2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第三章函数及其应用第三节函数的奇偶性、对称性与周期性

第三节函数的奇偶性、对称性与周期性

【考情要求】L了解函数奇偶性的概念和几何【高考考情】考点考法：高考命题常以基本初

意义.等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇图象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调

偶性.性、周期性的综合问题是高考热点，常以选择

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会题形式出现.

判断、应用简单函数的周期性.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象

O=一、物系瓶理•思催求活,一=rO

【归纳•知识必备】

1.函数的奇偶性⑴

(1)前提：定义域关于原点对称.

(2)图象特征：奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

(3)定义：对于定义域内的任意x,都有F(—x)=-f(x)(奇的/二应三皿(偶).

注解1①函数的奇偶性是函数的“整体”性质；

②若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0.

2.周期函数定义

⑴存在性：存在非零常数7：

⑵任意性：对于定义域内任意实数x,都有f(x+7)=f(x),T为函数的周期少

‘注解2①若函数的周期为7,则也是周期，所有周期中最小的正数，叫做函数的最

小正周期；②F(X+A7)=f(x).

【智学•变式探源】

1.必修一P85T22.必修一P85T1

1.(改变选项)下列函数是奇函数的是()

A.y=x(xe[O,1])B.y=3x

1

C.y=-D.y=\x\—l

才

【解析】选C.利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足

f(-x)=-f(x),排除选项BD.

2.(改变问法)如图，给出奇函数y=F(x)的局部图象，则£(一2)十〃一1)的值为.

3i

【解析】A-2)+A-D=-A2)-Al)="2—5=-2.

答案：一2

-慧考•四基自测-

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.(函数奇偶性的判断)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()

【解析】选B.A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；C,D中的图象表示的函数的定

义域不关于原点对称，不具有奇偶性；B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.

4.(方程组法求函数值)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/'(—l)+g(l)=2,f(l)+g(一

1)=4,则g⑴等于()

A.4B.3C.2D.1

【解析】选B.因为f(x)是奇函数，所以-

又g(x)是偶函数，所以g(—l)=g(l).

因为f(—1)+g(l)=2,所以g(l)—f(l)=2.①

又F(l)+g(—1)=4,所以/'(1)+g(l)=4.②

由①②，得g⑴=3.

5.(利用奇偶性求参数)已知函数/'(*)=^(。・2'-2-")是偶函数，贝ija=.

【解析】设g(x)=a・2'—2T由已知得g(x)为奇函数，则g(0)=a.2°-2-°=a-l=0,

因此a=l.

答案：1

6.(分段函数求值)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当—1,1)时，F(x)=

--4/+2,-1WK0,(3、

UO^Kl,则的=---------

【解析】函数的周期是2,所以/g=£—2)=

(一,，根据题意得彳一名=—4x1—+2=1.

答案：1

。、小白榇究•悟法培优/。

，考点一函数奇偶性的判断|讲练互动

1—V

[典例1]⑴(2021•全国乙卷)设函数f(x)=H，则下

1+x

列函数中为奇函数的是()

A.f(x-1)-1B.f(x—1)+1

C.fU+D-lD.f(x+l)+l

(2)(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且

f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A.f(x)•g(x)是偶函数

B.|f{x)|•g(x)是奇函数

C.M♦|g(x)|是奇函数

D.|f(x)・g(x)|是偶函数

—|—x0

(3)(一题多解)已知函数f(x)=，:二则该函数的奇偶性为________.

—X+x,x〉0.

2

【解析】(1)选B.F(X)=-1+F•关于(-1,一1)中心对称，向右平移1个单位，向上平

x十1

移1个单位后关于(0,0)中心对称，所以尸/'(x—1)+1为奇函数.

(2)选CD.对于A,f(—x)•g(—x)=—f(x)・g(x),函数是奇函数，故A错误；对于B,"(一

x)l・g(—x)="(x)l・g(x),函数是偶函数，故B错误；对于C,

f(—x)•Ig(—x)|=—f(x),Ig(x)|,函数是奇函数，故C正确；对于D,If(—x)•g(~x)|

=|f(x)•g(x)|,函数是偶函数，故D正确.

(3)方法一(定义法)：函数f(x)的定义域为(一8,0)u(0,+8),关于原点对称.

因为当矛＜0时，一又＞0,

则f(—x)=—{—X)1—X=—X—X=-f{x);

当x>0时，一矛<0,

则f(—X)=(—x)~—x=x—x=—f(x);

所以函数f(x)为奇函数.

方法二(图象法)：画出函数f(x)的图象，

由图象可知，函数f(x)是奇函数.

答案：奇函数

教师专用司【规律方法】

函数奇偶性判断的三种常见方法

1.定义法:

2.图象法:

/{关于原点对称H/(*)为奇函数)

pwsq

7关于，轴对称H7(x)为于函数)

3.性质法：

(1)“奇+奇”是奇,“奇一奇”是奇，“奇•奇”是偶，“奇♦奇”是偶;

(2)“偶+偶”是偶,“偶一偶”是偶，“偶•偶”是偶，"偶♦偶”是偶;

(3)“奇•偶”是奇,“奇・偶”是奇.

提醒：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内X取值的任意性.

，对点训练

1.若函数y=f(x)的定义域为[0,1],则下列函数中可能是偶函数的是()

A.y=—f{x}B.y=f(3x)

C.尸f(-x)D.y=f(x)

【解析】选D.由偶函数的定义知，函数的定义域一定关于原点对称，

因为尸f(x)的定义域为［0，1］，

所以尸一f(x)的定义域是［0,1］，故不是偶函数；

y=f(3x)的定义域是10,1,不是偶函数；y=F(—x)的定义域是［-1,0］,不是偶函数;

O

由0W/W1解得一lWxWl,y=f(V)的定义域为［-1,1］,故可能是偶函数.

2.函数2(x)=log<2+x),g(x)=loga(2—x)(a>0且aWl),则函数2(x)=f(x)+g(x),G(x)

=人才)一8(才)的奇偶性是()

A./(")是奇函数，G(x)是奇函数

B.Rx)是偶函数，G(x)是奇函数

C.网x)是偶函数，G(x)是偶函数

D.网x)是奇函数，G(x)是偶函数

【解析】选B.Rx),G(x)定义域均为(-2,2),

由已知F{~x)=f(—x)+g(—x)=log“(2—x)+log“(2+x)=F{x),G(—x)=F(—x)—g(一

x)=loga(2—x)—loga(2+x)=—G(x),

所以网x)是偶函数，G(x)是奇函数.

3.★(命题•新视角)在平面直角坐标系中定义点P(x,。的“准奇函数点"为尸'(2a—x,

2b-y),若函数。上所有点的“准奇函数点”都在函数。上，则称函数。为“准奇函数”.下

列函数不是“准奇函数”的是()

2x~1

A.f{x}=cos(x+1)B.f{x)=---r

x+1

C.f{x)=e'D.f{x)=x

【解析】选C.根据题意，若函数的图象关于点(a,力对称，则点尸(无力与尸'(2a—%26

一力都在函数的图象上，此时函数为“准奇函数”，若函数F(x)存在对称中心，

JT

则/'(X)是“准奇函数”，对于A,f{x)=cos(叶1),存在对称中心GU+5-1,0),是“准

奇函数”；

9V—1R

对于B,AT)=2—七，其对称中心为

x+1x+1

(-1,2),是“准奇函数”；

对于C,F(x)=e',是偶函数不是奇函数，不存在对称中心，不是“准奇函数”；

对于D,M=x,是正比例函数，函数图象上存在无数个对称中心，是“准奇函数”.

国【加练备选】

1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A.f(x)f(—x)是奇函数

B./1(x)"(—x)|是奇函数

C.f(x)—f(—x)是偶函数

D./'(x)+f(—x)是偶函数

【解析】选D.A中令6(x)=f(x)f(—x),则F{-x)=f{-x)f{x)=F{x),即函数F(,x)=

f(x)f{-x)为偶函数，B中令尸(x)=f(x)|F(-x)|,F(—角=f(-x)"(x)|,因f(x)为任意

函数，故此时Ax)与网-x)的关系不能确定，即函数Hx)=Mx)|F(一x)|的奇偶性不确定,

C中令F{x}=f(x)—f(~x),则F(—x)=f{-x)—f(x)=~F(x),即函数F(x)=f(x)—f(一

x)为奇函数，D中令厂(x)=f(x)+f{—x),F(—A)=f(—x)+f(x)=F(x),即函数尸(x)=f(x)

+F(—x)为偶函数.

2.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意为，x?eR有『(不+品)=，(由)+F(%)+l,则下列

说法一定正确的是()

A./1(x)为奇函数B.f(x)为偶函数

C.f(x)+l为奇函数D.F(x)+1为偶函数

【解析】选C.因为对任意X”而CR有f(Ai+x2)=f(x)+*而)+1，

所以令用=生=0，得/'(0)=-1,

所以令M=x,x2=~x,得/1(0)=f(x)+f(—x)+1,

所以F(x)+1=—f(—x)—1=—"(—x)+1],

所以/tv)+1为奇函数.

，考点二函数的周期性及应用|自主练透

1.(2022•汉台区模拟)若偶函数f(x)满足f(x)•f(x+l)=l,A-2)=-l,则f(2021)

=()

A.12B.2C.1D.-1

jl,%>0

2.★(命题•新视角)已知符号函数sgn(x)=1o,x=0,偶函数f(x)满足/'(x+2)=f(x),

l-l,KO

当x£[O,1]时，f(x)=x,则()

A.sgn(/(,¥))>0

C.sgn(f(24))=0(MZ)

D.sgn(/(A))=|sgn(A)|(AeZ)

3.(多选题)(2022•潍坊模拟)定义在R上的奇函数/'(x)满足/'(x+2)=f(2—x),且在

［0,2］上是增函数，下面判断正确的是()

A.f(x)的周期是4

B./'(2)是函数的最大值

C.f(x)的图象关于点(一2,0)对称

D./'(x)在［2,6］上是减函数

【解析】1.选D.因为/'(x)•f(x+l)=l,所以f(x+l)=，f(x+2)=

f八(Jx)、f"(xL+l)、=

—j—=f(x),

f(x)

故函数是以7=2为周期的周期函数，

因为/(-2)=-1且f(—2)f(—1)=1,

所以£(-1)=-1,因为f(x)为偶函数，

则/'(2021)=/(1)=/(-1)=-1.

2.选C.依题意，由/1(x+2)=f(x),可知函数f(x)是以2为周期的周期函数.

因为当Xd［0,1］时，f(x)=X,F(X)是偶函数，

所以当1,0］时，f{x)=~x.

函数f(x)图象如图：

-5-4-3-2-1O12345x

根据图象可得，OWf(x)Wl,故sgn(f(x))20,选项A不正确；很明显，当x=2k,kGZ

时，f(x)=O,sgn(f(x))=O,选项C正确;

/f=/12Xl010+；)=/gj=2，故选项B不正确；当4=2时，sgn(f(2))=sgn(0)

=0,|sgn(2)|=1,故选项D不正确.

3.选BD.定义在R上的奇函数f(x)满足，(x+2)=F(2—x),得/'(x+2+2)=¥(2—*—2)=

f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x),则f(x+8)=-f(x+4)=—[—f(x)]=f(x).所以

f(x)的周期为8,A错误.函数f(x)的图象如图所示，由图可得，BD正确，C错误.

教师专用司【规律方法】

函数周期性的三个常用结论

⑴若f[x+a)=—£(*)，则7=2a(a＞0)；

⑵若f(x+a)=-'则T=2a(a＞。)；

⑶若f(x+a)=——,则T=2a(a＞。).

♦考点三函数性质的综合应用|多维探究

高考考情：函数性质的综合应用，尤其是单调性与奇偶性的综合应用是高考的热点，多以

选择题形式呈现，重点考查比较大小、求值、解不等式等问题，难度中档.

•角度1函数奇偶性的应用

[典例2]⑴(2019•全国卷H)设f(x)为奇函数，且当x20时,f(x)=e*—1,则当水0时,

f(x)=()

A.e-i-lB.efl

C.-e"v_1D.—e-'+1

(2)(一题多解)(2021•全国甲卷)设函数F(x)的定义域为R,F(x+1)为奇函数，/'(x+2)为偶

函数，当xG[l,2]时，f(x)=a*+6.若/'(())+f(3)=6,则)

【解析】(1)选D.当水0时，则一x>0,则有F(—x)=e-*—l,又因为f(x)为奇函数,

所以f{—x)=-f{x),

所以f(x)=-e'+L

(2)选D.因为f(x+l)是奇函数，

所以/'(—x+1)=-f(x+l)①；

因为f(x+2)是偶函数，

所以f(x+2)=f(—x+2)②.

令x=l,由①得：f(0)=-f(2)=—(4a+b),由②得：

/(3)=Al)=a+b,

因为因0)+f(3)=6,

所以一(4a+8)+a+6=6na=-2,

令x=0,由①得f(l)=-f(D=f(D=00力=2,

所以f(x)=-2x+2.

方法一：从定义入手.

所以f（I）=­f

方法二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/'（X）的周期7=4.

•角度2函数单调性、奇偶性的综合应用

[典例3]（2020•新高考I卷）若定义在R的奇函数/'（x）在（一8,0）单调递减，且/<2）=0,

则满足1)20的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-1]U[0,1]

C.[-1,0]U[1,+8)D.[-1,0]U[1,3]

【解析】选D.因为/'(*)为奇函数，且在(一8,0)上单调递减，/(2)=0,所以f(x)在(0,

+8)上单调递减，f(—2)=0,当x>0时，f(x—l)20=f(2),即0<x—lW2,解得kxW3,

当x=0或x=l时，显然符合题意，当水0时，/'(x—l)W0=f(—2),即一2W*—l<0,解得

-lWx<0,

所以不等式1)20的解集为[―1，0]U[l,3].

，规律方法

1.函数奇偶性的常见应用及解题策略

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(—x)=0得到关于参数的恒等

式.由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.

2.利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法

⑴结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为/'(不)〈£(&)或/'(4)>/'(吊)的形式；

(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式

中的，，产转化为简单不等式(组)求解.

，多维训练

1.已知函数f(x)1)是定义在(一1,1)上的奇函数，则fg)=()

1

A.3B.1C.~D.-1

o

【解析】选〃由题意，函数f(x)=_Z侬(一匕一1)是定义在(一1，1)上的奇函数，则f(0)

XI1

=logi(a-1)—0,

解得a=2.

经检验当a=2时，f(x)是定义在(一1,1)上的奇函数，则,故

2.(2021•全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且/U+x)=f(—x),若

]_

3°

3.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(一8,0］上是减函数，若/'(a)>f(2),则实数

a的取值范围是()

A.a<2B.a<—2或a>2

C.—2D.一2WaW2

【解析】选B.因为尸f(x)是R上的偶函数且在(一8,0］上是减函数，所以y=f(x)在［0,

+8)是增函数，

因为f(a)>f(2),所以|a|>2,所以aV—2或a>2.

【加练备选】

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x—4)=—F(x),且在区间［0,2］上是增函数，则

()

A.f(-25)<f(ll)</(80)

B.f(80)<f(ll)〈f(-25)

C.A11XA80XA-25)

D.A-25)<f(80)<All)

【解析】选D.因为f(x)满足/'(x—4)=—f(x),

所以f(x—8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则25)=〃-1),A80)

=f(0),f(U)=A3).

由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x—4)=—f(x),得All)=f(3)=-f(—1)=/(1).

因为F(x)在区间［0,2］上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间［-2,2］上是增

函数，

所以A-iXAoXAD,

即/,(-25)</(80)</(11).

2.2知函数f(x)=”一二_]的最大值为M,最小值为勿，则，什加等于()

乙I1

A.0B.2C.4D.8

,,.,.2•(2"+1)+vy

【解析】选C.F(x)=------T-j-----=2+厂工7，

乙~।-1乙~r~1

X3

设g(x)=2、+]，则g(—x)=~g(x}(%GR),

所以g(x)为奇函数，所以g(x)1Kll,+g(x)nir,=o.

因为M=/'(x)皿=2+g(x)皿，

7=F(X)Min=2+g(X)mi„.

所以/什加=2+g(x)„„+2+g(x)11dli=4.

备选考点函数的对称性

[典例4](1)已知偶函数f(x)的图象关于(1,0)对称，且当xe(0,1)时，f(x)=f,则xe

(9,10)时，/(*)=.

(2)已知偶函数/U)的图象关于直线x