一1,2,0),向量A=(1,U,t)是

平面a的法向量，则u+t=l

D.直线/的方向向量为a=（1，—1,2）,直线加的方向向量为b=（2,1,一3，则/与

R垂直

【解析】选D.A,a•n=0=^1//a,A错误.

B,不存在实数Z,使41=£4，B错误.

C,~AB—（—1,—1,1）,AC=（—2,2,1）,

n•AB=-l-u+t=045

解得t=~,u+t=~,C错误.

oo

n•衣=-2+2u+t=0o

D,a•A=2—1—1=0,所以/_L/，D正确.

3.（多选题）（2021•长治模拟）已知正三棱柱力磨48K的底面边长为1,44=1,点尸满足诙

=ABC+^BB',其中儿£[0,1]，〃W[0,1],下列选项正确的是（）

A.当4=1时，户的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥A48C的体积为定值

C.当儿=3时，有且仅有两个点只使得4尸_1外

D.当〃=；时，有且仅有一个点只使得48,平面4?/

[解析]选BCD.易知，点尸在矩形式1G6内部（含边界）.对于A,当a=1时，诙=/+〃附

=BC+uCC',即此时Oe线段阳，△48/周长不是定值，所以A错误；

对于B,当〃=1时，诙=4比+B瓦=8瓦十4百C，所以此时P点轨迹为线段6G，

而BC〃比,AG〃平面4比；则有尸到平面4a'的距离为定值，所以其体积为定值，所以B

正确.

对于C,当几=；时，帝反'+〃函，取6G6G中点分别为Q,H,则帝=BQ+nQH,

所以P点轨迹为线段。〃，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,

BP=^0,，A,P•BP=JU(—1)=0,

所以〃=0或〃=1.所以〃，0均满足，所以C正确;

1

A朋+B

对于D,当〃=）时,-2-

乙B.

取BB\,CG中点为MN.BP=BM+八MN,

所以。点轨迹为线段助V设彳0，%，|

z平\

rz1

I

所以力=（—乎，加|c1

q---1

因为4岑，0,0_I

kJ7

x2

3111

所以7—即％=—，此时尸与重合，所以正确.

Zd乙°9乙=35乙ND

4.如图，在棱长为1的正方体84AG〃中，点"是4〃的中点，动点尸在底面正方形ABCD

内（不包括边界），若8/〃平面48%则G尸长度的取值范围是.

【解题指南】通过空间向量建立ICp|=寸51—4X+2函数模型求解取值范围.

【解析】以〃为原点，DA,DC,〃〃所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.

则j《，o,0),4(1,0,1),8(1,1,0),3(1,1,1),G(o,1,1).

设尸(x,y,0)(0a<l,0<XD，则6/的方向向量Bp=(x—1,y-l,-1).

设平面4a犷的法向量A=(X”％,z),疝[=g0,1],•砺=g1,o],

——­1f1

n.MA^-x.+z^Oz尸一^

I,取用=2,则A=(2,—1,—1),

n«MB=—x1+y)=0必=一5用

若B\PH平面4幽则/7±Bp

即〃・B(P=2(^—1)—(y—1)+1=2^—y=0,则y=2x.

又因为C1P=(x,y-1,-1),所以CP=(x,2x—1,-1),

即IC,PI=1C+(2*-1)?+(—1)2=yj5^—4x+2="^J5^—1^2+1,

因为0<x〈l,y=2x,所以0<矛,

0<J<1»乙

所以|W51x—|J2+1<2,即雪^ICjPI<y[2.

答案:作,同

5.如图所示，在四棱锥门46口中，尸入平面/时，PC=2,在四边形4颇中，AB=AC=

90°,46=4,CD=1,点、M在PB上,PB=4PM,如与平面/四成30°的角.求证：

P

BA

⑴〃平面PAD；

(2)平面分8,平面PAD.

【证明】以C为坐标原点，CB,CD,"所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系Cxyz.

因为平面ABCD,所以/次为阳与平面口所成的角，

所以/饨=30°.

因为。。=2,所以仇7=2/，PB=4,

所以。(0,1,0),B(2事,0,0),4(2(,4,0),

尸(0,0,2),欣乎,0,1),。(0,0,0),

所以加=(0,-1,2),DA=(273,3,0),诙=(坐，0,|).

(1)设Z7=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量，

r」

n,宓=-y+2z=0,Z2%

由，_得'r-

—

n,DA=2-\l3x+3y=0,x=2