2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第六节 第3课时用空间向量研究夹角问题

第3课时用空间向量研究夹角问题

【考试要求】

1.会求异面直线夹角，直线与平面夹角，平面与平面夹角等各种空间夹角问题.

2.体会向量方法在研究立体几何中的作用.

【高考考情】

考点考法：高考命题常以解答题的形式考查空间角与距离，难度中等，特别是角的计算是每

年必考考点.一般以大题的条件或一小问的形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题.

核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象

o知铝梳理二思体激活-Q

归纳•知识必备

1.两条异面直线所成的角

(1)范围：两条异面直线所成角〃的范围是(0,4］.

2

(2)向量求法：设直线a,8的方向向量分别为a,b,其夹角为0,则有

cos0=|cos(p|=|b_।

|aHb|

2.直线与平面所成角

71

(1)范围：直线与平面所成角的范围是［0,万］.

(2)向量求法［”：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为，直线/与平面

e・n

。所成的角为0,两向量e与A的夹角为明则有sin0=|cos0\=\-------111

|e||n|

，注解1向量法求空间角时，直线就用方向向量，平面就用法向量.

注解2只有线面角正弦值对应向量夹角的余弦值(的绝对值)，其他空间角都是余弦值对应向

量夹角的余弦值(的绝对值).

3.平面与平面的夹角

兀

(1)范围：平面与平面夹角的范围是［0,万］.

(2)向量求法：如图，平面a与平面£相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于

90°的二面角称为平面a与平面£的夹角.

类似于两条异面直线所成的角，若平面。，尸的法向量分别是功和外，则平面。与平面尸的

夹角即向量m和功的夹角或其补角(两个角中较小的一个).设平面a与平面£的夹角为0,

则cos0=|cos(小,心|

4.二面角

(1)如图①，AB,切分别是二面角。-八£的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小，

=(AB,CD).

(2)如图②③，功，及分别是二面角。一/一£的两个半平面。，尸的法向量，则二面角的大小

〃满足IcosG|=|cos〈Al,n,)|,二面角的平面角大小是向量Al与一的夹角(或其补角).

⑶范围是［0，口］_.

智学•变式探源

1.选择性必修一P43T92.选择性必修一P48T4

2

L(改变条件)如图所示，正方体4?⑦"ABK〃中，点反厂分别在力。上，AE=-4〃AF

}O

AC,则EF与G〃所成角的余弦值为()

O

Dx

A.乎B.乎C.*D.

9633

【解析】选c.以〃为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

设正方体棱长为3,则《(1,0,1)"(2,1,0),旗=(1,1,-1),G(o,3,3),〃(0,0,3),

----/、EF«CD0-3+0

CtD,=(0,-3,0)，设跖与G〃所成的角为。，则cos0=\_.±_^|=

IEFHQD,!73X3

=也

一3,

2.(改变条件)在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)力跖4劣6中，AB=2,E,/分别为

7

AG和A3的中点，当4?和郎所成角的余弦值为沔时，4?与平面8c所成角的正弦值为

()

A逗R遮「近0亚

A，5氏10C*105

【解析】选B.设羽=2以8为原点，过8作比1的垂线为x轴，直线8a的为y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，则加小，1,0),樽，|,1,5(0,0,0),吟,

11

2一2-

z

1

-2一

因为熊和郎所成角的余弦值为2，所以|cos〈龙，赤〉I="•喇

10I总厮^/1+t2•yll+t~

=1，解得t=2,所以衣=一里；，2,因为平面小历的一个法向量为片（1,0,

一3r

0）,所以"与平面比四所成角。的正弦值为sin­=卑.

施㈤/10

慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.（求线线角）直三棱柱B'C中，AC=BC=AA',NACB=90°,E为BB，的中点,

异面直线"与C'/所成角的余弦值是（）

亚_^5

A・5LD.5L

【解析】选D.直三棱柱/旌，B'C中，AC=BC=AA',乙化?=90°,E为BB，的中点.

以。为原点，为x轴，％为〃轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，设/C=6C=A4'

=2,则。(0,0,0),=0,2,1),C(0,0,2),1(2,0,0),玄=(0,2,1),厂4=

（2,0,-2）,

设异面直线CE与C力所成角为0,

|满・尸2V10

则cos

10

\CE\•\(TA\一乖.乖~

所以异面直线CE与C/所成角的余弦值为

4.（求线面角）已知长方体/a42=44=1,45=3,£为线段49上一点，且

O

AB,则分与平面几笫所成的角的正弦值为（

Oi

Ai磅

B

R岖D・平

A，35B.了

【解析】选A.以，为坐标原点，DA,DC,DD、为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则G（0,3,

1),〃(0,0,1),Mb1，0),<7(0,3,0),

所以D^=(0,3,1),D(E=(1,1,—1),D,C=(0,3,—1),

设平面的一个法向量为A=（x,y,z),

Qx,y,z)•(1,1,—1)=0

则由＜

、(x,y,z)•(0,3,-1)=0

所以取7=1,z=3,x=2所以〃=⑵1,3),

(0,3,1)•(2,1,3)63^/35

因为cos〈DC；,n>=

710X^/14=35

所以〃。与平面〃比所成的角的正弦值为支胆

00

5.（求二面角）如图，在三棱柱48343C中，AB,AC,14两两互相垂直，AB=AC=AA„M,

"是线段阶％上的点，平面上与平面板所成（锐）二面角为看,当15M最小时，Z

AMB=(

c,

【解析】选C.以/为原点，所在直线为X轴，所在直线为y轴，44所在直线为Z轴，

建立空间直角坐标系，设46=/。=期=1,设CN=b,BM=a,则Ml,0,6),#(0,1,a),

4(0,0,0),3(0,1,0),"=(0,1,a),加=(1,0,6),

设平面的法向量z?=(x,y,z),

~AM*z?=y+az=0

则，，取z=l,得A=(—b,—a,1),

、市•n=x+bz=0

可得平面48c的一个法向量E=(0,0,1),

因为平面4眦与平面4a'所成(锐)二面角为《，

三的•加________]—通

所以cos至一㈤.㈤-7+百-2'

A8]

解得3H2+34=1,所以当15M最小时，4=0,BM=a=1,所以tanZAMB=—=~=1,所

BM1

JI

以NAMB=N.

6.(求线线角)如图，在正方形力颔中，EF//AB,若沿绪将正方形折成一个二面角后，AE：

ED：AD=1：1：*，则〃与四所成角的余弦值为.

A1--------lB

【解析】因为折后AE：ED\AD=\：1：\J2,所以AELED,

即ZE,DE,)两两垂直，

所以建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=EF=CD=2,

则£(0,0,0),A(l,0,0),户(0,2,0),。(0,2,1),

所以亦=(—1,2,0),EC=(0,2,1),

AP•PC'

所以cos(AF,EC〉=-------=~4r7==14,所以4月与四所成角的余弦值为《4.

|前庇小X乖55

答案:I

。、才点榇史•悟法培优,__Q

/考点一异面直线所成的角自主练透

1.如图，在正方体力比)45。〃中，〃为4〃的中点，过4c且与切平行的平面交平面G6V

于直线/,则直线/与46所成角的余弦值是()

A.必2BR-蛆2

乖+书2^6

J43

【解析】选D.如图，建立空间直角坐标系,

N

z

Ci

/D

XAB

x

在正方体/颇■46G〃中，AMDG平面4G8,48u平面4G6,所以〃勿平面4G8,

延长刚与©/相交于点A；连接GV,则GV即为直线/，设正方体的棱长为1,则4（1,0,0）,

8(1,1,0),C(0,1,1),川(1,-1,2),所以崩=(0,1,0),qN=(l,-2,1),

AB^CjN2、历

设与G/V■所成角为J,则cos0=—=；~=----7==.

|ABHC.NI1X^63

2.（2022•福州模拟）已知△/6C与△/切所在的平面互相垂直，47=25,AB=AD=20,CB=

⑦=15,则直线与a1所成的角的余弦值为（）

772412

A。*B.嘀C,-D.-

【解析】选D.因为4"=4〃+切+初，

所以△力比'与△4%为全等的直角三角形，

过点8作8aL/C,垂足为0,连接〃0,所以如，〃：

因为平面力比工平面所以加，平面力切，故以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角

坐标系，可得

4（0,-16,0）,8（0,0,12）,。（0,9,0）,〃（12,0,0）,

则劝=（12,16,0）,BC=（0,9,-12）,

〜一，—一、16X916X912

所以COS{AD,BC）=―I=7,I,=onxz1r=-•

^/122+162•-92+12?20X15o2c5

3.（2021•西安模拟）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，8C的中点为〃，4A

底面487,则异面直线48与CG所成角的余弦值为（）

乖乖S3

A.%B.为C.D.-

4444

【解析】选D.设三棱柱/吐4AG的棱长为2,因为48=4。，，为a'的中点，则/〃，比；

因为4〃_L平面/8C,所以以点。为坐标原点，DB,AD,力।所在直线分别为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，如图所示，

则点/(o,一4，0),6(1，，0，0）,Ai（0，0,1）,

所以拔=(1,y[3,Q),CC}=AA,=（0,小,1）,

33

.AB»CC.=

cos（AB,CC,）=.——T"=彳.

|AB|.|CC,|29Xv924

3

因此异面直线力3与3所成角的余弦值为a.

射规律方法

求异面直线所成角的注意问题

(1)注意公式是COS0=ICOS〈％,⑴I;

⑵要注意所成角的范围.

5考点二直线与平面所成的角讲练互动

[典例1](2021淅江高考)如图，在四棱锥Q46(初中，底面/腼是平行四边形，N/6C=120°,

AB=\,BC=4,PA=y[l5,M,A,分别为8C,0C的中点，PDLDC,PMLMD.

(1)证明：ABLPM-,

(2)求直线4V与平面如"所成角的正弦值.

【解析】⑴在中，DC=\,CM=2,

NDCM=60°,由余弦定理可得〃仁/,

所以成+DC=CM,所以DMLDC.

由题意知DC1PD旦PDCDM=D,

所以〃入平面PDM,而门仁平面PDM,

所以此LPM,又AB"DC,所以48，〃区

⑵因为4kM,AB1.PM,而48与〃"相交，

所以掰J_平面力比〃由余弦定理可得4仁市,

所以局7=2/，取助中点£,

连接.，监则，监，DM,两两垂直，

以点物为坐标原点，如图所示，

建立空间直角坐标系，

则力(一工,2,0),尸(0,0,2y[2),D(小,0,0),

#(0,0,0),C心,-1,0),

又N为％中点，

所

以

由⑴得平面包出，所以平面也物的一个法向量A=(0,1,0),

从而直线4V与平面功必所成角的正弦值为

5_

si.n”a——1%〃_——___i---I-_--_---_--2/H.

r6

阚加后1

，规律方法

利用向量法求线面角的方法

求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，其余角就是斜线与平面所成的角.

，对点训练

（2021•济南模拟）已知正方体ABCD-ABCD和平面a,直线AC〃平面a,直线BD〃平面a.

⑴证明:平面a平面BCD/

⑵点P为线段AG上的动点，求直线BP与平面a所成角的最大值.

【解析】（1）连接A£,则BDLAC,

因为AA」平面ABCD,

BDu平面ABCD,所以AAi_LBD；

又因为AAQAC尸A”所以BD_L平面AACC；

因为ACc平面AACC,所以BD_LA&；

同理BC_LA3；因为BDAB£=B”

所以AC」平面BCD1；因为AG〃平面a,

过直线AC,作平面3与平面a相交于直线1,则AC〃1；

所以1J_平面BCD］；又lu平面a,

所以平面a，平面BiCD,.

（2）设正方体的棱长为1,以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x,y,z轴正方向建

立空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,B（l,0,0）,D（0,1,0）,G（l,1,1）,

所以鸡=(1，b1),Bb=(-1,1,0).

设平面a的法向量为/?=(x,y,z),

x+y+z=O

n<BD=O—x+y=Q

取x=l,贝ij〃=(1,1,-2)；

设办=tAQ(OW0),

则方=(3t,t),

因为扁=(-1,o,0),

所以价=BA+AP=(f—1»t,t)；

设直线彼与平面。所成的角为9,

所以当t=-1时，sin〃取到最大值为J,

0乙

此时〃的最大值为W.

6

J考点三平面与平面夹角I多维探究

•角度1平面与平面的夹角

[典例2](2022•张家口模拟)如图，在四棱锥门48(力中，底面为梯形，PA=PB=AB,且/PBC

=2NB4A90°.

(1)求证：平面处〃，平面/犯9；

⑵求平面为3与平面W夹角的余弦值.

【解析】(1)如图，在平面必〃内，过户作4，垂足为〃

因为NW90°,所以PBL8C,

因为所以%_L4?,又因为PBCPH=P,

所以/〃，平面9

屣平面PHB,所以ADLBH.

因为PA=PB=AB,

所以Rt△用％Rt△物〃

所以PH=BH,

、历

又/为445°,所以PH=BH=AH=±PB,得期=所+而，BPPHLBH,

又因为ADCBH=H,

所以方，平面4颇，又因为联平面必〃,

所以平面用〃，平面ABCD.

(2)由(1)知PHL平面力腼，BHX.AD,

设用=镜，则PH=AH=BH=1,以〃为原点，以物所在直线为x轴，加所在直线为z轴,

物所在直线为y轴，则〃(0,0,0),J(l,0,0),尸(0,0,1),6(0,1,0),

所以"=(-1,0,1),PB=(0,1,-1),HA=(1,0,0).

设平面为8的一个法向量为A=(为，y{,zj,

n•AP=0-*i+zi=0,

则得

n«磅=0y,—z(=0,

令为=1,则弘=©=1,n=(1,1,1).

设平面4%的一个法向量为皿=(苞，y2,Z2),

m，HA=0髭=0,

则得

,22?•PB=Qyi-Z2=0,

令%=1,则Z2=l,至=0,所以皿=(0,1,1).

y

赤N/\m•n2亚

所以cos{ni,n)=~,—;--;—r=~f=---7==U~.

\m\•㈤y]2Xyj33

设平面为8与平面4%的夹角为0,

、后、后

则cos0=|cos(m,n)\=^~,所以平面用8与平面4%夹角的余弦值为己~.

O0

•角度2求二面角大小

、氏

[典例3](2021•朝阳模拟)如图，在三棱锥中，尸CL底面ABC,CA=CB=CP=^~AB,

肱/V分别是PA,加的中点，与飒交于点E,F是27上的一个点，记两=APC(0</1<1).

(1)若储〃平面/8C,求实数几的值；

2

(2)当4=可时，求二面角小断8的余弦值.

【解析】连接阳并延长交于点〃连接修，因为北平分别是为，加的中点，所以少

点为△为8的重心，

PP9

且。为血的中点，所以而=-,

1UO

(1)因为用〃平面/6G平面匐9n平面/a、=切，£上平面尸切，

PFPE2

所以EF//CD,所以/=诙=n，

i\y1L/O

又因为的=人衣(0</1<1),

2

所以4=可;

O

9pFPE2

(2)因为儿=g，于是旃=荷=3，

所以EF〃CD,不妨设力8=/，

则CA=CB=CP=tAB=\,

乙

且而+%=/民所以。_L2,

因为ACL平面ABC,

不妨以点。为坐标原点，CA,CB,少所在直线分别为％y,z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

/1、，111、ffl1J

则力（1,0,0）,8（0,1,0），尸（0,0,1）H0,0q），%，§骨）3*°J'

AF=（-L0，；），诙=（o，-1，，

设平面4项的法向量为E=（为，％，z）,

-11

FE=-xx+-yx=Q

由<]，

m,~AF=—X\+~z,=0

<J

取为=1,可得"=（1，—1，3）,

设平面庞F的法向量为Z7=（吊，K，Z2）,

f一1,1

n•FE=-x+-y2=^

o2o

由一J，

n,BF=—y2+-Z2=Q

、J

取%=1,可得〃=（—L1，3）,

/、m•n77

cos

"玲.司=vnxvn=n'

由图知，二面角4册6的平面角为钝角，

7

因此，二面角力跖8的余弦值为一石■.

•角度3与二面角有关的综合问题

[典例4]（2021•北京高考）已知正方体ABCD-ABCD,点E为AD中点，直线BC交平面CDE

于点F.

D\

C

(1)证明：点F为B£的中点；

⑵若点M为棱AB上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为坐,求给的值.

【解析】⑴因为ABCD-ABCD为正方体,所以AD〃BC,CD/7C.D,.

又因为CDQ平面ABC。”CDu平面ABCD，所以CD〃平面ABC。”

因为平面CDEFD平面ABCD=EF,且CDu平面CDEF,所以CD〃EF,故GD〃EF,所以四边

形EFCD为矩形，又因为点E为AD的中点，故GF=D1E=[AD=[CB，故点F为B£的中

乙乙

点.

(2)因为ABCD-ABCD为正方体，故DA,DC,D»两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA,DC,

DDi所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，令正方体ABCD-ABCD的棱长为2,

设入(0W入W1),则C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,2,2),M⑵2入，2),

CE=(1,-2,2),OF=(1,0,2),CM=(2,2人一2,2).

设平面CEF的法向量为n=(荀，%，©),

'CE'4=0,M一2弘+2©=0,

则＜即,故7i=0,

CF*ni=0,XI+2ZI=0,

令©=—1,则为=2,可取〃i=(2,0,—1).

设平面6好'的法向量为四=(在，%，Z2),

CM*zfe=0.2及+(24—2)%+2Z2=0,

则即《

X+2Z=Q,

n2=0,22

令&=—1,则%=2,%=尸万

可取4=(2,」文,—1

设二面角外用后为。，且〃为锐角,

故COS6=1COS"i,Zfe）/=|nj,|nj

4+1

=（-1）（-1）

整理得（4—1）2=；

解得小=］，42=］（舍），故镖=9-

N乙A\D\Z

射规律方法

二面角的求解方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法

向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的

两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

#多维训练

1.(2021•贵港模拟)如图，直三棱柱46G4AG中，底面△/勿为等腰直角三角形，AACB=

90°,AA}=2AC,尸是侧棱⑶上的点.

(1)若/初9=60°,证明：产是％的中点；

②若CP=3PG,求二面角层/AC的余弦值.

B

【解析】(1)由直三棱柱ABC-AB。得6CL平面A9C,

所以GCL47,QCYBC,所以加三朋

又/APB=60°,所以AP=BP=AB,

又N4==90°,所以AP=AB=@AC,

所以PC=AC=^A4尸;CQ,即尸是％的中点；

(2)如图，以C为坐标原点，CA,&和CG所在直线分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系,

设282,则4(2,0,0),8(0,2,0),—(0,0,3),

所以范=(一2,2,0),AP=(-2,0,3),

设平面刃产